6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 【学习目标】 1. 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。 1. 能正确理解“完成一件事”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”进行计数。 1. 能通过具体实例，说明两个计数原理的联系与区别，发展逻辑推理素养。 【学习重点】 1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的内容。 2. 运用两个原理解决简单的计数问题。 【学习难点】 正确区分“分类”与“分步”，做到“类类独立、不重不漏”和“步步相依、步骤完整”。 学习任务一 分类加法计数原理 【合作探究】 1. 问题引入：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ (1) 完成这件事有几类方案？ (2) 第一类方案（用英文字母）有多少种方法？ (3) 第二类方案（用阿拉伯数字）有多少种方法？ (4) 总的不同号码数如何计算？ 1. 请总结上述计数过程的基本环节： · (1) 确定______标准，根据问题条件分为若干类； · (2) 分别______各类的数目； · (3) 将各类的数目______，得出总数。 1. 推广：如果完成一件事有 类不同方案，在第 类方案中有 种方法，在第 类方案中有 种方法，……，在第 类方案中有 种方法，那么完成这件事共有多少种方法？ · 写出公式：。 1. 辨析：在填写高考志愿时，某同学在 A 大学有 5 个感兴趣的专业，在 B 大学有 4 个感兴趣的专业，如果数学也是 A 大学的强项专业（即 A 大学有 6 个专业），那么用分类加法计数原理计算 对吗？为什么？ 【自主梳理】 1. 分类加法计数原理： · 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第 2 类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 · 推广：完成一件事有 类不同方案，则 。 1. 使用条件： 1. 每一类中的每一种方法都能______完成这件事。 2. 各类方案中的方法互不相同（即“不重不漏”）。 学习任务二 分步乘法计数原理 【合作探究】 1. 问题引入：用 A, B, C, D, E, F 这 6 个大写英文字母和 1～9 九个阿拉伯数字，以 A1, A2, …, B1, B2, … 的方式给座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ (1) 完成这件事需要分几个步骤？ (2) 第 1 步（选字母）有多少种方法？ (3) 第 2 步（选数字）有多少种方法？ (4) 总的不同号码数如何计算？ 1. 你能用树状图（文字描述）解释为什么总数为 吗？ 1. 请总结分步计数过程的环节： · (1) 根据问题中的“______”字，确定完成事情需要分成若干步； · (2) 分别计算各步的方法数； · (3) 将各步的方法数______，得出总数。 1. 推广：完成一件事需要 个步骤，做第 1 步有 种方法，第 2 步有 种方法，……，第 步有 种方法，则完成这件事共有 种方法。 【自主梳理】 1. 分步乘法计数原理： · 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 · 推广：完成一件事需要 个步骤，则 。 1. 使用条件： (1) 各步骤之间______（相互依存/相互独立），必须依次完成所有步骤才能完成这件事。 (2) 无论第 1 步采用哪种方法，与之对应的第 2 步都有相同的方法数（即各步的方法数是固定的）。 学习任务三 两个原理的区别与综合应用 【合作探究】 1. 比较下列两个问题，判断是“分类”还是“分步”： · (1) 从书架上任取 1 本书（书架有三层：计算机书 4 本，文艺书 3 本，体育书 2 本）。 · (2) 从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书。 · 分别计算取法总数。 1. 变式：从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ · （提示：需要先分类（哪两个学科），再分步（各取一本）） 1. 填写下表，总结两个原理的区别： 比较项目 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 ______ ______ 完成方式 任选______类中的一种方法即可 必须______完成所有步骤 计数方法 各类方法数______ 各步方法数______ 独立性 各类方法______独立完成 每一步______独立完成 【自主梳理】 两个原理的联系与区别： 1. 联系：都是用来计算完成一件事的不同方法种数。 2. 区别： (1) 分类相加：类类独立，不重不漏，每一类都能独立完成这件事。 (2) 分步相乘：步步相依，缺一不可，只有所有步骤完成才能完成这件事。 解题步骤： 1. 明确“完成一件事”是什么。 2. 分析是“分类”还是“分步”（或先分类后分步）。 3. 分别计算各类（或各步）的方法数。 4. 应用原理得出总数。 【自查自纠】（正误判断） 1. 分类加法计数原理中，各类方案中的方法可以有重复。 （ ） 1. 分步乘法计数原理中，每一步的方法数可以不同，但不能相互影响。 （ ） 1. 从 3 名男生和 2 名女生中各选 1 人参加比赛，共有 种选法。 （ ） 1. 用 0,1,2 组成三位数（允许重复），可以先选百位，再选十位，最后选个位，共 种。 （ ） 1. 两个计数原理可以综合使用。 （ ） 【典例分析】 例1：某班有男生 30 名，女生 24 名。 (1) 从中选出男、女生各 1 名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ (2) 若再从 10 名任课老师中增派 1 名作为领队，则共有多少种不同的选法？ 解： 例2：书架第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书。 (1) 从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ (2) 从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ (3) 从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 解： 【习题巩固】 1. 一项工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法，另有 4 人只会用第 2 种方法，从中选出 1 人来完成这项工作，不同选法的种数是（ ） · A. 5 B. 4 C. 9 D. 20 1. 从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 村去 C 村，不同路线的条数是（ ） · A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 1. 现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，将一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有（ ） · A. 7 种 B. 12 种 C. 64 种 D. 81 种 1. 某学生在书店发现 3 本好书，决定至少买其中的 1 本，则购买方法有（ ） · A. 3 种 B. 6 种 C. 7 种 D. 9 种 1. （选做）用数字 1,2,3 可组成多少个无重复数字的两位数？若允许重复，则可组成多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $