专题19 （优质好题速递）线面、面面平行与垂直的证明必刷题型（12大题型74题）（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修二

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题19线面、 面面平行与垂直的证明必刷题型 (12大题型74题) 题型01：证明线面平行-利用中位线 题型07：证明线面垂直 题型02：证明线面平行-利用平行四边形 题型08：证明线线垂直 题型03：证明线面平行-利用相似 线面、面面平 题型09：证明面面垂直 行与垂直的证 题型04：证明线面平行-利用面面平行 明必刷题型 题型10：面面垂直的性质定理 题型05：证明面面平行 题型11：利用全等三角形证明垂直问题 题型06：线面、 面面平行的性质定理 题型12：平行、 垂直中的探索性问题 题型01 证明线面平行-利用中位线 1.(25-26高一下·北京朝阳期中)如图，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D中，AB=1,AA=2，,M是DD,的 中点. D C M C (I)求证：BD/1平面AMC; 2.如图，正三棱柱ABC-AB,C中，AC=4,点M是AC的中点 B (I)求证：AB,/1平面MBC,: 1/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26高一下·全国课堂例题)如图，正三棱柱ABC-A,B,C中，E是AC的中点，求证：AB,∥平面 BEC. B B A C 4.(25-26高一下·浙江杭州期中)如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为 正三角形，PB=PC=3,点E在PB上 D B (I)若E为中点，求证：PD//平面AEC; 题型02 证明线面平行-利用平行四边形 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PD=DC,且 F,G分别是PB,AD的中点 D G A B (I)求证：GF/平面PCD; 2.(24-25高一下.北京顺义期末)如图在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，四边形ABCD为梯形，AB1ICD, D=CD=B,E为48申点 2/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D E (1)求证：CE/平面ADDA,: 3.(25-26高一下·全国课后作业)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°， EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF,M是线段AD的中点，求证：GMI/平面ABFE F G M D 4.(25-26高一下·安徽阜阳期中)如图，在四棱台ABCD-A,B,CD,中，DD,⊥平面ABCD,两底面均为正 方形，AB=6,D,D=5,AB=2,点E在线段BD上，且DE=5EB D A B D E B (I)证明：D,E/平面A,BC: 题型03 证明线面平行-利用相似 1.(25-26高一下·陕西·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, ABLAD.4D//BC.AD=AP-3.DE-2EP.AB=3.BC-3 3/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：PB11平面ACE: (2)求三棱锥P-ACE的体积. 2.(24-25高一下四川成都期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PD⊥AB,AB/1DC ，DC=34B=3,AD=2,PM=3,E为棱PC上一点，且PE=写PC, E B (I)求证：BE/1平面PAD; 3.(25-26高一下·北京朝阳·月考)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点G,E,F,P分别为棱 AB,DCB,CAA,的中点，点M是棱AD上的一点，且DM=3A,M. D E B D G (I)求证：D,G/平面DBFE; 题型04 证明线面平行-利用面面平行 1.(24-25高一下·湖北期末)如图为一个组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,EC1IPD, 且PD=AD=2EC=4.求证： 4/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P E A B (1)BE∥平面PAD; 2.(24-25高一下陕西西安：期末)如图，已知AA⊥平面ABC,BB,/1AA,BB,=2AA,AB=AC,点E, F,G分别为棱BC,A,C,B,C的中点，点P是线段EF上的一点 B G B A E (I)求证：AE⊥B,C; (2)求证：PG11平面A,B,BA; 3.(24-25高一下·黑龙江大庆期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形， AB/ICD,AD⊥CD,AB=PD=AD=CD=2.PD⊥平面ABCD,E、F分别为棱PC,AD的中点， 2 (I)证明：EF∥平面PAB; 4.(24-25高一下·浙江·月考)如图，在四面体A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,且AD⊥BD, AD=BD=V2BC=√2DC=2,M是AD的中点，P是BM的中点，Q在线段AC上，且AQ=3QC. 5/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C (1)求证：PQ∥平面BCD: 题型05 证明面面平行 1.(24-25高一下·辽宁月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD中，M,N,E,F分别是棱AB, AD,B,C1,CD1的中点 D C M E A D (I)计算棱台EFC,-BDC的体积： (2)求证：平面AMN1/平面DBEF. 2.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨月考)如图，在圆柱OO,中，AC,AC,分别为圆O,圆O的直径，AA, BB,CC为圆柱的母线 A O B (1)求证：平面A,OB11平面O,B,C; 3.在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，H,E,F分别为PA,AH,HO的中点，点M在棱PD上， 且PM=3MD 6/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H M D B (1)证明：HO∥平面PCD (2)证明：平面EFMI∥平面ABCD 4.(24-25高一下·重庆沙坪坝·期中)如图，在三棱台ABC-A,B,C,中，底面ABC为等边三角形， AC=2A,C,=2,D为线段BC上靠近B的三等分点，E为线段B,C上靠近B的三等分点. A (I)求证：平面ABE/1平面ACD; (2)求平面AC,D分割三棱台所得的几何体AB,C,-ABD和C,-ADC的体积之比. 题型06 线面、面面平行的性质定理 1.(24-25高一下山东临沂期末)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,E 为PD的中点，点F在棱PC上，直线AE和直线BF相交 E A D (I)求证：EF∥CD; 2.(24-25高一下·河南焦作·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E,F, G分别是PD,AC,PA的中点，平面PABO平面EFG=I. 7/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 证明： (1)EF III; 3.(25-26高一下·云南昭通·期中)如图，已知直三棱柱ABC-A,B,C的各棱长均为2，D为BC上的一点， AC∩AC=O,连接OD且AB∥平面ADC, C B (I)求证：D为BC的中点； 4.(24-25高一下·四川南充期末)在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,BC=CD,M为BD的中 点 D (I)求证：CM⊥AD; (2)若N为BC的中点，过MN的平面O交平面ACD于PQ,求证：PQ/平面BCD 5.(25-26高一下·全国单元测试)在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD, △PAD是正三角形，DC∥AB,DA=DC=2AB. 8/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ”二 -- D (I)求异面直线PC和AB所成角的大小： (2)若点E为棱PA上一点，且OE11平面PBC,求E的值. PE 6.(24-25高一下.江苏无锡期中)如图在四棱锥P-ABCD中，AB1/CD,M,N分别是PA,BC的中点， CD=3AB D B C (I)求证：MN//平面PCD; (2)若点F在棱PC上且满足PF=1PC,PA/I平面BDF,求1的值. 题型07 证明线面垂直 1.(24-25高一下·北京平谷期末)四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形， AC∩BD=E D B (1)求证：BD⊥平面PAC; 2.(24-25高一下·重庆长寿·期末)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，E是BA上的点，且AE⊥平面 AB C. 9/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C B (I)求证：BC⊥平面AABB; 3.(24-25高一下·安徽合肥期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC, AB⊥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥平面ABCD,PA=2. 力 B C (I)求证：CD⊥平面PAC; 4.(25-26高一下·安徽阜阳·期中)如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,AD⊥BD,BF为 △BCD的中线，将BCF沿BF折叠，使点C到点E的位置，连接AE,DE,CE,且CE=2. E B (I)求证：EF⊥平面ABCD 5.(24-25高一下·山东青岛期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD, PA=AB,E为线段PB的中点 P D C (1)证明：AE⊥平面PBC: 6.(24-25高一下·上海松江·期末)如图，在直角梯形ABCD中，AB/1DC,∠BAD=90°，AB=4, 10/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=2,DC=3,点E在CD上，且DE=2,将ADE沿AE折起，使得DB=2V3(如图)，G为AE中点. D E B B 图1 图2 (I)求证：DG⊥平面ABCE: 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点， 作EF⊥PB交PB于点F. B (I)求证：PA平面EDB; (2)求证：PB⊥平面EFD: 8.(24-25高一下·福建福州期末)如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC/1AD, AB⊥AD,PA=AB=V3,AD=3,BC=2,AD=3AE,F为PC的中点； D B (1)求证：EF/平面PAB (2)求证：EF⊥平面PBC 9.(24-25高一下，河北雄安期末)如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C,D为圆O上不与A, B重合的点，且PO=AB=2,BD=V3,AB⊥CD 11/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A、 B (1)求证：BD⊥平面POC: 10.(24-25高一下·重庆渝北期中)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，A4,⊥底面 ABC,∠ACB=90°，AA=2AC,N,M分别为AA,BC的中点，求证： B M (1)AM11平面BNC,; (2)WC,⊥平面NBC 题型08 证明线线垂直 1.(24-25高一下.甘肃庆阳期末)如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，M,N分别是AD,DE的中点， AB=AC,BD=CD求证： (1)MN∥平面ABC; (2)AD⊥BC 12/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高一下·河南新乡·月考)如图，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PA=3, M为AB的中点. D (1)证明：AB⊥PC; 3.(24-25高一下河北秦皇岛期末)如图，在正三棱柱ABC-A,BC,中，D为AB的中点， AA AB=4,B E=3EB A C E C D 分 (I)证明：CD⊥A,E (2)证明：BC,∥平面A,CD (3)证明：AD⊥平面CDE 4.(25-26高一下·浙江宁波·期中)如图，斜三棱柱ABC-A,B,C的底面是边长为2的正三角形，且 AA=AB=AC=3. C C B (1)证明：CB⊥A4; 5.(25-26高一下·浙江·开学考试)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面 ABCD,PA=AB=2.过点A作AE⊥PB于E,作AF⊥PC于F,连EF 13/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E ------ B ()证明：EF⊥PC; 6.如图O,在菱形ABCD中，∠A=T且AB=2,E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使AD=√2，得到如 图②所示的四棱锥A-BCDE,在四棱锥A-BCDE中，求解下列问题： B B 图① 图② (1)求证：BC⊥AB; 7.(24-25高一下·黑龙江期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2√3的菱形， ∠BD-于点P在底面的投影0恰为△A8D的重心. B (I)求证：AB⊥PD; 8.(24-25高一下·贵州安顺期末)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，LABC=90°，AB=BC=A4=2,D 为棱AB上的动点. 14/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C (1)证明：BC1⊥CD 9.(24-25高一下·福建福州期末)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AC⊥BC,AC=BC=CC1,点D是 AB的中点，求证： C B A B D (I)AC/I平面B,CD; (2)A,B⊥BC 10.(24-25高一下·辽宁大连期末)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，BB,=V3,BA=BC=2, ，且M,N分别为BA,AC的中点. ∠ABC=2π B C M N (I)证明：MN/平面ABC; (2)证明：A,N⊥AB, 题型09 证明面面垂直 1.如图，正四棱台ABCD-A,BC,D的高为3，且AB=2A,B,=4 15/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B D C 小 (1)求证：平面BDC,⊥平面ACC,A; 2.(24-25高一下广东广州期末)如图，在正四棱柱ABCD-A,B,CD中，BE⊥A,C,垂足为E. D A D B (1)求证：平面ABD∥平面B,CD; (2)求证：平面A,CD⊥平面BDE. 3.(25-26高一下·浙江台州期中)如图，圆柱OO,轴截面ABB,A是边长为2的正方形，动点C在底面圆周 上 B B (1)求证：平面AAC⊥平面BBC1; (②)若点C为弧AB的中点，求异面直线AC与CB所成角的余弦值， 4.(23-24高一下.宁夏吴忠·期末)如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD,EF∥ AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=V10,FB=2V3,M为AD的中点. 16/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F B (I)证明平面ABCD⊥平面ADEF; 5.(24-25高一下·新疆喀什·期末)如图，三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点 D (1)求证：BD/1平面FGH; (②)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证：平面BCD⊥平面EGH 6.(24-25高一下河北承德·期末)如图，在长方形ABCD中，AD=2,AB=4,M是边CD的中点，将 △ADM沿直线AM翻折至△APM,使得LPMC=I20°，连接PB,PC,得到四棱锥P-ABCM, D (I)求证：平面PAM⊥平面ABCM; 7.(24-25高一下·福建莆田·期末)如图，正方形ABCD所在的平面与直角梯形CDEF所在的平面互相垂直， 己知CD//EF,CD⊥CF,EF=2CD=2CF=4,点P在线段BE上. (1)求证：平面PDF⊥平面ADE; 8.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形， 17/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BA=BD=√，AD=2,PA=PD=√5，E,F分别是棱AD,PC的中点. F 111111 B D E (1)证明：EF∥平面PAB; (2)若二面角P-AD-B为60°； (i)证明：平面PBC⊥平面ABCD; 题型10 面面垂直的性质定理 1.(24-25高一下.河北期末)如图1，在直角梯形ABCD中，已知 ADIIBC,AD=AB=二BC=2,∠BAD=9O°，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面 2 BCD,如图2. D P(A) 图1 图2 (I)求证：CD⊥PB; 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，AD=2AB=2, ∠BCD=60°，AB⊥AP,点E满足PE=2EA,点F是线段AD的中点. 、D E B (I)证明：BD⊥平面PCD: 3.(24-25高一下·天津期末)如图，在多面体PABCD中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,且 18/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PA1CD,PA=2CD=l,M为BD的中点. D B (I)求证：PM/平面ABC: (2)求证：BC⊥平面PAB; 4.如图，已知ABC是等边三角形，AB=BD=2CE,CE∥BD,BD⊥平面ABC点F为AD的中点. D E B (I)求证：EF⊥平面ABD; 5.如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,PA1⊥AB,∠PAC为锐角证明：AB⊥AC; M B 6.(24-25高一上·上海期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形， AB1ICD,AD=AB=,CD,平面ADP⊥平面PCD,PD⊥PC, 2 B 19/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：AC⊥AD: (2)求证：△ADP为直角三角形： (3)若PC=AD=1,求四棱棱P-ABCD的体积 7.(24-25高一下·湖南长沙.期中)如图所示，在直角梯形ABCD中，BC1IAD,AD⊥CD,BC=2, AD=3,CD=V3,边AD上一点E满足DE=I.现将△ABE沿BE折起到△A,BE的位置，使平面ABE⊥平 面BCDE,如图所示， 11 B (①)求证：A,C⊥BE; (2)求四棱锥A,-BCDE的体积； 8.如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AB⊥AC,AC=AB=2,AA=2V2,点D是棱AA的中点. (I)求证：平面CDB'⊥平面CBB'C'; 9.(24-25高一下·河南驻马店·期末)如图，菱形ABCD所在的平面与矩形ACEF所在的平面相互垂直 (①I)证明：直线DE∥平面ABF; 20/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若平面DEF⊥平面BEF,求BD 的值； F (3)在(2)条件下，求平面DEF与平面ACD夹角的余弦值 题型11 利用全等三角形证明垂直问题 7 1.如图所示四棱锥P-ABCD,其中AB=AD=AP=√5，CB=CD=CP=25,AC交BD于点O.求证： AC⊥平面PBD; D B 2.(24-25高一下·北京通州期末)如图，在四面体A-BCD中，BC⊥CD,BC=CD,∠ACB=∠ACD, 点E为BD的中点，点F为AC上一点，且DE=1,四面体A-BCD的体积为3 (I)求证：平面ACE⊥平面BDF; 3.(24-25高一下·河南许昌·期末)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD=√2，AB=BD=V5, LADB=LBDC,E为AC的中点，点F在BD上. D 21/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)证明：AC⊥BD: 4.(24-25高一下·黑龙江绥化期末)如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，各个侧面均是边长为2的正方形，D, E分别为线段AC,CC的中点. A B B (1)求证：A,E⊥平面BC,D: (2)求证：直线AB,∥平面BC,D; 题型12 平行、垂直中的探索性问题 1.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，E,F分别为线段AC,AC上的点， AE=1AC,AF=入A,C,元∈(0，I). E B 6 (1)求证：EF/1平面BCC,B. (2)在线段BC,上是否存在一点G,使平面EFG//平面ABB,A?请说明理由. 2.(24-25高一下河北月考)如图，在直三棱柱ABC-A,BC中，AA=√2AB,ABC是等边三角形， D,E分别是棱AB,BB,的中点. 22/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)证明：AE⊥平面CDE. ②在棱AM上是否存在点F,使得CF1/平面CDE？若存在，求出4的值：若不存在，请说明理由. 3.(24-25高一下·湖南衡阳·月考)如图所示，在四棱锥E-ABCD,底面ABCD是正方形，AC与BD交于 点O,EC⊥平面ABCD,AB=√2CE --=B A (I)求证：BD⊥平面ACE; (②)求BE与平面ACE所成角的正弦值： 6③G是线段E0上一点，且满足C=4,是否存在实载“使CG1平面BDE?若存在求出丛的值，若不存 在，请说明理由 4.(24-25高一下·北京朝阳·期中)如图，在直角梯形ABCD中，AB/1DC,∠BAD=90°，AB=4, AD=2,DC=3,点E在CD上，且DE=2,将ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE,G为AE 中点， E D A (1)求证：DG⊥平面ABCE; (②)求三棱锥G-ABD的体积： 23/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6)在线段BD上是否存在点P,使得CP11平面ADE?若存在，求BP的值；若不存在，请说明理由。 BD 5.(24-25高一下·辽宁大连期末)如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD=AD=2 ,四边形ABCD为正方形，E,M分别为AD、BC的中点. S D必 (I)直接写出图中与EM平行的平面； (2)求证：平面SAD⊥平面SAB: (3)在棱SC上是否存在点N,使得平面DMW⊥平面ABCD?若存在，求三棱锥C-DMN体积；若不存在， 说明理由 6.(24-25高一下江西景德镇期末)如图，长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=AD=1,AA,=2,点P为 DD的中点 D C B D C B (I)求证：平面PAC⊥平面BDD,B,; (2)求直线A,B与平面BDD,B,所成的角的正弦值： ③)在直线B8,上是否存在点Q使得P01平面4CP,若存在，则此时8C为多少：若不存在，请说明理由 BO 7.(24-25高一下·江西抚州期末)如图所示，正方形AA,DD与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=3AD, A,DOAD=O,E为线段AB上一点 24/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O =>C B (I)当OE/1平面DBC,求证：E为AB的中点； (②)在线段AB上是否存在点E,使得平面D,DE⊥平面AD,C?若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明 理由. 8.(23-24高一下·北京·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD,且 PA⊥AC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BC/IAD,AB⊥AD,AB=BC=1.F为侧棱PC上的任意一点， 且平面ADF与侧棱PB交于点E. E AX----------------D (I)求证：平面EFP⊥平面PAB; (2)设直线AF与平面PAB所成的角为o,求sina的最大值； (3)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在， 请说明理由， 25/25 专题19 线面、面面平行与垂直的证明必刷题型 （12大题型74题） 题型01 证明线面平行-利用中位线 1．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. 2．如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，交于点N，连接，易得，由线面平行的判定定理得证； 【详解】（1）连接，交于点N，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又点是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用中位线定理在平面内找到与平行的直线，再通过线面平行判定定理完成证明即可. 【详解】如下图，连接，设与交于点，连接， 因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形， 矩形的对角线互相平分，因此是的中点， 已知是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，可得， 又平面，平面，所以平面. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； 题型02 证明线面平行-利用平行四边形 1．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取的中点，证得且，得到四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 又因为四边形为正方形，所以且， 因为为的中点，可得，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面.    2．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图在四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，E为中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，证明，可得，再由线线平行证得线面平行； 【详解】（1） 如图，取的中点，连接， 因E为的中点，故， 又，，则， 故得，则， 因平面，平面， 故平面. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 4．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. . 题型03 证明线面平行-利用相似 1．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，平面，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，可证，再由线面平行的判定定理可证平面 （2）先求，再根据可求三棱锥的体积． 【详解】（1）如图，连接，设，连接， 因为，故，而，所以， 故，而平面，平面，故平面. （2）因为，故四边形为直角梯形， 故其面积为， 而平面，故为四棱锥的高， 故，而，故， 而，故的面积与直角梯形的面积之比为， 故，故. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱上一点，且．    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）在上取点，使，利用条件证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行可证线面平行； 【详解】（1）    如图，在上取点，使，连接，因，则， 则得，故，因则， 即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，故平面. 3．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 题型04 证明线面平行-利用面面平行 1．（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过面面平行的性质定理，证明线面平行即可. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又底面为正方形，故， 而平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，已知平面，，，，点E，F，G分别为棱，，的中点，点是线段上的一点. (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由中位线、线面垂直的性质得、，进而有，再应用线面垂直的判定和性质即可证结论； （2）根据已知点，再由线面、面面平行的判定定理证平面平面，最后由面面平行的性质即可证结论. 【详解】（1）由，点E为棱的中点，则， 由平面，平面，则， 而，则，且都在平面内， 所以平面，平面，则； （2）由点E，F，G分别为棱，，的中点，则， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 则平面平面，而平面，则平面. 3．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在四棱锥中，底面是梯形，．平面，、分别为棱的中点， (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）若是的中点，连接，根据已知易得，再由线面、面面平行的判定证明平面平面，最后由面面平行的性质证明结论； 【详解】（1）若是的中点，连接，又、分别为棱的中点， 根据中位线的性质知，， 由平面，平面，则平面，同理平面， 由都在平面内，故平面平面， 又平面，所以平面； 4．（24-25高一下·浙江·月考）如图，在四面体中，平面平面，且，，M是的中点，P是的中点，Q在线段上，且． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行，证明平面平面，得到平面； 【详解】（1）如图，作的中点E，连接，， 因为P，E分别为，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以， 同理可得平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 题型05 证明面面平行 1．（24-25高一下·辽宁·月考）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据棱台的体积公式求解； （2）连接，，利用线面平行的判定定理可证平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）由题可知，． 根据棱台的体积公式，可得棱台的体积. （2）如图所示： 连接，因为分别是的中点，则， 又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）由平面，得到三棱锥的体积等于三棱锥的体积，利用，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）解：由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 3．在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 4．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面,平面,再根据面面平行的判定定理证明即可； （2）设三棱台的高为，先计算三棱台的体积，再计算三棱锥的体积，从而得几何体的体积，最后求比值即可. 【详解】（1）由题意，,为等边三角形， 故为等边三角形，,, 在三棱台中， 故,且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 又因为,, 且, 所以相似于, 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 因为,平面,平面, 所以平面平面. （2）设三棱台的高为， 则， ， 所以， ， 所以， 所以. 题型06 线面、面面平行的性质定理 1．（24-25高一下·山东临沂·期末）如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交. (1)求证：； 【答案】(1)见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理求解即可； 【详解】（1）直线和直线相交，故四点共面， 四棱锥中，，平面， 平面，故平面， 因为平面平面，平面， 故. 2．（24-25高一下·河南焦作·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点. 而是的中点，则，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以. 3．（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的性质定理，结合直三棱柱中平行四边形的性质，通过中位线定理证明为的中点； 【详解】（1）证明：如图，因为平面且平面， 又因平面平面， 所以.    又因在直三棱柱中，为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中位线. 所以为的中点. 4．（24-25高一下·四川南充·期末）在三棱锥中，平面平面，，为的中点. (1)求证：； (2)若为的中点，过的平面交平面于，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设易知，再由面面垂直、线面垂直的性质定理即可证； （2）由题设易得，由线面平行的判定得，再由线面平行的性质有，最后应用线面平行的判定即可证. 【详解】（1）由，为的中点，则， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故. （2）由为的中点，为的中点，则， 由，，则，又平面，平面平面， 所以，平面，平面， 所以平面. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解； （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   题型07 证明线面垂直 1．（24-25高一下·北京平谷·期末）四棱锥，平面，底面ABCD为菱形， (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）依据题意得到，底面为菱形，得到，根据线面垂直判定定理可得结果； 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又底面ABCD为菱形，所以，平面， 所以平面 2．（24-25高一下·重庆长寿·期末）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明即可； 【详解】（1）证明：因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面， 所以平面. 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. 4．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. 5．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； 6．（24-25高一下·上海松江·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，利用几何关系得，，再利用线面垂直的判定定理，即可求解； 【详解】（1）如图，连接，因为，为中点，所以， 又，所以，， 在中，，，则，由余弦定理，， 又，所以，则， 又面，所以平面. 7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PA∥平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO 可证明结论； （2）通过证明DE平面PBC，可得，结合可得平面； 【详解】（1）连接AC，交BD于O，连接EO. 因O，E分别为中点，则， 又平面EDB，平面EDB， 则面； （2）因四边形ABCD是正方形，则BC， 又底面平面，则BC. 因平面，，则平面. 又平面，则， 因，E是PC的中点，则. 又平面，，则平面PBC， 因平面PBC，则，又，平面，， 则平面； 8．（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； (1)求证：平面 (2)求证：平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取PB 中点M，连接MF、AM，根据几何性质，可得四边形AEFM为平行四边形，进而可得，根据线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据线面垂直的性质、判定定理，可证，结合等腰三角形性质，可证平面PBC，即可得证； 【详解】（1）证明：取PB 中点M，连接MF、AM， M、F分别为PB、PC的中点， ， ，点在上，， ， 且， 四边形AEFM为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB. （2）证明：，， ， 平面， ， ，平面PAB，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB， ， ，M为PB的中点， ， ，平面PBC，平面PBC， 平面PBC， ， 平面PBC. 9．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，. (1)求证：平面POC； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，证得为正三角形，再结合圆锥的结构特征，利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】（1）连接，延长交于点，由AB为底面圆O的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又平面，所以平面. 10．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连，可证得四边形为平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可得平面，则，再证得，从而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）证明：因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 题型08 证明线线垂直 1．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用中位线性质得，进而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用等腰三角形的中线即高线得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质证明即可. 【详解】（1）连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 2．（24-25高一下·河南新乡·月考）如图，四边形为边长为的菱形，，，为的中点． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，得是正三角形，由三线合一得，，根据线面垂直判定定理得到平面，进而得到结论； 【详解】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由为的中点，得，由，得， 而平面，则平面， 又平面，所以. 3．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，. (1)证明：. (2)证明：平面. (3)证明：⊥平面CDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据正三角形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （2）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理 （3）根据勾股定理逆定理，结合（1）中结论、线面垂直的性质和判定定理进行证明即可. 【详解】（1）因为△ABC为正三角形，D为AB的中点， 所以，因为平面ABC，平面ABC， 所以.因为平面平面， ，所以平面. 因为平面，所以. （2）连接，设与交于点F，则F为的中点. 连接DF.因为D为AB的中点，所以DF为的中位线，则. 又平面平面，所以平面. （3）易得，则， 所以. 由（1）可知CD平面，所以. 因为平面CDE，平面CDE，，所以平面CDE. 4．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； 5．（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， 6．如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，结合等边三角形性质和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可； 【详解】（1）在图（1）中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以. 又，所以. 在图（2）中，，所以，即. 因为，所以. 又平面.所以平面. 因为平面，所以. 7．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点在底面的投影恰为的重心． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用菱形和等边三角形性质，找到与平面内两条相交直线垂直，根据线面垂直判定证平面，进而得； 【详解】（1）证明：如图，连接． 因为底面，平面，所以． 因为四边形是边长为的菱形，，所以为等边三角形． 因为是的重心，所以． 又平面，所以平面． 因为平面，所以． 8．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为棱上的动点． (1)证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 【分析】（1）证明出⊥平面，得到⊥，结合正方形得到⊥，从而得到线面垂直，得到线线垂直； 【详解】（1）直三棱柱，，故， 即， 又⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，故四边形为正方形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； 9．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判断定理即可得证； （2）由线面垂直的判断定理证面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）根据题意，三棱柱为直三棱柱，则， 又由，则， ，面，面 则有面，又面，所以， 又由，则四边形为正方形，则， 又由，面，面，则有面， 面，则； 10．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，，，，且，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，可证四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定即可证明； （2）取的中点，连接，，易证面，得到，利用余弦定理可得，接着可证四边形是正方形，得到，根据线面垂直的判定可证面，得到. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且． 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为，所以，所以， 因为面，面，所以 因为，面，面，所以面， 因为面，所以， 因为，，所以，， 所以四边形是正方形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为面，所以． 题型09 证明面面垂直 1．如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； 【详解】（1）设交于，连接并交于，连接， 由正四棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 2．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行； （2）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可. 【详解】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 连接，由正四棱柱可知，平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 3．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线线垂直证平面，进而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）先根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中用余弦定理可得角的余弦值. 【详解】（1）如图，连接， 且，所以四边形为平行四边形，所以 平面平面，. 又为圆的直径 平面平面, 平面，又，平面，平面 ∴平面平面 （2）延长交圆于点，连接 易得，所以且，所以. 且，所以四边形是平行四边形，即且， 因此可得且，四边形是平行四边形，即. 所以或其补角即为异面直线与所成角. ∵点为弧的中点且为直径，且，可得. ，在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 4．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点． (1)证明平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直； 【详解】（1）四边形为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合， ，， 因为，所以， 又，平面， 所以平面． 平面，所以平面平面. 5．（24-25高一下·新疆喀什·期末）如图，三棱台中，，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 连接，设，连接，先得四边形是平行四边形，即可证得，得出结果； (2) 先证明，由线面垂直的判定定理可得平面，结合平面，即可得证. 【详解】（1）如图所示，连接，设，连接． 在三棱台中，，所以． 因为G是AC的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为，所以． 又平面，平面， 所以平面． （2）因为分别为的中点，所以． 因为，所以． 又为的中点， 所以，， 所以四边形EFCH是平行四边形，所以． 因为，所以． 又平面， 所以平面．又平面， 所以平面平面． 6．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再由面面垂直的判定定理可得面面垂直； 【详解】（1）取中点，连接，如图， 由已知，所以，且， 中，， 又，所以， 所以，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； 7．（24-25高一下·福建莆田·期末）如图，正方形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，已知，，点在线段上.      (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）依次求证和得到平面即可由面面垂直判定定理得证； 【详解】（1）四边形为正方形，， 又平面平面，平面平面平面， 平面，    又平面. 取中点，连接，由已知得， 又， 又平面平面，平面. 又平面平面平面. 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若二面角为； （i）证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）棱上不存在点，使.理由见解析. 【分析】（1）可以先证明，利用线面平行的判定定理，可证明平面； （2）（i）先证平面，可用面面垂直的判定定理，证明即可 【详解】（1）证明：如图，取中点，连接． 因为为中点，故．由已知有． 又由于为中点，因而，故四边形为平行四边形， 所以．又平面，而平面，所以平面．    （2）（i）如图，连接． 因为，而为中点，故， 所以为二面角的平面角． 在中，由，，可解得． 在中，由，，可解得． 在中，，，，由余弦定理，可解得， 从而，即． 又，从而，因此平面． 又平面，所以平面平面． 题型10 面面垂直的性质定理 1．（24-25高一下·河北·期末）如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可得，结合面面垂直可得平面，即可得结果； 【详解】（1）因为，则， 可得，则. 又因为平面平面，且平面平面平面， 可得平面， 且平面，所以. 2．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用余弦定理求得，根据勾股定理证得，再根据面面垂直的性质即可证明平面 【详解】（1） 连结，在中，，，， 由余弦定理，即， 此时，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面． 3．（24-25高一下·天津·期末）如图，在多面体PABCD中，平面ABC，平面平面PBC，且，M为BD的中点． (1)求证：平面ABC； (2)求证：平面PAB； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取BC中点N，由中位线得到线线平行，得到四边形PANM为平行四边形，因此，所以平面ABC. （2）作于E，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】（1）取BC中点N，连接MN，AN，由M为BD的中点，得， 而，则，四边形PANM为平行四边形， 因此， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC. （2）在平面PAB内过作于E， 由平面平面PBC，平面平面，平面， 得平面PBC，而平面PBC，则， 由平面ABC，平面ABC，得， 又，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB. 4．如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． (1)求证：平面ABD； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先根据线面垂直平面得出平面平面，再应用面面垂直性质定理得出线面垂直结合平行得证； 【详解】（1）取AB的中点O，连接OF，OC． 因为为等边三角形，所以． 又因为平面，平面，得平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 又因为，点F为AD中点， 所以且，又，所以，，所以四边形是平行四边形． 所以，所以平面． 5．如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理，并结合图形进行证明即可. 【详解】在平面中，过点作的垂线，垂足为. 则，又平面平面，且平面平面，平面，故平面. 又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，故. 6．（24-25高一上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由勾股定理即可得证； （2）由平面平面PCD依次证平面ADP、、平面ACP、即可； （3）由几何关系可得，结合即可求值. 【详解】（1）作，E为垂足，如图， 在等腰梯形ABCD中，， ∴，， ∴， ∴，∴． （2）∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD， ∴平面ADP，又平面ADP， ∴，又， ∵平面ACP， ∴平面ACP， ∵平面ACP，∴， ∴，即为直角三角形. （3）由（1）知在等腰梯形ABCD中，．， ．∴．∴． 又平面ADP，为直角三角形，， ∴，， ∴． ∴． 7．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE为菱形，从而线线垂直，得到平面．故； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用锥体体积公式进行求解； 【详解】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； 8．如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见详解 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明； 【详解】（1） 连接，取的中点，连接，， ，， 在直三棱柱中，平面平面， 平面平面，平面， 平面， 分别为，的中点，且， 点D是棱的中点，且， 且，四边形是平行四边形， ，平面， 平面，平面平面； 9．（24-25高一下·河南驻马店·期末）如图，菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直. (1)证明：直线平面； (2)若平面平面，求的值； (3)在（2）条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分别证得平面和平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面； （2）利用面面垂直的性质，证得面，面，求得和，取中点为，证得，，得到为二面角的平面角，求得，即可得解； （3）记面面，利用线面平行的性质，证得，得到，，得到即为平面与平面所成的角，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】（1）因为四边形为矩形，则， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为菱形，则， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）由菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直， 且平面平面，，，平面， 所以面，面， 因为平面，所以，， 则，， 又由，则. 同理可得：. 取中点为，记，则且， 所以，，所以为二面角的平面角， 因为平面平面，则，且，所以， 可得. （3）记面面， 因为，平面，所以平面， 且平面，所以，则， 因为，从而，， 所以即为平面与平面所成的角， 在（2）条件下，，所以为等腰直角三角形，所以， 可得，即平面与平面夹角的余弦值为. 题型11 利用全等三角形证明垂直问题 1．如图所示四棱锥，其中交于点.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形全等和线面垂直的判定定理来证明线面垂直. 【详解】因为，所以均在的垂直平分线上，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面. 2．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）由题意可得，得，由点为的中点，可得,从而得平面，即可证明平面平面； 【详解】（1）证明：由题意可得为等腰直角三角形，斜边, 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为点为的中点， 所以, 又平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 3．（24-25高一下·河南许昌·期末）如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过证明、，证得平面BED，进而证得. 【详解】（1）因为，E是AC的中点，所以． 因为，所以， 所以，所以， 因为，DE，平面BED， 所以平面BED， 因为平面BED，所以． 4．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：直线平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用正三棱柱的性质得，，则证得线面垂直； （2）设，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行． 【详解】（1）取与的交点为， 由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为D，E分别为线段，的中点， 所以， 所以， 又因为， 所以 所以， 所以 又因为平面， 所以平面. （2）连接，且，连接 在中，O为中点，为中点，所以 因为平面平面 所以平面． 题型12 平行、垂直中的探索性问题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 2．（24-25高一下·河北·月考）如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，分别是棱的中点． (1)证明：平面． (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在满足条件的点，此时 【分析】（1）先根据勾股定理得出，再结合线面垂直判定定理得出平面，平面即可证明； （2）取，结合线面平行判定定理得出平面，进而得出平面平面，再应用面面平行性质定理得出平面． 【详解】（1）证明：设，则．连接． 因为分别是棱的中点，所以， 则，，， 所以，所以． 因为是等边三角形，且为棱的中点，所以． 由直棱柱的定义可知平面平面，且平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面平面，且， 所以平面． （2）存在满足条件的点，此时，即为棱的中点． 取棱的中点，连接． 因为分别是棱的中点，所以． 因为分别为棱的中点，所以，所以． 因为平面平面，所以平面． 由棱柱的性质可得． 因为平面平面，所以平面． 因为平面平面，且，所以平面平面． 因为平面，所以平面． 3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由平面可得，由正方形的性质可得，进而结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面角的定义可得即为与平面所成角，进而求解即可； （3）取中点，连接，结合（2）中的结论可得平面平面，再由面面垂直的性质定理即可得到结果. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 在正方形中，， 因为平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，则， 则，又， 在中，. 即与平面所成角的正弦值为. （3）存在实数，使得平面，理由如下： 取中点，连接， 由（2）可知，因为，， 所以， 又平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 故存在实数，使平面． 4．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）由锥体体积公式直接计算可得结果； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）在直角三角形中， ∵，∴，∴． 又三角形的面积 由（1）知，平面， 所以三棱锥的高为． 所以. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【答案】(1)平面，平面 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）由已知可得，，然后由线面平行的判定定理可得结论； （2）由已知面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论； （3）当为中点时，满足条件，连接，设，可得，，再结合面面垂直可得平面，然后由面面垂直的判定得平面平面，利用等体积法可求得三棱锥体积. 【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以，，， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以. 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 6．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）借助长方体的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再借助面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合直线与平面所成角的定义可得等于直线与平面所成的角，再借助正弦的定义计算即可得； （3）找出符合要求的点，再借助线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 7．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，为线段上一点． (1)当平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当时， 【分析】（1）由题意可知为的中点，由线面平行的性质定理可得，即可得证； （2）由面面垂直的性质定理可得，只需满足，即可得平面，从而有平面平面，故只需找出成立时，求出点的位置即可. 【详解】（1）证明：因为为正方形，， 所以为的中点， 又因为平面，平面平面，平面， 所以， 又因为为的中点，所以为的中点； （2）存在，当时，平面平面， 理由如下： 设， 因为为正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在矩形中，设， 因为，，设， 在矩形中，因为，， 当时，即，此时 因此，又因为， 所以，在中，，故， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 在线段上是存在点，当为的一个三等分点（靠近A点）时， 平面平面. 8．（23-24高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，且．四边形满足．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点． (1)求证：平面平面； (2)设直线与平面所成的角为，求的最大值； (3)是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，证明见解析，． 【分析】（1）由线面平行的性质定理得，进而得，利用面面垂直的性质定理得平面，进而得，由线面垂直的判定定理得平面，根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）由（1）知平面，则即直线AF与平面PAB所成的角为，设，则，利用二次函数即可求解； （3）在平面中，过点作，垂足为，即证，又平面得，利用线面垂直的判断定理得平面，即，进而得平面，最后在中即可计算的长. 【详解】（1）因为平面ADE，平面， 则平面， 又平面，平面平面，则． ． 面平面，且，面平面面PAC， 平面，又平面，得， 又，PA，平面， 平面，平面， 平面，平面平面； （2）由（1）知平面，则即直线AF与平面PAB所成的角为， 且，设，则可计算得， 则，则当时，取到最大值． （3）存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直． 在平面中，过点作，垂足为， 由已知． ，，，得， 又由平面，得，且，PA，平面， 平面，结合平面，得． 又，CD，平面， 平面． 在中，， ． 上存在点B使得直线AF与平面垂直，此时线段的长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $