5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时）（导学案)-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第3课时） ——导数的综合应用 一、学习目标 （一）课程标准要求 ①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 ②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. ③会利用导数解决一些实际生活中的优化问题. （二）课时目标要求 1.能利用导数研究函数的图象与性质，能总结用导数研究函数性质的步骤，体会数形结合的思想，发展直观想象素养. 2.能利用导数研究实际问题，说明用导数求函数最大(小)值是一般方法，具有明确的步骤性和可操作性，体会函数与方程和化归与转化的思想，发展逻辑推理素养. 二、重点难点 学习重点：利用导数研究函数的单调性、极值、最大(小)值、值域、零点等性质. 学习难点：导数在实际问题中的应用. 三、学习过程 环节一：创设情境，导入新课 问题1：我们在本单元“导数在研究函数中的应用”中，利用导数研究了函数的哪些性质?回顾以往通过代数运算所研究的函数性质，你觉得还有哪些函数性质可以利用导数进行研究? 环节二：合作交流，探究法则 下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题 例3.给出函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数． 变式训练： 1．画出函数的草图． 2．已知,画出函数的大致图象； 下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用． 问题2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 例4：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm． （1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图象（图5.3-18）上观察，你有什么发现？ 思考：1）当时，是减函数，时，是增函数，你能解释它的实际意义吗？ 2）通过此问题的解决，请回答开始时的问题． 变式训练： 1.用总长为14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 随堂演练 1．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ 环节五：能力提升 题型一：与函数有关的恒成立问题 例1：1）．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 2）．已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围. 变式训练： 1．已知函数，若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．已知函数，若恒成立，求实数的取值范围； 3．已知，函数． (1)讨论的单调性： (2)若恒成立．求的取值范围． 题型二：利用导数解决函数的零点或方程的根问题 例2： 1）．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（） A． B． C． D． 2）．已知函数. (1)求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围. 变式训练： 4．已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 5．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 6．已知函数，求出方程的解的个数． 环节六：凝练升华，课堂小结 回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)对一个具体函数,如何利用导数研究函数的图象与性质? (2)如何利用导数解决函数的实际问题? (3)利用导数还能研究哪些问题? 环节七：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第98页习题5.3第7、8、9题 教科书第99页习题5.3第10、11题 巩固作业答案： 教科书第98页习题5.3第7题 7.将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 教科书第98页习题5.3第8题 8.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积V表示为x的函数； （2）x多大时，方盒的容积V最大？ 教科书第98页习题5.3第9题 9.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小． 教科书第99页习题5.3第10题 10.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 教科书第99页习题5.3第11题 11.已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？ 18 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第3课时） ——导数的综合应用 一、学习目标 （一）课程标准要求 ①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 ②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. ③会利用导数解决一些实际生活中的优化问题. （二）课时目标要求 1.能利用导数研究函数的图象与性质，能总结用导数研究函数性质的步骤，体会数形结合的思想，发展直观想象素养. 2.能利用导数研究实际问题，说明用导数求函数最大(小)值是一般方法，具有明确的步骤性和可操作性，体会函数与方程和化归与转化的思想，发展逻辑推理素养. 二、重点难点 学习重点：利用导数研究函数的单调性、极值、最大(小)值、值域、零点等性质. 学习难点：导数在实际问题中的应用. 三、学习过程 环节一：创设情境，导入新课 问题1：我们在本单元“导数在研究函数中的应用”中，利用导数研究了函数的哪些性质?回顾以往通过代数运算所研究的函数性质，你觉得还有哪些函数性质可以利用导数进行研究? 师生活动：教师提出问题后，让学生思考回答，然后教师在学生回答的基础上总结： 利用导数研究了函数的单调性、函数的极值与函数的最大(小)值，还可以研究函数的零点等，在得出函数性质后，可以进一步研究函数的图象，还可以利用导数研究函数的实际应用问题等. 环节二：合作交流，探究法则 下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题 例3.给出函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数． 解：（1）函数的定义域为． ． 令，解得． 、的变化情况如表5.3-4所示． 表5.3-4 － 0 ＋ 单调递减 单调递增 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，无极大值. 思考：为了画出函数的大致图象，我们应该哪些方面入手？ 1）函数的图象经过哪些特殊点? 师生活动：学生独立思考、交流后，教师启发学生：函数图象经过的特殊点，就是我们已经研究过的极值点(包括最大(小)值点)、函数的零点等. 2）结合函数与方程、不等式的知识，你能发现的图象有哪些变化趋势? 师生活动：结合函数与方程，得出函数的零点；结合不等式，得出函数值的正负；再研究当时和当时，函数值的趋势. （2）令，解得． 当时，；当时，． 所以，的图象经过特殊点，，． 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而； 当时，，． 根据以上信息，我们画出的大致图象如图5.3-17所示． （3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数． 由（1）及图5.3-17可知，当时，有最小值． 所以，关于方程的解的个数有如下结论： 当时，解为0个；当或时，解为1个；当时，解为2个． 规律方法： 1）利用导数研究函数性质的步骤： (1)求出函数的定义域，确定函数图象的大致范围； (2)用导数研究函数的单调性、极值； (3)利用函数的单调性、极值等性质画出的大致图象； (4)利用函数的图象进一步研究函数的最大(小)值、值域、零点等性质. 2）函数的性质决定了函数的图象，函数的图象直观地反映了函数的性质.通常，可以按如下步骤画出函数的大致图象． （1）求出函数的定义域； （2）求导数及函数的零点； （3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； （4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出的大致图象． 变式训练： 1．画出函数的草图． 【详解】解：， 由，得或，由，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 故在时取得极小值，在时取得极大值， 又时，，时，，时，， 故的草图为：    2．已知,画出函数的大致图象； 【详解】解：定义域为，，令得，， 列表如下； 0 ↘ ↘ ↗ 由上表知，单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，取极小值为，无极大值； 当时，，，故； 当时，，，故； 据此信息及（1）可得的图象，如图所示； （3）令得， 则函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数， 结合图象及（2）可知，当或，即或时， 函数有1个零点； 当，即时，函数有2个零点 当，即时，函数有0个零点. 下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用． 问题2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 例4：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm． （1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 ． 所以 ． 令，解得． 当时，；当时，． 因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为6cm时，利润最大． （2）半径为2cm时，利润最小．这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图象（图5.3-18）上观察，你有什么发现？ 从图象上容易看出，当时，，即瓶子的半径是3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值． 思考：1）当时，是减函数，时，是增函数，你能解释它的实际意义吗？ 当时，半径越大，利润越低.，时，饮料瓶越大饮料公司的利润越大. 2）通过此问题的解决，请回答开始时的问题． 通过此问题的解决，本例一开始时的问题可以解释为： (1)市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 (2)由例题的结论可知，饮料瓶越大饮料公司的利润越大. 方法规律： 1. 利用导数解决实际问题中最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式； (2)求函数的导数，解方程； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论. 2. 几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. 3. 经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. 关于利润问题常用的两个定量关系：(1)利润=收入−成本. (2)利润=每件产品的利润×销售件数. 变式训练： 1.用总长为14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为， 容器的高为. 由，得. ∴容器的体积为. ∵，令，得. ∴ (不合题意，舍去). ∴当时，取得极大值，也是最大值， 此时,高为 ∴容器高为m时容器的体积最大，最大容积为. 随堂演练 1．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ 【解析】设圆的半径为，则半圆的面积为，所以矩形的宽为， 设矩形的长为，则矩形的面积为， 所以，即，该图形的周长为， 令，所以，令， 解得：（舍负），所以函数在上单调递减，在上单调递增 所以当时，函数取得最小值．即圆的半径时，所需材料最省． 环节五：能力提升 题型一：与函数有关的恒成立问题 例1：1）．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则恒成立，，， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为.故选：B. 2）．已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 方法规律： (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.恒成立；恒成立.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可. (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”. 变式训练： 1．已知函数，若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等价于， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 所以只需，即． 故选：B. 2．已知函数，若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】 【详解】因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为. 3．已知，函数． (1)讨论的单调性： (2)若恒成立．求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)． 【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）依题意可得，从而得到在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）的定义域为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为在上均单调递增，则在上单调递增； 由在上恒成立，可得恒成立， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增； 故，则，解得， 故的取值范围为． 题型二：利用导数解决函数的零点或方程的根问题 例2： 1）．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得：，令， 依题意，函数存在两个零点， 等价于函数与函数的图象有两个交点. 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故时，取得极大值，且当时，，当时，， 故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得. 故选：C. 2）．已知函数. (1)求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2). 【详解】（1）函数的定义域为， 且 令，解得或，则函数在上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知函数在和上单调递增，在上单调递减， 则，， 且当时，，当时，， 要使得函数有三个零点， 则需满足，解得， 综上可得，实数的取值范围. 方法规律： 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围. 变式训练： 4．已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据零点将问题转化为有两个交点，构造函数，由导数求解函数的单调性，即可结合图象求解. 【详解】由有两个零点，故有两个实数根， 记，则， 当和时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， ，作出函数的图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点， 故实数的取值范围 故答案为： 5．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】 由，得，令，得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 6．已知函数，求出方程的解的个数． 【答案】(1)，；(2)答案见解析 【详解】函数的定义域为．． 令解得或．则、、的关系列表如下： 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 的单调递增区间为． 方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数． 在（1）中可知：在区间上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 令，得．当时，的图像过点． 当时，，但始终在轴上方； 当从的左侧无限近于时，；当从的右侧无限近于时，； 当时，；当时，． 根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示， 当时，与没有交点，则方程的解为个； 当或或时，与有个交点，则方程的解为个； 当或时，与有个交点，则方程的解为个． 环节六：凝练升华，课堂小结 回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)对一个具体函数,如何利用导数研究函数的图象与性质? (2)如何利用导数解决函数的实际问题? (3)利用导数还能研究哪些问题? 师生活动：教师用课件呈现上述问题，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、发表看法，教师在学生回答的基础上进行归纳： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最大(小)值、特殊点、变化趋势等，利用函数的性质可以更加准确地作出函数图象； (2)将实际问题转化为数学问题，得到函数关系，再利用导数研究函数的性质，从而得到实际问题的解； (3)利用导数可以研究函数零点等问题. 环节七：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第98页习题5.3第7、8、9题 教科书第99页习题5.3第10、11题 巩固作业答案： 教科书第98页习题5.3第7题 7.将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 【答案】两段铁丝的长度均为. 【详解】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， ∴两个正方形的面积和，则， ∴时， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 教科书第98页习题5.3第8题 8.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积V表示为x的函数； （2）x多大时，方盒的容积V最大？ 【答案】（1）（2） 【小问1详解】 由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，， 所以方盒的容积； 【小问2详解】 ，解得：， 当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大. 教科书第98页习题5.3第9题 9.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小． 【答案】证明见解析； 【详解】 解：，则当时，， ，，函数单减；，，函数单增； 方差在时，取得最小值. 教科书第99页习题5.3第10题 10.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 【答案】当q=84时，利润最大 【解析】 【详解】解：先求出利润L关于q的函数关系式. ,显然当q=84时，利润最大 教科书第99页习题5.3第11题 11.已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？ 【答案】 【详解】解：设销售价为x，可获得的利润为y， 则， 求导得，令， 解得，由知，， 当时，，函数单增； 当时，，函数单减； 因此是函数的极大值点，也是最大值点； 故当销售价为元/件时，可获得最大利润. 18 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$