二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练 2026年中考数学二轮复习备考

二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标． 2．（2026·湖南郴州·一模）已知抛物线（a，h为常数且）． (1)抛物线的对称轴为，且经过点． ①求抛物线的表达式； ②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作于点Q．请问线段的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由； (2)如图2，在二次函数（h为常数）中，当时，函数y有最大值为，求h的值． 3．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 4．（24-25·广西南宁·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点    （1）求A点和点B的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标． 5．（2024·湖北宜昌·期中）抛物线中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE. （1）求k的值； （2）求证：这条抛物线经过点A； （3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系. 6．（2024·山东滨州·中考）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d； （3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标． 7．（2025·山东威海·一模）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在下方的抛物线上，连接，与交于点E．和的面积分别记为，，令．若的值最大，求证：． 8．（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）找出图中与相等的一个角，并证明； （3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 9．（2024·安徽·三模）如图，已知抛物线过点，，过定点的直线：与抛物线交于、两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为．    （1）求抛物线的解析式； （2）若的面积为4，求的值； （3）当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系（、、），并证明你的判断． 10．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024·贵州安顺·中考）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 12．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 13．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标，交y轴负半轴于点C，C点坐标． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上有一点D，，求点D的坐标； (3)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线与抛物线交于另外一点Q．连接、，分别交y轴于M、N两点．若，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由． 14．（2026·甘肃白银·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设的面积为，的面积为，求的值； (3)如图2，是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，过抛物线的顶点作直线轴，是直线上一动点．求的最小值． 15．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点C，A，二次函数经过点A，C． (1)求二次函数解析式； (2)如图2，点P为抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q，若，求点P的横坐标； (3)如图1，连接，在x轴上找一点M，使得，直接写出点M的坐标； (4)二次函数与组成新函数G：，点，，，当函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点时，请直接写出此时m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）顶点D的坐标为（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形（3）当M的坐标为（﹣，） 【分析】(1)将点A的坐标代入函数解析式求出b的值，然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标； (2)根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标，然后分别求出AC、BC和AB的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出答案； (3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，则BC与对称轴的交点就是点M，根据一次函数的交点求法得出点M的坐标． 【详解】解：(1)∵点A（1，0）在抛物线上， ∴+b+2=0，解得，， 抛物线的解析式为， 则顶点D的坐标为； (2)△ABC是直角三角形， 证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2， 当， 解得，x1=﹣4，x2=1， 则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4， ∴AB=5， 由勾股定理得，AC=，BC=，   AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形； (3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称， 连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， 由题意得，， 解得，， 则直线BC的解析式为：， 当x=时，， ∴当M的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数的交点坐标，属于中等难度的题型．待定系数法求函数解析式是解决这个问题的关键． 2．(1)①，② (2)或 【分析】（1）①根据抛物线对称轴得，再将点A代入抛物线解析式，即可求得抛物线得表达式； ②过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N，先证得是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，推出，利用待定系数法求得直线的解析式，设，，表示出的长度表达式，此时该表达式为开口向下的二次函数，有最大值，通过最后代入即可求得结果； （2）先得出二次函数的对称轴和顶点坐标，再分情况进行讨论h的变化，从而求得结果． 【详解】（1）解：①∵抛物线的对称轴为， ∴， 又∵抛物线经过点， ∴将点A代入抛物线解析式，得：， 解得， ∴抛物线表达式为； ②如图，过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N， 令，则， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将点A，B代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴， 当时，， ∴． （2）解：∵二次函数的对称轴为，顶点坐标为， 此时分情况讨论： ①如图， 若，则当时，y随x的增大而减小， ∴当时函数取得最大值，即， 解得，（舍去）； ②如图， 若，则函数y的最大值为0， ∴与函数y的最大值为矛盾， ∴此情况不符合题意； ③如图， 若，则当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值，即， 解得或（舍去）， 综上所述，或． 3．(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 4．（1）；（2）△ABC是直角三角形，详见解析；（3）． 【分析】（1）令y=0时进行求解即可； （2）根据（1）及题意可得A、B、C的坐标，然后根据两点距离公式及勾股定理的逆定理进行求解即可； （3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，然后求解直线的解析式即可． 【详解】解：（1）当y=0时，， ， ； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ， AB=5， ， ， ， ， ， △ABC是直角三角形； （3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，如图所示：   ， ， 顶点的坐标为， 设直线的解析式为，则有： ， ， ， 当y=0时，，则， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键，注意运用两点距离公式及利用轴对称的性质求解最短路径的问题． 5． 【详解】试题分析：（1）根据直线解析式可得点A的坐标为（0，1），则可得点E的坐标为（-1，0），代入直线解析式，可求出k的值． （2）将顶点M的坐标代入直线解析式，再由无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，可得出b、c的值，继而可判断这条抛物线经过点A． （3）根据抛物线与直线只有一个交点，求出m的值，继而得出B、C、D的坐标，求出BC、CD的长度，即可得出CD和BC的数量关系． 试题解析：(1)k＝1 (2)将顶点M坐标代入y＝x＋1化简得： ∵无论a为和何值，等式都成立，所以4c－4＝0， ∴c＝1，b＝2 （也可以取两个特殊值得到点M的坐标，代入直线表达式求出b，c的值） ∴抛物线经过点A (3)由题意：方程的△＝0， ∴，m＝2 ∴点B，C，D的坐标分别是B(，)，C(， )，D(， ) 用a表示出BC，CD的长度，得到BC＝CD＝|| 考点：一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，综合应用题 6．（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可． （2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为 由题意,抛物线的顶点为 又抛物线与轴交于点 抛物线的函数解析式为 （2）证明：∵P（m，n）， ∴， ∴P（m，）， ∴， ∵F（2，1）， ∴， ∵，， ∴d2=PF2， ∴PF=d． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N． ∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=， ∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小， ∵QF=QH， ∴DQ+DF=DQ+QH， 根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上， ∴DQ+QH的最小值为6， ∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题． 7．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先求出，再求出直线的表达式．如图，作，交于点F．设点P的坐标为，则点F的坐标为，表示出，证明，得出，可得．即．得出当时，w的值最大．此时点P的坐标为．根据点C的坐标为，得出． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）证明：中，令，则， ∴， 设直线的表达式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为． 如图，作，交于点F． 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． ∴当时，w的值最大． 此时点P的坐标为． ∵点C的坐标为， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及用待定系数法求解抛物线的解析式和一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，面积最值问题等知识内容，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（1），顶点坐标；（2）图中与相等的一个角是，证明见解析；（3）点的坐标是． 【分析】（1）利用待定系数法把和代入中，得，解方程组，得到抛物线配方为顶点式即可； （2）图中与相等的一个角是，求出抛物线与x轴的交点A，可得，.利用勾股定理求，，，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形,，可得，可证即可； （3）设点的坐标为，过作轴，垂足为，交于，求点坐标为，可求PE=，利用面积公式=.利用抛物线性质可求点的坐标是． 【详解】解：（1）把和代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式是：， 顶点坐标； （2）图中与相等的一个角是， 令，则，，， . ， ， 在中，， ，，， ，； ， ∴是直角三角形,， ， 又和都是锐角， ， ， 即； （3）设点的坐标为， ∵一定，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 过作轴，垂足为，交于.易求直线的表达式为， 所以点坐标为， ∴PE=， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴， 当时，最大，点到直线的距离最大， ∴， 点的坐标是． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，配方为抛物线顶点式，等腰直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的最值，掌握待定系数法求抛物线解析式，配方为抛物线顶点式，等腰直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的最值是解题关键． 9．（1）；（2）；（3）BF=BC，证明见解析 【分析】（1）把点，代入即可求解； （2）根据的面积求出OC的长度，从而得到点B的横坐标，将点B的横坐标代入二次函数中求得B的纵坐标，将B的坐标代入一次函数中，即可求出k的值； （3）设，而，则，，故BF=BC． 【详解】解：（1）把点，代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）∵，， ∴， 把代入二次函数得， 把代入得； （3）． 证明：设，而， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，利用待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离等知识，属于二次函数综合题．两点间的距离公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则． 10．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 11．（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2 顶点D的坐标为 (, -). （2）△ABC是直角三角形，理由见解析； （3）. 【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标； （2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形； （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小． 【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 +bx-2上 ∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0 解得b = ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-, ∴顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2． 当y = 0时，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4 ∴B (4,0) ∴OA =1, OB = 4, AB = 5. ∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 =AB2. ∴△ABC是直角三角形. （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴ ∴，∴m=． 解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n , 则，解得n = 2，. ∴. ∴当y = 0时，， ∴. 12．(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过作交于点，作轴于点，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解即可得出的坐标； （3）设，联立直线与抛物线解析式得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，可得，得出，进而根据，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 代入可得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解得：或， ， 如图 1，过作交于点，作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），或， ∴． （3）解：设， 依题意，， 消去得，， ， 如图所示，过点P， Q分别作x轴的垂线，垂足分别为G， F， ， ， ， 即， ， 又， ， 即， ， ． 整理得：． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出的值即可． （2）设，用待定系数法求出直线，直线的函数解析式，然后与抛物线的解析式联立成方程组，求出的坐标，最后用的代数表示出，的面积即可． （3）设直线为，把点的坐标代入该解析式，可求出，的等量关系，然后把直线与抛物线联立成方程组，根据韦达定理，可得出，的横坐标的和与积关于的代数式，然后作点关于直线的对称点，连接，，根据将军饮马模型，可知，再用的代数式表示，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由，可知点，， 设，直线为， 则，解得， ， 联立得 解得或， ， 设直线为， 则，解得， ， 联立得， 解得或， ， ， ． （3）由，可知抛物线的对称轴为直线，顶点，点， 设直线为，由， 得， ， ， 设，， 联立直线与抛物线得， 得， ∴ 根据根与系数的关系，可得，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，， 由题意得直线，则， ， 过点作于点，则， ，， 在中， ， 即当时，，此时， 故的最小值为． 15．(1) (2)2或或 (3)， (4)， 【分析】（1）求出A、C点坐标，将A、C代入中，即可求函数的解析式； （2）设，则，根据题意可得，求出t的值即可； （3）过点M作交于N，由，，可得，则，设，则，，求出，即可求出，即可得点M的坐标； （4）当时，，解得，，解得，当时，G与矩形四条边有两个交点，当时，G与矩形四条边有两个交点，再结合图象可得或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 将A、C代入中， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵过点P作轴交直线于点Q， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或或， ∴点P的横坐标为2或或； （3）解：过点M作交于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 当在左边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或； （4）解：当时，， 解得， ， 解得， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， ∴或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，三角函数值的求法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $