2026年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）

2026年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题） 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 2．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点的横坐标在2和3之间，顶点为．下列四种说法：①；②若，则；③若点、点，点在该函数图象上，则；④点关于直线的对称点为，点在轴上，当时，三角形周长的最小值为，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26九年级上·河北张家口·期中）阅读材料：抛物线 上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 6．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题 7．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为 ． 8．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是 ． 9．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为 ． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧）． （） ； （）点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ．当点落在轴正半轴上时，点的坐标为 ． 11．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数（b，c均为常数）的图象与x轴交于点A，B，点P是x轴上方的图象上一点，轴于点Q，则的长为 ． 12．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线：的对称轴为，且与y轴交点的纵坐标为． (1)求b，c的值； (2)若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），求A、B两点的坐标； (3)抛物线：经过抛物线的顶点P． ①请判断抛物线的顶点Q是否在抛物线上，并说明理由； ②若，点E是在点P和点Q之间抛物线上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，直接写出长度的最大值． 14．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接． (1)直接写出结果；_____，_____，_____； (2)在（1）中的抛物线上的第一象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若没有，请说明理由． (3)如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边上的动点，且，记的最小值为，求的值． 15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 16．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标． 17．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，直线与抛物线交于点A及点，点P为抛物线上一动点，其横坐标为m，顶点为F． (1)求抛物线解析式及顶点坐标F； (2)如图1，若点P为抛物线对称轴右侧x轴下方的一动点，连接、、，交线段于点M，N是AF上一动点（均含端点），连接，若并且时，求点P的坐标． (3)如图2，若点P为x轴上方的抛物线上的一动点，点N是点P关于对称轴的对称点，连接与直线交于点M，过点M作轴于点E，过点N作轴于点D，设矩形的周长为C． ①求C与m的函数关系式； ②结合函数图像探究说明，当C随m的增大而增大时m的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 2．C 【分析】根据抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间得出不等式组，求解后可判断①；由抛物线的对称性及抛物线与轴的一个交点在 2 和 3 之间可得出该抛物线与轴另一个交点坐标位置，从而得出相应的函数值的范围，可判断②；结合图象，根据二次函数的性质（离对称轴距离越近的点所对应的函数值越大）可判断③；因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于点，求出便是其他三边和的最小值，可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 解得：，故结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且， ∴抛物线与轴另一交点横坐标在和 0 之间，， ， ，即， ， 即， ， ，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，且开口向下， 又 ∵， ∴，故结论③错误； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∴ 当时，得， ， ∵点关于直线的对称点为， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则， ， 此时的长最短，而的长度一定， ∴周长的最小值为， ， ， ∴周长的最小值为，故结论④正确； ∴正确结论的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点，对称的性质，求线段和的最小值，两点间的距离等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，垂线段最短，勾股定理的应用，仔细审题得出函数的准线与焦点坐标是解答本题的关键．首先得出焦点的坐标和准线方程，由点到点的距离等于点到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点的位置，结合图形可得出这个最小值． 【详解】解：由题意得，抛物线的焦点的坐标为，准线为直线． 过点作直线，交直线于点，过点作直线，交直线于点，与抛物线的交点为点，如图： 则由题意可得，， 故可得：， 结合垂线段最短，可得当点与点重合时，，此时的值最小， 此时， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，则可得直线的解析式为，然后得出点C坐标，由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，进而求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 假设点B是过点P的直线与的交点，∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，如图所示： ∴，， ∴， ∴的周长最小值为； 故选A． 5．A 【分析】首先求出抛物线表达式，连接， 得到点的坐标， 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵抛物线，可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则 ， ∴点的坐标为； 连接， 设点的横坐标为， ， ， 如图， 过点作于， ，，， 满足， ， 又，， ， ， ， ， ． ∴当时，存在最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合． 6．A 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为 ， 的周长，且是定值，所以只需最小， 如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则， 设直线的解析式为：则 ，解得， 故该直线的解析式为 ， 当时，，即， 同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点， 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长； 所以点在时，三角形的周长最小， 综上所述，符合条件的点P的坐标是， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P． 7． 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 9．6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键． 先求出点A、B坐标，再根据抛物线的性质，作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P， 则点就是使的周长最小时的位置． ∵抛物线的对称轴是y轴，B、关于y轴对称， ∴点P在抛物线的对称轴上，且， ∴， ∴此时的周长最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴=6，点H的坐标是， ∵， ∴点A到的距离为， 设直线的直线方程为，把点A和点的坐标代入后得到， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴P点的坐标为 ∴， 此时， 即的面积为， 故答案为：． 10． 【分析】（）根据抛物线与轴相交于，两点，求出当时对应的的值即可得出答案； （）如图，过点作轴于点、作轴于点，证明四边形是矩形得，根据旋转的性质得，，证明得，，推出四边形是正方形，继而得到，设，解方程，确定，再由可得答案． 【详解】解：（）∵抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧） 当时，得：， 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作轴于点、作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，且点落在轴正半轴上， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点及函数图像上点的坐标特征，旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识点，掌握函数图像上点的坐标特征、旋转的性质及特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 11．3 【分析】本题考查了二次函数的应用、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再将点代入二次函数的解析式可得，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，解方程即可得． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， 将点代入二次函数得：， ∴， ∵二次函数（均为常数）的图象与轴交于点， ∴是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得求出，连接，过点A作轴交于点E，连接，证明四边形是平行四边形，得出，结合二次函数的对称性得到，由两点之间线段最短，当三点共线时，有最小值，再根据平行四边形的性质得到，运用两点距离公式列式计算即可作答． 【详解】解：令，则或， 将代入，则， ∴， ∴抛物线的对称轴为， 如图，连接，过点A作轴交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 13．(1)b的值为，c的值为 (2)， (3)①抛物线的顶点Q在抛物线上，见解析；② 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数最值，二次函数顶点、对称轴，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）把代入函数解析式即可解答； （3）①求得顶点P的坐标，代入，得到之间的关系，求得抛物线的顶点Q，代入即可判断； ②设点E的横坐标为，表示出的长度，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为， ， 解得， 抛物线与y轴交点的纵坐标为， ； （2）解：根据（1）可得抛物线的解析式为， 令， 解得， 点A在点B左侧， ，； （3）解：①抛物线的顶点Q在抛物线上，理由如下： ， ， 把代入抛物线：， 可得， ， 抛物线：， ， 把代入：， 可得， ， 把代入抛物线：， 可得， ∴抛物线的顶点Q在抛物线上； ②， ， ∴抛物线：，， 设，则， ， ， ， 当，取最大值为． 14．(1)，，； (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，即可得到值，由可得，根据正切定义可求出； （2）过点作轴于点，可求直线，设，则，，再由可建立起关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， 抛物线与轴交于、两点， ， ，， 在中，； 故答案为：，，； （2）解：存在， 过点作轴于点， 设直线， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时； （3）解：如图，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作于点， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ∵，， ∴ ∴， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 16．(1)； (2)矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质． （1）把代入求解即可； （2）求出，进而求出直线解析式，设，则，则，根据矩形的性质得到，求出矩形的周长的解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵矩形， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 17．(1)抛物线的解析式为 (2)的最小值为 (3)当时，所有符合条件点的坐标为或 【分析】（1）求得点的坐标，利用待定系数法解答即可； （2）过点作轴于点，交直线于点，利用等腰直角三角形的判定与性质得到为等腰直角三角形，则，设，则，则，可得：当时，取得最大值为，此时的坐标为；作点关于轴的对称点，连接，利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质得到当点在一条直线上时，取得最小值为，利用勾股定理解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：首先利用平移的特征求得抛物线的解析式，利用平行线的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立即可求得结论；设与轴交于点，利用全等三角形的判定与性质求得点坐标，利用的待定系数法求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立即可求得结论． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， ∵抛物线交轴于两点， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，交直线于点，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 设， 轴于点， ， ， ， ， ， ∴为的等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，取得最大值为，此时的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接，如图， 则， ∵F为该抛物线对称轴上的一动点， ， ， ∵两点之间线段最短， ∴当点在一条直线上时，取得最小值为， 过点作轴于点， ， ， ， ∴的最小值为； （3）解：当时，所有符合条件点的坐标为或． ， ， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴该抛物线向右平移了 1 个单位长度，向上平移利用 2 个单位长度， ， ， ， ， ， ， ∴，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ， 或（不合题意，舍去）， ， 设与轴交于点，如图， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴（不合题意，舍去）或， ∴． 综上，当时，所有符合条件点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 18．(1)抛物线解析式，F坐标为． (2) (3)①；②不存在． 【分析】（1）根据题意分别求出点A、C坐标，再代入解析式求出未知系数，得到函数关系式，再配方求顶点F坐标即可； （2）由抛物线轴对称性得到点B坐标为，且，再由和外角性质证明，进而证明，求出点M坐标为，再求出直线解析式，联立方程求其与抛物线交点坐标即可； （3）①根据题意，得到当与直线有交点时，m的范围，分别求出对应的，再表示周长即可； ②由①的函数关系式和对应取值范围，分别求出对称轴，确定C随m的增大而增大时m的范围即可． 【详解】（1）解：由直线与抛物线交于点A及点， ∴当时，，解得，， 当时，， 则， 把代入到， ， 解得， ∴抛物线解析式 配方得，， 则点F坐标为． （2）由抛物线对称性可知，点B坐标为，且， 则， ∵， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 故点坐标为， 设直线解析式为 ， 把点坐标为 ,坐标为代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，解得 （舍去） ∴ ∴点P的坐标为 （3）①由题意，关于对称轴对称点横坐标为1，点N的横坐标为， 由连接与直线交于点M，设点P的纵坐标为 故m的范围为或， 当时， ， 此时求M点的横坐标为 ， 则 ∴ 同理，当时， 则， ∴ 综上， ②当时，对称轴为直线，在对称轴左侧，C随m增大而减小，故此情况不存在符合要求答案， 当时，的对称轴为直线，在对称轴右侧，C随m的增大而减小，故此情况不存在符合要求答案， 故不存在m，使得C随m的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法、图象和性质、二次函数与一次函数的综合问题，以及全等三角形的性质和判定，运用了分类讨论和数形结合的数学，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $