2026年甘肃兰州中考数学模拟卷4

**基本信息** 以AI搜索工具日活数据、《算学启蒙》古算题等真实情境为载体，覆盖代数运算、几何推理、统计分析核心知识，通过动态几何折叠、新定义“对称点”等问题考查抽象能力、推理意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|中心对称图形、幂运算、科学记数法、圆内角度计算|结合AI科技数据考查科学记数法，融入尺规作图（第4题）体现几何直观| |填空题|4/12|因式分解、反比例函数性质、正六边形计算、平行四边形中点性质|正六边形对角线比例（第14题）考查空间观念，平行四边形中点问题（第15题）体现模型意识| |解答题|11/75|统计图表分析、尺规作图菱形、二次函数综合、矩形折叠动态问题|矩形折叠探究（第25题）考查推理能力，新定义“对称点”（第26题）发展创新意识，古算题（第10题）渗透文化传承|

2026兰州中考数学模拟卷04 参考答案与解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D B B A A D C A A 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断． 【解答】解：A、选项图形是中心对称图形，符合题意； B、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了中心对称图，掌握中心对称图形的概念是关键． 2．【答案】B 【分析】根据二次根式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式分别计算判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、（a2b）3＝a6b3，故此选项符合题意； C、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； D、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的加减、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，正确计算是解题的关键． 3．【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：∵22150000＝2.215×107． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．【答案】B 【分析】根据作图，得到直线MN是线段AB的垂直平分线，得到AP＝BP，结合点P是BC的中点，BC＝12，得到，求解即可． 【解答】解：根据作图，得到直线MN是线段AB的垂直平分线， ∴AP＝BP， 由点P是BC的中点，BC＝12， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．【答案】B 【分析】由平行线的性质得到∠ABD＝∠BAC＝40°，根据同弧所对圆周角相等得到∠BAC＝∠BDC＝40°，再根据三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：∵BD∥AC，∠BAC＝40°， ∴∠ABD＝∠BAC＝40°， ∵， ∴∠BAC＝∠BDC＝40°， ∴∠APD＝∠ABD+∠BDC＝80°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．【答案】A 【分析】本题根据二次根式和分式有意义的条件列不等式求解即可． 【解答】解：根据题意可知，代数式在实数范围内有意义，需同时满足两个条件： ①x+2≥0，解得：x≥﹣2； ②分式的分母不为0：x≠0； ∴x的取值范围是x≥﹣2且x≠0． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是关键． 7．【答案】A 【分析】根据k的符号判断反比例函数的图象位置和增减性，再结合反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断选项即可． 【解答】解：A、∵反比例函数为， ∴k＝﹣3＜0 ∵k＜0， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，符合题意； B、∵反比例函数中x≠0，y≠0， ∴图象不可能与坐标轴相交，不符合题意； C、∵k＜0， ∴只有在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； D、当x＝﹣2时，， ∴图象不经过点，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8．【答案】D 【分析】根据点D的坐标结合相似比为3作答即可． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的相似比为3的位似图形△OCD， ∴B（3÷（﹣3），2÷（﹣3）），即， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 9．【答案】C 【分析】根据图象开口向下可知a＜0，与y轴的交点在原点上方可知c＞0，据此可判断①；因为抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，所以另一交点为（3，0），则9a+3b+c＝0、a﹣b+c＝0两式相减可得8a+4b＝0，可判断②；抛物线顶点坐标为（1，m），开口向下，则m为最大值，对于任意实数n，都有an2+bn+c≤m，据此可判断③；由图象可得当﹣1＜x＜3时，y＞0，据此可判定④． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵与y轴的交点在原点上方可， ∴c＞0， ∴ac＜0，即①正确； ∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0）， ∴当x＝3时，9a+3b+c＝0；当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0， ∴两式相减可得8a+4b＝0，即②正确； ∵抛物线顶点坐标为（﹣1，0），开口向下， ∴m为最大值， ∴对于任意实数n，都有an2+bn+c≤m，即③错误； ④由图象可得，当﹣1＜x＜3时，y＞0，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 10．【答案】A 【分析】根据两种分铠甲的情况，分别找出铠甲总数与士兵人数的等量关系，列出方程组即可判断选项． 【解答】解：根据题意可得方程组为． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是关键． 11．【答案】A 【分析】过点A作BC边上的高AH，交EF于点G，交BC于点H．根据相似三角形的性质求出EF的长，再根据三角形面积公式列出函数关系式，根据函数关系式判断图象． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交EF于点G， 由条件可知AH＝4，GH＝x， ∴AG＝AH﹣GH＝4﹣x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即， ∴EF＝2（4﹣x）＝8﹣2x， ∴点D到EF的距离等于点E到BC的距离，即为x， ∴， ∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴该函数图象是开口向下，顶点坐标为（2，4）的抛物线，当x＝0时，y＝0；当x＝4时，y＝0，观察选项，只有A选项符合． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象，理解题意，正确列出函数解析式是关键． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．【答案】m（m+2n）2． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝m（m2+4mn+4n2）＝m（m+2n）2． 故答案为：m（m+2n）2． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 13．【答案】＞． 【分析】根据反比例函数的性质，当k＜0时，图象过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，再结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【解答】解：∵k＝﹣4＜0， ∴反比例函数图象过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（7，y1），B（4，y2）的横坐标均为正，两点都位于第四象限，且7＞4， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 14．【答案】2． 【分析】根据多边形ABCDEF是六边形，得到∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝BC＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠CBD＝∠ACB＝∠BAC＝∠CDB＝30°，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，求得PD＝2PC，于是得到结论． 【解答】解：∵多边形ABCDEF是六边形， ∴∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝BC＝CD， ∴∠CBD＝∠ACB＝∠BAC＝∠CDB＝30°， ∴∠PCD＝∠ABP＝90°， ∴△ABP≌△DCP（ASA）， ∴AP＝PD， ∵∠PCD＝90°，∠PDC＝30°， ∴PD＝2PC， ∴AP＝2PC， ∴2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15．【答案】4． 【分析】根据斜边上的中线，得到BC＝2AE＝8，根据平行四边形的性质，推出OF是△BCD的中位线，进而得到，即可得出结果． 【解答】解：∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵点E为BC的中点， ∴， ∴BC＝2AE＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， 又∵点F为CD的中点， ∴； 故答案为：4． 【点评】本题考查平行四边形的性质，斜边上的中线和三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．【答案】4+3． 【分析】利用绝对值及算术平方根的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 【解答】解：原式＝3+32﹣2 ＝3+32﹣1 ＝4+3． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17．【答案】． 【分析】方程两边同乘以2（4+x）化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【解答】解：原方程两边同乘以2（4+x）得2（3﹣x）＝4+x， 去括号得6﹣2x＝4+x， 移项得﹣2x﹣x＝4﹣6， 合并同类项得﹣3x＝﹣2， 系数化为1得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 18．【答案】，． 【分析】先根据整式和分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用绝对值的性质、零指数幂的规定求出x的值，代入计算即可． 【解答】解：原式＝3x2﹣x+3x﹣1﹣3x2﹣x[] ＝x﹣1 ＝x﹣1• ＝x﹣1 ， 当x＝|﹣3|+（π﹣4）0＝3+1＝4时，原式． 【点评】本题主要考查分式和整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式与分式的混合运算顺序及相关法则． 19．【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（2）点P的坐标为（3，0）或 （﹣3，0）． 【分析】（1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据，即可求解． 【解答】解：（1）∵双曲线经过点A（2，2），B（﹣4，a）， ∴m＝2×2＝4＝﹣4a， ∴a＝﹣1， ∴B（﹣4，﹣1），反比例函数解析式为：， ∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（2，2），点B（﹣4，﹣1）， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）∵点P在x轴上，S△AOP＝3， ∴， ∴， ∴OP＝3， ∴点P的坐标为（3，0）或（﹣3，0）． 【点评】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 20．【答案】AD的长约为37.5m． 【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为点E，根据题意可得：四边形ABCE为矩形，从而可得CE＝AB＝13.20m，然后先在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 由题意得：四边形ABCE为矩形， 所以CE＝AB＝13.20m， 在Rt△ACE中，， 所以（m）， 在Rt△ADE中，， 所以（m）， 因此，AD的长约为37.5m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．【答案】（I）40，25，4h，3h． （II）3.2h． （III）350人． 【分析】（I）用每月参加志愿服务的时为2h的人数除以其所占百分比可得样本容量a，用每月参加志愿服务的时为3h的人数除以样本容量求得m的值；再根据众数和中位数的定义解答即可； （II）根据加权平均数公式解答即可； （III）用总人数乘样本中每月参加志愿服务的时间是4h的人数所占百分比即可． 【解答】解：（I）由题意可知，a＝6÷15%＝40， ∴m%100%＝25%，即m＝25， 统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数是4h，中位数是3（h）， 故答案为：40，25，4h，3h； （II）观察条形统计图， ∵（h）， ∴这组数据的平均数是3.2h． （III）∵在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占35%， ∴根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占35%，有1000×35%＝350（人）， ∴估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．【答案】（1），菱形BEDF即为所求作； （2）． 【分析】（1）根据题干所给方法作图即可； （2）由题意知四边形BEDF为菱形，设BF＝DF＝x，则AF＝4﹣x，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：（1）如图所示，菱形BEDF即为所求作； （2）由题意知，四边形BEDF为菱形， 设BF＝DF＝x，则AF＝AD﹣DF＝4﹣x， 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB2+AF2＝BF2，即x2＝32+（4﹣x）2， 解得， ∴四边形BEDF的周长． 【点评】本题考查作图，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 23．【答案】（1）顶点式为y＝（x﹣a）2﹣1，最小值为﹣1； （2）a＝2或a＝﹣2； 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案； （2）求出AB的长度和点C的坐标，根据三角形面积公式列出方程并解方程即可； 【解答】解：（1）y＝x2﹣2ax+a2﹣1＝（x﹣a）2﹣1， 即二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣1化为顶点式y＝（x﹣a）2﹣1， ∵抛物线开口向上， ∴当x＝a时，它的最小值为﹣1． （2）当y＝0时，x2﹣2ax+a2﹣1＝0， ∴（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）＝0， 解得x1＝a﹣1，x2＝a+1， ∵点A在点B左侧， ∴A（a﹣1，0），B（a+1，0）， ∴AB＝（a+1）﹣（a﹣1）＝2， 当x＝0时，y＝a2﹣1， ∴C（0，a2﹣1）， ∵△ABC的面积为3， ∴， 则a2﹣1＝3或a2﹣1＝﹣3（不合题意，舍去）， 解得a＝2或a＝﹣2； 24．答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°．根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠OCB，求得∠OCD＝90°根据切线的判定定理得到结论； （2）由点B是AD的中点，得到BD＝AB＝2OC．求得OD＝OB+BD＝3OC，得到，根据三角函数的定义得到DE＝3BE＝9，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠A+∠ABC＝90°． ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠OCB， ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠OCB＝90°， 即∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵点B是AD的中点， ∴BD＝AB＝2OC． ∵OB＝OC， ∴OD＝OB+BD＝3OC， ∴， ∵BE⊥AD， ∴∠DBE＝90°， 又∵∠OCD＝90°， ∴． ∴DE＝3BE＝9， 在Rt△DBE中， ， ∴， 即⊙O半径为． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确地添加辅助线是解题的关键． 25. 【解答】（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， ∴∠EPH＝∠A＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， ∴△EDP∽△PCH； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∵P为CD中点， ∴DP＝CP1， 设EP＝AE＝x， ∴ED＝AD﹣x＝3﹣x， 在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2， 即x2＝（3﹣x）2+1， 解得x， ∴EP＝AP＝x， ∴ED＝AD﹣AE， ∵△EDP∽△PCH， ∴，即， ∴PH， ∵PG＝AB＝2， ∴GH＝PG﹣PH． （3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上， ∴AP⊥EF，BG⊥直线EF， ∴BG∥AP， ∵AE＝EP， ∴∠EAP＝∠EPA， ∴∠BAP＝∠GPA， ∴△MAP是等腰三角形， ∴MA＝MP， ∵P为CD中点， ∴设DP＝CP＝y， ∴AB＝PG＝CD＝2y， ∵H为BC中点， ∴BH＝CH， ∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH， ∴△MBH≌△PCH（ASA）， ∴BM＝CP＝y，HM＝HP， ∴MP＝MA＝MB+AB＝3y， ∴HPPMy， 在Rt△PCH中，CHy， ∴BC＝2CHy， ∴AD＝BCy， 在Rt△APD中，APy， ∵BG∥AP， ∴△BMG∽△AMP， ∴， ∴BGy， ∴， ∴ABBG． 26．【答案】（1）（0，3）； ②y＝x+3； （2）﹣1＜x＜2；2＜y＜7． 【分析】（1）①先根据平移求出P′的坐标，再根据旋转克制N是P′和Q的中点，设Q（x，y），根据中点坐标公式求解即可； ②当k＝1时，一次函数为y＝x+1，设点N（n，n+1），利用中点公式求解即可． （2）当k≤1时，分情况：当y＝0时，y＝2时求出x的值，对于x＝1，当k时以及k＝1时，确定﹣3＜xP＜﹣1，设P（xP，yP），再根据平移，旋转以及中点公式表示出x＝2﹣（xP+a），y＝4﹣（yP+b），结合题中给出的范围求解即可． 【解答】解：（1）①点M（2，1），故向右平移2个单位（a≥2），向上平移1个单位（b≥1），点P（0，0）平移后得到P′（0+2，0+1），即P′（2，1）， 设P′绕点N（1，2）旋转180°，即点N是P′和Q的中点， 设Q（x，y）， 则1，2， 解得x＝0，y＝3， ∴Q（0，3）； 故答案为：（0，3）； ②当k＝1时，一次函数为y＝x+1， 设点N（n，n+1），同①，P（0，0）平移后仍为P′（2，1）， 设P′绕点N旋转180°，即点N是P′和Q的中点， 设Q（x，y）， 则n，n+1， 化简得y＝x+3； （2）∵一次函数y＝kx﹣k+2＝k（x﹣1）+2， ∴当k≤1时，0＜yP＜2， 由y＝k（x﹣1）+2， 当y＝0时，0＝k（x﹣1）+2，x＝1； 当y＝2时，2＝k（x﹣1）+2，x＝1； ∵k≤1，对于x＝1， 当k，x＝1﹣4＝﹣3； 当k＝1时，x＝1﹣2＝﹣1； ∴﹣3＜xP＜﹣1； 已知点M（a，b）（3＜a＜4，﹣3＜b＜0），点P先根据M平移，再根据N（1，2）旋转180°得到Q， 设P（xP，yP），平移后P（xP+a，yP+b）， 设Q（x，y）， 则1，2， 则x＝2﹣（xP+a），y＝4﹣（yP+b）， ∵﹣3＜xP＜﹣1，3＜a＜4， ∴﹣3+3＜xP+a＜﹣1+4，即0＜xP+a＜3， ∴﹣3＜2﹣（xP+a）＜2，即﹣1＜x＜2； ∵0＜yP＜2，﹣3＜b＜0， ∴0﹣3＜yP+b＜2+0，即﹣3＜yP+b＜2， ∴2＜4﹣（yP+b）＜7，即2＜y＜7． 【点评】本题考查了坐标点的平移，旋转，终点坐标的求解，理解题中给出的定义，能够根据平移以及旋转的方式求出点的坐标为解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/20 20:56:28；用户：绘学B区资料下载；邮箱：15693311191；学号：65108399 第1页 共22页 ◎ 第2页 共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026兰州中考数学模拟卷4 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．下面图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B．（a2b）3＝a6b3 C．a2•a3＝a6 D．（x﹣3）2＝x2﹣9 3．据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　） A．0.2215×108 B．2.215×106 C．22.15×106 D．2.215×107 4．如图，在△ABC中，分别以AB的端点A，B为圆心，以大于长为半径在AB两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线MN交BC于点P，连接AP．已知点P是BC的中点，BC＝12，则AP的长是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 5．如图，△ABC和△DBC内接于⊙O，AB与CD相交于点P．已知BD∥AC，∠BAC＝40°，则∠APD的度数为（　　） A．85° B．80° C．70° D．75° 6．使代数式在实数范围内有意义的x取值范围是（　　） A．x≥﹣2且x≠0 B．x＞﹣2且x≠0 C．x≥2 D．x≥﹣2 7．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 8．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的相似比为3的位似图形△OCD，若点D的坐标为（3，2），则点B的坐标为（　　） A． B． C．（﹣1，﹣2） D． 9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，抛物线与x轴交于点（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），下列结论：①ac＜0；②8a+4b＝0；③对于任意实数n，都有an2+bn+c≥m；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，△ABC中，BC＝8，BC边上的高为4，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．分解因式：m3+4m2n+4mn2＝　 　 ． 13．若点A（7，y1），B（4，y2）都在函数的图象上，则y1　 　 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 14．如图，一个正六边形ABCDEF的边长为3，连接对角线AC，BD，交于点P，则的值为　 　 ． 15．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE＝4，则OF＝　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：|﹣3|2sin30°． 17．（5分）解方程：． 18．（5分）先化简，再求值：（x+1）（3x﹣1）﹣x（3x+1）（），其中x＝|﹣3|+（π﹣4）0． 19．（7分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y（m≠0）交于点A（2，2），点B（﹣4，a）． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标． 20．（7分）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 21．（7分）为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填空：a的值为 　 　 ，图①中m的值为 　 　 ，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为 　 　 和 　 　 ； （Ⅱ）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （Ⅲ）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 22．（7分）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题：如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC．在BC、AD边上分别确定点E、F，使得四边形BEDF是菱形．作法如下： ①连接BD； ②作线段BD的垂直平分线，交AD于点F，交BC于点E； ③连接BF、DE． 则四边形BEDF即为菱形． （1）请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出菱形BEDF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AB＝3，AD＝4，求四边形BEDF的周长． 23．（7分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣1（其中a为常数）， （1）将二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣1化为顶点式，并写出它的最小值． （2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当△ABC的面积为3时，求a的值． 24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径． 25．（8分）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H． （1）如图1，求证：△DEP∽△CPH； （2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长； （3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），点N． 对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′绕点N旋转180°后的对应点为点Q，称点Q为点P的“对称点”． 已知一次函数y＝kx﹣k+2（k≠0）． （1）点M（2，1），点P（0，0）． ①若点N（1，2），则点P的“对称点”点Q的坐标是 　 　 ； ②当k＝1时，点N为一次函数y＝kx﹣k+2（k≠0）图象上一点，点Q为点P的对称点，直接用等式表示点Q（x，y）的横，纵坐标满足的关系； （2）若点M（a，b）（3＜a＜4，﹣3＜b＜0），点P为一次函数图象上一动点，且点P的纵坐标yP满足0＜yp＜2，点N（1，2），点Q为点P的“对称点”，直接写出点Q横，纵坐标的取值范围． 第11页 共12页 ◎ 第12页 共12页 学科网（北京）股份有限公司 $