第11讲 菱形（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 菱形（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】菱形的定义 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 图示 数学语言 如图所示. ∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD， ∴ ABCD 是菱形 【知识点02】菱形的性质 1.菱形的性质 性质  数学表达式 图形 性质1：菱形的四条边相等  ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD 性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC，∠ DAC= ∠ BAC，∠ ACD= ∠ ACB，∠ ABD= ∠ CBD，∠ ADB= ∠ CDB 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴 2.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图形 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积=底× 高 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【知识点03】菱形的判定 判定方法 数学语言 图形 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法) 在▱ABCD 中，∵AB=BC，∴ ▱ABCD 是菱形 四边相等的四边形是菱形(判定定理1) 在四边形ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD 是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定定理2) 在▱ABCD 中，∵ AC ⊥ BD，∴ ▱ABCD 是菱形 【题型一】利用菱形的性质求角度 例1．（23-24八年级下·安徽六安·月考）在菱形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025八年级下·安徽·专题练习）如图，在菱形中，，分别垂直，于点E，F，，相交于点G，连接，．解决下列问题： （1）若，则________； （2）若，则________． 变式2．如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 例2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 例3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，是菱形的对角线，点和点分别是和上的点，． （1）若，则的度数为___； （2）若，，则的最小值为___． 变式1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，C，D是射线上的点，，分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，两弧交于点 E，连接与交于点F.若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B．4 C． D．8 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）将一块菱形纸板剪成如图1所示的①②③块，再拼成不重叠，无缝隙的直角三角形（如图2，），若，，则的长为______ ． 变式3．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，点P在边上，求的最小值． 【题型三】利用菱形的性质求面积 例4．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 例5．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是上的点，且．则图中阴影部分的面积________． 变式1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）菱形的两条对角线分别是6和8，则该菱形的面积是（    ）． A．24 B．48 C．14 D．10 变式2．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）如图，菱形中，，，则边上的高__________．    变式3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1，点A在格点上． (1)在网格图中，以格点为顶点，画菱形，使它的边长为． (2)求菱形的面积． 【题型四】利用菱形的性质证明 例6．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．每条对角线平分一组对角 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 例7．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在菱形中，对角线相交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：与互相平分． 变式1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO 变式2．（2024八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，E、F分别是，的中点，、相交于点G，连接，．有下列结论：①，②，③，④；其中正确的结论序号是_______． 变式3．（22-23八年级下·安徽池州·期末）下图，在菱形中，，垂足为，为边的中点，．    (1)直接写出结果：_________； (2)求证：． 【题型五】证明四边形是菱形 例8．（23-24八年级下·安徽六安·期末）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，现有以下条件：①OA=OC，OB=OD；②ABCD，AD=BC；③AC=BD；④AC⊥BD．从中选出两个，能推出四边形ABCD是菱形的是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 例9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图①中，以为一边画平行四边形，使其面积为6； (2)在图②中，以为一边画一个菱形； 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）两个全等的矩形纸片和按图所示的位置重叠在一起，已知，． （1）用准确的语言描述重叠的四边形的形状：________． （2）按照既得结论，四边形的面积是________． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，均为格点（网格线的交点）． (1)若以为对角线，请在网格中画出一个菱形；（点都在正方形网格的格点上且） (2)在（1）所画菱形中，的值为______． 【题型六】添一个条件使四边形是菱形 例10．（22-23八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是（    ）    A．平分 B． C． D． 例11．已知平行四边形，若________，则平行四边形是菱形． 变式1．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，那么下列条件中，能判断平行四边形 ABCD 是菱形的为 （      ） A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC 变式2．如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 变式3．如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 例12．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 例13．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式1．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则________． 变式2．（2024八年级下·安徽安庆·期末）问题情境： 在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究． 如图1，将边长为4，度的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到和．将绕着点D逆时针旋转． 初步探究： （1）“爱心小组”将绕点D逆时针旋转，当时，的度数为________； 再次探究： （2）“勤奋小组”将绕点D逆时针旋转至图2，连接AC，，此时四边形是矩形，求的度数； 深入探究： （3）“创新小组”将绕点D逆时针旋转至图3，此时点B，D，恰好在一条直线上，延长BA，交于点E，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 例14．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ） A． B． C． D． 例15．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2)如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 变式2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点D为边AC上一点，连接BD，将沿翻折得，连接CE， （1）若，则的度数为__________ ； （2）若四边形BDEC是平行四边形，，则_______ 变式3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E，F分别为，的中点，若连接，，，求四边形的周长． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 例16．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）两张宽度相同的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ）    A．2 B． C．1 D． 例17．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)若，证明：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为60，，求的长． 变式1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）菱形的周长为，若对角线，则此菱形的面积等于（　　） A．8 B． C． D． 变式2．（2024八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点． （1）四边形BFDE的形状是  ________． （2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为 ________． 变式3．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）请认真完成下列数学活动 典例再现：如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF． 尝试发现 （1）按图1填空： ①若▱ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为　 　； ②若▱ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是　 　． 应用发现 （2）如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝，AD＝6，求四边形ABFE的面积． 应用拓展 （3）如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝，则△ABC的面积是　 　． 一、单选题 1．如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 2．如图，在菱形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 5．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，对角线，点E、F分别是边、的中点，点P在上运动过程中，的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 12．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 13．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 15．如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 16．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 17．已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 18．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 三、解答题 19．如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 20．中，．求作：的边上的高． 下面是小明设计的尺规作图过程： ①以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点D； ②分别以点C和点D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点E； ③连接，交线段于点H．线段即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，，． ∵______， ∴四边形是菱形．（______）（填推理的依据） ∴______． ∴． 21．已知菱形，于点E，且E为的中点，已知．求： (1)的度数； (2)的长． 22．如图，在菱形中，，E是边上的动点，作交于点F，在上取点G，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 23．如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 24．如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，时，求的长； (3)若四边形为菱形，直接写出的度数． 25．【问题提出】我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形面积等于两条对角线乘积的一半．那么对于其他四边形是不是也可以用这种方法求面积呢？ 【深入探究】 (1)如图1，四边形的对角线、互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E，求四边形的面积．（请写出求解过程） 由此，我们可以得出一个结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于____________． 【拓展提高】 (2)由上述的结论1给我们的启示：对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢？下面让我们一起来研究．如图2，四边形的对角线长为，点A到的距离与点C到的距离之和为，求四边形的面积．（请写出求解过程） 结论2：任意四边形的面积等于__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 菱形（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】菱形的定义 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 图示 数学语言 如图所示. ∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD， ∴ ABCD 是菱形 【知识点02】菱形的性质 1.菱形的性质 性质  数学表达式 图形 性质1：菱形的四条边相等  ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD 性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC，∠ DAC= ∠ BAC，∠ ACD= ∠ ACB，∠ ABD= ∠ CBD，∠ ADB= ∠ CDB 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴 2.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图形 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积=底× 高 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【知识点03】菱形的判定 判定方法 数学语言 图形 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法) 在▱ABCD 中，∵AB=BC，∴ ▱ABCD 是菱形 四边相等的四边形是菱形(判定定理1) 在四边形ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD 是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定定理2) 在▱ABCD 中，∵ AC ⊥ BD，∴ ▱ABCD 是菱形 【题型一】利用菱形的性质求角度 例1．（23-24八年级下·安徽六安·月考）在菱形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的邻角互补即可得到答案． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式1．（2025八年级下·安徽·专题练习）如图，在菱形中，，分别垂直，于点E，F，，相交于点G，连接，．解决下列问题： （1）若，则________； （2）若，则________． 【答案】 /114度 /4 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据四边形内角和定理即可解决问题； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形，是等边三角形，得出是的垂直平分线，设与交于点H，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：（1）分别垂直于点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）在菱形中，， ， ， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∵，， 分别是，的平分线， ∴， ， 是的垂直平分线． 如图，设与交于点H， , ∴， ，， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． 变式2．如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据菱形的性质可知，，因为，则可求，进而可求． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 例2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O，得到当点E，P和点G共线，时，有最小值，即为的长，然后求出，，勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴与关于直线对称， 如图，设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O． ∴． 当点E，P和点G共线，且时，有最小值，即为的长． ∵，，四边形是菱形， ∴，． ∴，． ∴，即， 解得，即的最小值为4.8． 故选：C． 例3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，是菱形的对角线，点和点分别是和上的点，． （1）若，则的度数为___； （2）若，，则的最小值为___． 【答案】 50 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，由外角的性质可求解； （2）由“”可证，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）四边形是菱形，， ，， ， ； 故答案为：50； （2）如图，过点作，且，连接，， 四边形是菱形，， ，，， ， 又， ， ， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为的长， ，， ， 故答案为：． 变式1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，C，D是射线上的点，，分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，两弧交于点 E，连接与交于点F.若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，根据题目意思，判断四边形是菱形，是解答本题的关键．根据题目意思，四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得，因为菱形的对角线互相垂直平分，可根据勾股定理求出的长． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵，四边形面积为， ∴， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理可得， ∴， 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）将一块菱形纸板剪成如图1所示的①②③块，再拼成不重叠，无缝隙的直角三角形（如图2，），若，，则的长为______ ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了菱形的性质，图形的剪拼，勾股定理等，熟练掌握菱形的性质，图形的剪拼，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 在图中， 连接， 过点作于， 设，，，则， 对照图2和图1得，，，，，， 则，， 由此得， 则，再根据， 点为的中点， 得则在中，由勾股定理得，由此解出则 ，，然后由三角形面积公式求出，进而再由勾股定理求出进而可得的长． 【详解】在图2中， 连接， 过点作于，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴设， ∵， ∴， 对照图和图得： ，，，，，， ∴， ∴， ∴，点为的中点， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 点为的中点， ， ∴， ， ∴， 在中， ，， 由勾股定理得： 即 ， 解得： (不合题意，舍去) ， ，， 由三角形面积公式得： ， 在 中， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，点P在边上，求的最小值． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解本题的关键． 根据菱形的性质：对角线互相平分且垂直即可得出，的长度，然后根据勾股定理即垂线段最短分析求解． 【详解】解：在菱形中，， ． ， 当时有最小值， ，即， 解得， 的最小值为． 【题型三】利用菱形的性质求面积 例4．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 例5．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是上的点，且．则图中阴影部分的面积________． 【答案】5 【知识点】利用菱形的性质求面积、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中线平分面积，连接，根据菱形的性质，三角形的中线平分面积，求出，同高三角形的面积比等于底边比，求出，平行等积转化，得到，进而求出，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积； 故答案为：5 变式1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）菱形的两条对角线分别是6和8，则该菱形的面积是（    ）． A．24 B．48 C．14 D．10 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线积的一半是解此题的关键．由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8， ∴这个菱形的面积是：． 故选A． 变式2．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）如图，菱形中，，，则边上的高__________．    【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形对角线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质和等面积法是解题的关键，根据菱形的对角线相互垂直平分的性质和勾股定理得到的长，再利用菱形的面积即可求出的长． 【详解】解：四边形为菱形， , ，，菱形的面积， ， ， ， 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1，点A在格点上． (1)在网格图中，以格点为顶点，画菱形，使它的边长为． (2)求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12或5 【知识点】利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的定义、菱形的面积等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． （1）先以A为线段的一个端点，以2和3个方格确定边，然后确定菱形的顶点C、D，然后再顺次连接即可解答； （2）如图1：可知；如图2：，然后分别根据菱形的面积为对角线积的一半即可解答． 【详解】（1）解：如图：菱形即为所求． 或 （2）解：如图1：可知，则菱形的面积为：； 如图2：可知，则菱形的面积为：． 综上，菱形的面积为12或5． 【题型四】利用菱形的性质证明 例6．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．每条对角线平分一组对角 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 根据矩形和菱形的性质逐项分析即可． 【详解】A．每条对角线平分一组对角是菱形具有，但矩形不具有的性质，故该选项不符合题意； B．对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项不符合题意； C．对角线相等是矩形的性质，菱形不具有，故该选项符合题意； D．对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不符合题意． 故选：C． 例7．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在菱形中，对角线相交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：与互相平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了矩形的性质和判定、菱形的性质、平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能灵活运用． （1）首先证明，证出四边形是平行四边形，然后结合，即可证明． （2）如图，连接，首先证明，得出四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：如图，连接， ∵四边形为菱形， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 变式1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE=DE=CE=CD=AB，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故选项A不合题意， ∵点E是CD的中点， ∴OE=DE=CE=CD=AB，故选项B不合题意； ∴∠EOD=∠EDO，故选项D不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键． 变式2．（2024八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，E、F分别是，的中点，、相交于点G，连接，．有下列结论：①，②，③，④；其中正确的结论序号是_______． 【答案】①②③ 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握菱形四边相等，对角相等；等边三角形三线合一；①通过证明为等边三角形，得出 ，，即可判断；②易得为等边三角形，通过证明，得出则，即可判断；③易得，根据勾股定理得出，再根据三角形的面积公式，即可判断；④易得，则与不全等，即可判断． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵E、F分别是，的中点， ∴，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴， 和①同理可得为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③∵点E为中点，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵， ∴与不全等，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②③， 故答案为：①②③． 变式3．（22-23八年级下·安徽池州·期末）下图，在菱形中，，垂足为，为边的中点，．    (1)直接写出结果：_________； (2)求证：． 【答案】(1)3； (2)见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出； （2）延长交的延长线于点，先根据菱形的性质得出，B，再证明，得出．进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵菱形，， ∴， ∵垂足为，为边的中点， ∴， 故答案为：3； （2）证明：延长交的延长线于点，   四边形为菱形， ， ，B， 为边的中点，     ， ，    ． 又， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键． 【题型五】证明四边形是菱形 例8．（23-24八年级下·安徽六安·期末）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，现有以下条件：①OA=OC，OB=OD；②ABCD，AD=BC；③AC=BD；④AC⊥BD．从中选出两个，能推出四边形ABCD是菱形的是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】由平行四边形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 再由ABCD，AD＝BC无法判断四边形ABCD是菱形，故A选项不符合题意； B、由②ABCD，AD＝BC；③AC＝BD无法判断四边形ABCD是菱形，故B选项不符合题意； C、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故C选项符合题意； D、由③AC=BD；④AC⊥BD无法判断四边形ABCD是菱形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键． 例9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图①中，以为一边画平行四边形，使其面积为6； (2)在图②中，以为一边画一个菱形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）画出底为3，高为2的平行四边形即可； （2）根据菱形的定义，画出图形即可． 【详解】（1）解：如图①中，平行四边形即为所求； （2）解：如图②中，菱形即为所求． 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）两个全等的矩形纸片和按图所示的位置重叠在一起，已知，． （1）用准确的语言描述重叠的四边形的形状：________． （2）按照既得结论，四边形的面积是________． 【答案】 菱形 【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质及菱形的判定，勾股定理； （1）证四边形是平行四边形，再证明，得，得到四边形是菱形； （2）根据菱形的四条边相等，设，则，，然后在中，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）两个完全相同的矩形纸片、，根据矩形的对边平行， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ． ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形． （2）由（1）知：， 设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：， 即， 四边形的面积是． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，均为格点（网格线的交点）． (1)若以为对角线，请在网格中画出一个菱形；（点都在正方形网格的格点上且） (2)在（1）所画菱形中，的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理． （1）作出四边长为的四边形即可； （2）利用勾股定理求得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：菱形如图所示； ； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：． 【题型六】添一个条件使四边形是菱形 例10．（22-23八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是（    ）    A．平分 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵四边形的对角线与相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当平分时：， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；故A选项不符合题意； 当时，则四边形是矩形，不能判断四边形是菱形；故B选项符合题意； 当时，平行四边形是菱形；故C选项不符合题意； 当，则：， ∴平行四边形是菱形；故D选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 例11．已知平行四边形，若________，则平行四边形是菱形． 【答案】 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定定理，已知四边形是平行四边形，只需一组邻边相等即可判定为菱形，据此作答即可. 【详解】解： 四边形是平行四边形，和是平行四边形的一组邻边， ∴当时，平行四边形是菱形. 变式1．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，那么下列条件中，能判断平行四边形 ABCD 是菱形的为 （      ） A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】由菱形的判定、平行四边形的性质和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，故选项A不符合题意； B．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵AO=BO， ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C．∵∠AOB=90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵∠BAD=∠ABC， ∴∠BAD=∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 变式2．如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（或③） (2)见解析 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选①或③，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）解：①（或③） （2）解：选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 例12．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 例13．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、利用平行四边形的性质证明、利用平行四边形的性质求解 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 变式1．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则________． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 变式2．（2024八年级下·安徽安庆·期末）问题情境： 在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究． 如图1，将边长为4，度的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到和．将绕着点D逆时针旋转． 初步探究： （1）“爱心小组”将绕点D逆时针旋转，当时，的度数为________； 再次探究： （2）“勤奋小组”将绕点D逆时针旋转至图2，连接AC，，此时四边形是矩形，求的度数； 深入探究： （3）“创新小组”将绕点D逆时针旋转至图3，此时点B，D，恰好在一条直线上，延长BA，交于点E，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由． 【答案】（1）67.5°；（2）135°；（3）菱形，见详解． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形且AB＝AD＝4，∠A＝45°知∠ABD＝∠ADB＝67.5°，再结合DB′∥AB可得∠BDB′＝∠B＝67.5°； （2）由AB＝AD＝CD＝B′C＝4，∠BAD＝∠DCB′＝45°知∠ABD＝∠DB′C＝67.5°，根据四边形ABB′C是矩形得∠DBB′＝∠DB′B＝22.5°，由三角形内角和定理可得答案； （3）由AB＝AD＝CD＝B′C＝4，∠BAD＝∠DCB′＝45°知∠ABD＝∠ADB＝∠CDB′＝∠DB′C＝67.5°，根据点B，D，B′恰好在一条直线上及三角形的内角和定理得∠ADC＝∠DAB＝∠E＝45°，据此可证AE∥CD，AD∥CE，继而得四边形ADCE是平行四边形，结合AD＝CD＝4知四边形ADCE是菱形． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且AB＝AD＝4，∠A＝45°， ∴∠ABD＝∠ADB＝＝67.5°， ∵DB′∥AB， ∴∠BDB′＝∠B＝67.5°， 故答案为：67.5°； （2）∵AB＝AD＝CD＝B′C＝4，∠BAD＝∠DCB′＝45°， ∴∠ABD＝∠DB′C＝67.5°， ∵四边形ABB′C是矩形， ∴∠DBB′＝∠DB′B＝22.5°， ∴∠BDB′＝180°−∠DBB′−∠DB′B＝135°； （3）∵AB＝AD＝CD＝B′C＝4，∠BAD＝∠DCB′＝45°， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB′＝∠DB′C＝67.5°， ∵点B，D，B′恰好在一条直线上， ∴∠ADC＝∠DAB＝∠E＝45°， ∴AE∥CD，AD∥CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵AD＝CD＝4， ∴四边形ADCE是菱形． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定和性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 例14．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键． 先证四边形是菱形，再根据全等，得到．在中，根据勾股定理求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G，交于点H，   四边形是矩形，四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形是全等的矩形， ， 在和中， ， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， ， 设，， 在中， ， ， 解得：， 菱形的面积：． 故选：C． 例15．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2)如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 【答案】(1)①4；②． (2). 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定定理是解题的关键． （1）①根据平行四边形的性质得到，求得，由于，进而求得的长即可；②如图1，过D作交的延长线于H，根据平行四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，推出四边形是菱形，得到BC=CD=3，当时，CP的值最小，根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵周长为12， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． ②如图1，过D作交的延长线于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵周长为12， ∴， ∵P是上的一个动点， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】A 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，根据、即可得出四边形为平行四边形，再根据平分即可得出，即，从而得出平行四边形为菱形，根据菱形的性质结合即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形，． ∵平分， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴． 故选：A． 变式2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点D为边AC上一点，连接BD，将沿翻折得，连接CE， （1）若，则的度数为__________ ； （2）若四边形BDEC是平行四边形，，则_______ 【答案】 45° 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】（1）由折叠可得∠ADB=∠EDB，根据周角计算出∠BDE，从而计算∠BDC； （2）首先证明∠AOB=90°，得到四边形BDEC为菱形，求出∠A=30°，根据AC=4求出BC，利用勾股定理求出AB即可． 【详解】解：（1）由翻折可知：∠ADB=∠EDB， ∵∠ADE+∠ADB+∠EDB=360°，∠ADE=90°， ∴∠BDE=（360°-90°）÷2=135°， ∵∠CDE=90°， ∴∠BDC=135°-90°=45°； （2）由折叠可知：∠A=∠DEB，∠DBE=∠ABD， ∵四边形BDEC为平行四边形， ∴DE∥BC，设BE和CD交于点O， 则DO=OC，BO=OE， ∴∠DEB=∠CBE， ∴∠CBE=∠A， ∵∠CBE+∠DBE+∠ABD=∠ABC=90°， ∴∠DBE+∠ABD+∠A=90°， ∴∠AOB=90°， ∴BE⊥DC， ∴四边形BDEC为菱形， ∴∠DBE=∠CBE， ∵∠CBE+∠DBE+∠ABD=90°， ∴∠CBE=∠DBE=∠ABD=30°， ∴∠ACB=60°， ∴∠A=30°， ∴AC=2BC=4， ∴BC=2， ∴AB=， 故答案为：（1）45°；（2）． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形，证明四边形BDEC为菱形是解题的关键． 变式3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E，F分别为，的中点，若连接，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理； （1）由对角形互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证； （2）由三角形中位线定理得，由勾股定理得求出，由菱形的性质即可求解； 掌握菱形的判定方法，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：平行四边形中， 四边形是菱形， ； （2）解：点E，F分别为，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为： ． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 例16．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）两张宽度相同的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，由四边形和四边形是全等的矩形，得出，，，所以四边形是平行四边形，在和中，利用证明两个三角形全等，得出，又因为四边形是平行四边形，推出四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理得，解得，所以图中重叠（阴影）部分的面积，解题的关键是掌握相关知识． 【详解】解：如图， 四边形和四边形是全等的矩形， ，，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 设， 则， 在中，由勾股定理得， 解得， 图中重叠（阴影）部分的面积， 故选：D．    例17．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)若，证明：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为60，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、证明四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线，再由菱形的判定定理求证即可得出结论； （2）由菱形的面积公式求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形面积公式、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）菱形的周长为，若对角线，则此菱形的面积等于（　　） A．8 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】首先根据题意求出的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值，最后结合三角形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：记菱形的对角线交于O点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形与菱形面积的计算等知识；解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出与的值． 变式2．（2024八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点． （1）四边形BFDE的形状是  ________． （2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为 ________． 【答案】 平行四边形 【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和面积解答即可． 【详解】解：（1）四边形BFDE为平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， 由于折叠，∠ABE=∠EBD，∠DCF=∠FDB， ∴∠EBD=∠FDB， ∴EB∥DF， ∵ED∥BF， ∴四边形BFDE为平行四边形． 故答案是：平行四边形； （2）∵四边形BFDE为菱形， ∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABE=30°， ∵∠A=90°，BE=4， ∴AE=2，BF=BE=2AE=4， ∴AB==2， ∴菱形BFDE的面积为：4×2=8． 故答案是：8． 【点睛】本题考查了翻折变换问题，关键根据翻折的性质和矩形、菱形的性质解答． 变式3．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）请认真完成下列数学活动 典例再现：如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF． 尝试发现 （1）按图1填空： ①若▱ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为　 　； ②若▱ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是　 　． 应用发现 （2）如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝，AD＝6，求四边形ABFE的面积． 应用拓展 （3）如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝，则△ABC的面积是　 　． 【答案】证明见解析；（1）①16；②10；（2）；（3）4 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】典例再现：由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论； （1）①由△AOE≌△COF可得AE=CF，OE=OF，从而得四边形ABFE的周长为AB+BC+EF，由四边形ABCD的周长可得AB+BC，从而进一步可得结论；②由四边形ABEF的面积=的面积可得结论； （2）运用勾股定理求出OD的长，从而得出BD的长，再运用菱形的面积公式求解即可； （3）应用倍长中线模型构造，运用勾股定理求出CE的长，再根据面积公式求解即可． 【详解】典例再现：证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC  OA＝OC ∴∠EAO＝∠FCO 又∵∠AOE＝∠COF ∴△AOE≌△COF ∴OE＝OF； 尝试发现：（1）①∵四边形ABCD的周长为24 ∴AB+BC=12 由典例再现可得，△AOE≌△COF ∴AE=CF，OE=OF ∴EF=2OE=6 ∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+EF=12+6=18； 故答案为：18； ②∵四边形ABCD的面积为20， ∴ 由①知△AOE≌△COF ∴ ∴ 故答案为：10 （2）∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD ∵ OA＝OC＝ ∴在Rt△AOD中，OD＝ ∴S菱形ABCD＝ ∴S四边形ABFE＝S菱形ABCD = （3）如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵D为BC的中点， ∴BD=CD， 在和中， ∴≌ ∴， ∴ ∴ 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 一、单选题 1．如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】D 【详解】解：由菱形各边都相等，当菱形的周长是16时， 菱形边长为4， ∵，， ∴为等边三角形， 则． 2．如图，在菱形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，进而得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ． 3．如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ． 4．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键． 先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意，有 ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选C． 5．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，交于O，由题意，点E在上， 由已知，cm，则cm， ∴cm， ∵四边形为菱形，边长为13cm， ∴cm ∴cm 6．如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 7．在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合菱形的判定定理判断选项即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，四边形内角和为， ∴，即， 可得，同理可得， ∴四边形是平行四边形， 对各选项分析如下： 选项A：若，平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项B： ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形是菱形，符合要求； 选项C：若，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项D：平行四边形对边本来相等，是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形． 8．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出的度数，利用菱形对角线平分对角的性质求出的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，利用等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形的对角线平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，得，利用菱形面积的两种表示法建立等式求解即可． 【详解】解：因为四边形是菱形，对角线，， ，，， ， ， ， ， 解得． 10．如图，在菱形中，对角线，点E、F分别是边、的中点，点P在上运动过程中，的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，可得的最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可得，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∵四边形是菱形， ∴关于对称，，， ∴，，且点N在上， ∴，即的最小值为的长， ∵E为的中点， ∴N为的中点， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为5． 二、填空题 11．如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 【答案】40 【分析】由，，判定四边形是平行四边形，由平行线的性质推出，得到，推出，判定平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴四边形的周长为． 12．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 13．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【答案】120 【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边相等，结合已知条件可判定由两条邻边和较短对角线组成的三角形为等边三角形，从而求得菱形的一个内角度数，再利用菱形邻角互补的性质即可求出较大的内角度数． 【详解】解：设菱形为，较短对角线为， 四边形是菱形， ， 边长和较短对角线的长都为， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， . ，， 这个中国结菱形部分较大的内角是度． 15．如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 【答案】 菱 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到；根据，可证明四边形是平行四边形，且，由等边对等角得到，则可证明，得到，据此证明，即可得到平行四边形是菱形 ． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ． 16．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 17．已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 18．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 【答案】 /30度 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 三、解答题 19．如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)120 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ， 四边形的面积． 20．中，．求作：的边上的高． 下面是小明设计的尺规作图过程： ①以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点D； ②分别以点C和点D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点E； ③连接，交线段于点H．线段即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，，． ∵______， ∴四边形是菱形．（______）（填推理的依据） ∴______． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；四条边都相等的四边形是菱形；． 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，三角形的高的定义，菱形的判定与性质； （1）根据题干提示逐步完成作图即可； （2）先证明，可得四边形是菱形，再利用菱形的性质证明即可． 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）证明：连接，，． ∵， ∴四边形是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形） ∴． ∴． 21．已知菱形，于点E，且E为的中点，已知．求： (1)的度数； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用菱形的性质证明是等边三角形，的度数可求； （2）由菱形性质，再由是等边三角形，求出，进而求的长． 【详解】（1）于点E，且E为的中点， ． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是菱形， ， ． ，是等边三角形， ，． ， ． 22．如图，在菱形中，，E是边上的动点，作交于点F，在上取点G，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， ； （2）证明：由（1）知，， 四边形为菱形， ，， ． ， ， ，． 是等边三角形， ，， ． ， ， ， ， ． 23．如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，见解析 【分析】（1）证明即可得证； （2）①根据矩形的判定求解即可；   ②根据菱形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 设， ∴； ①∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是3时，四边形是矩形；   ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是1时，四边形是菱形． 24．如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，时，求的长； (3)若四边形为菱形，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理可知点是的中点，又因为点为的中点，可知是的中位线，所以，又因为，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）根据勾股定理可以求出，根据三角形中位线定理可知，根据平行四边形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出的长度； （3）根据四边形为菱形，可知，从而可知，根据三角形内角和定理可以求出． 【详解】（1）证明：，平分交于点， ， 点是的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知， ，平分交于点， ， ， ， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ； （3）解：若四边形为菱形， 则， 又， ， ， ， ． 25．【问题提出】我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形面积等于两条对角线乘积的一半．那么对于其他四边形是不是也可以用这种方法求面积呢？ 【深入探究】 (1)如图1，四边形的对角线、互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E，求四边形的面积．（请写出求解过程） 由此，我们可以得出一个结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于____________． 【拓展提高】 (2)由上述的结论1给我们的启示：对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢？下面让我们一起来研究．如图2，四边形的对角线长为，点A到的距离与点C到的距离之和为，求四边形的面积．（请写出求解过程） 结论2：任意四边形的面积等于__________． 【答案】(1)；两条对角线乘积的一半； (2)；一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之和的积的一半 【分析】（1）根据，结合三角形面积公式，进行计算推导即可解答； （2）连接，过点A作于点N，过点C作于点M，同（1）解答即可． 【详解】（1）解： ． 根据上面推导过程可知，对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半； （2）解：如图2，连接，过点A作于点N，过点C作于点M， 则， 根据上面推导过程可知，任意四边形的面积等于一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之和的积的一半. 1 学科网（北京）股份有限公司 $