5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时） 【学习目标】 1. 理解函数最值的概念，能区分极值与最值. 1. 掌握利用导数求函数在闭区间上的最大值与最小值的方法. 1. 能利用函数的最值解决不等式证明、参数取值范围等综合问题. 1. 体会导数在研究函数整体性质中的重要作用. 【学习重点】 1. 闭区间上连续函数必存在最大值与最小值的结论. 2. 利用导数求函数在闭区间上的最值（一般步骤）. 【学习难点】 1. 理解最值与极值的关系：最值可能在极值点或端点处取得. 2. 含参函数最值的分类讨论. 学习任务一 从极值到最值——概念与关系 【合作探究】 1. 回顾极值的定义：极值是函数在某一点附近的______（局部/整体）性质.而最值（最大值、最小值）是函数在整个定义域（或指定区间）上的______性质. 1. 观察函数 在闭区间 上的图象（想象一条连续曲线，有多个波峰波谷）： (1) 指出图中的极大值点、极小值点. (2) 整个区间上的最大值出现在哪里？最小值出现在哪里？ (3) 最大值是否一定是极大值？最小值是否一定是极小值？为什么？ 1. 思考并讨论： (1) 一个函数在定义域内是否一定有最大值和最小值？请举例说明. (2) 函数在开区间 内连续，是否一定有最大值和最小值？ (3) 函数在闭区间 上连续，是否一定有最大值和最小值？这个结论叫什么？ 1. 下表比较极值与最值（填写）： 比较项目 极值 最值 性质 ______性质 ______性质 个数 可以有______个 最多______个（最大、最小各一个） 取得位置 只能在______部取得 可以在______点或______点取得 与导数的关系 可导时极值点处导数为______ 最值点处导数不一定为0 【自主梳理】 1. 最值的概念： (1) 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： · ① 对任意 ，都有 ； · ② 存在 ，使得 ，则称 为 的______. (2) 类似地，如果存在实数 满足：① 对任意 ，都有 ；② 存在 ，使得 ，则称 为 的______. 1. 闭区间上函数存在最值的条件： · 如果函数 在闭区间 上的图象是一条______曲线，那么它必有最大值和最小值. 1. 求函数在闭区间 上最值的步骤： (1) 第一步：求 在开区间 内的______； (2) 第二步：计算区间端点处的函数值 ，； (3) 第三步：将 的所有极值与端点值比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______. 学习任务二 求闭区间上函数的最值 【合作探究】 1. 求函数 在区间 上的最大值与最小值. · （按步骤：求导得 ，找出驻点 ，计算端点值及驻点值，比较） 1. 求函数 在区间 上的最值. 1. 求函数 在区间 上的最值.（注意定义域） 1. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值. 【自主梳理】 求最值的注意事项： 1. 确定定义域和所给区间，端点必须考虑. 2. 若函数在区间内只有一个极值点，则该极值往往就是最值（需与端点比较确认）. 3. 若函数在区间上单调，则最值在端点处取得. 4. 含参函数求最值时，需根据参数的取值范围分类讨论单调性与极值点位置. 学习任务三 利用最值证明不等式 【合作探究】 1. 证明：当 时，. · （提示：构造函数 ，求 的最小值，证明 ） 1. 证明：当 时，. 1. 总结：如何利用函数的最值来证明不等式？ 【自主梳理】 利用最值证明不等式的一般策略： 1. 将不等式转化为 （或 ）的形式. 2. 构造函数 ，研究其在给定区间上的最小值（或最大值）. 3. 若最小值 ，则原不等式成立；若最大值 ，则原不等式成立. 【自查自纠】（正误判断） 1. 函数 在区间 上有最大值. （ ） 1. 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值. （ ） 1. 函数的最大值一定是极大值. （ ） 1. 若函数在闭区间上单调递减，则最大值在左端点处取得. （ ） 1. 利用导数求最值时，只需要比较极值点处的函数值即可. （ ） 【典例分析】 例1：求函数 在区间 上的最大值与最小值. 解： （例2：已知函数 ，求其在区间 上的最值. 解： 例3（不等式证明）：证明：当 时，. 解： 【习题巩固】 1. 函数 在区间 上的最小值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 函数 在区间 上的最大值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若函数 在区间 上的最大值为 ，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. 下列不等式中，恒成立的是（ ） · A. （） B. （） · C. （） D. （） 5.（选做）已知函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $