精品解析：山东2026届高三年级部分学生调研检测数学试题

2026年高三年级部分学生调研检测 数学试题 2026.04 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由 ， 则，故， 又的共轭复数是， 故的共轭复数的虚部为. 2. 已知数列的通项公式为，则前2026项的第4百分位数为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】数列前2026项由小到大排列，前1013个数都是，后1013个数都是1， 由，得前2026项的第4百分位数为第82个数，即. 3. 已知曲线为椭圆，且，则数对个数为（ ） A. 5 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆方程的性质对数对进行列举即可. 【详解】曲线为椭圆，则， 且，则满足条件的正整数对有， 在上述数对中，只有满足，所以需要排除这个情况，剩下的数对共 8 对， 因此，满足条件的数对的个数为 8. 4. 在中，，，，点E，F分别满足，，AF，BE交于点D，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】以，为基底表示，向量后计算即可. 【详解】设，，， 因为， 所以由可得，. 由点E，F分别满足，可知， ，， 因为三点共线，可设, 又因为三点共线，可设, 解得， 所以 . 5. 如图，底面半径为1，母线长为2的圆锥底面圆周上有两点B，C，BC为底面直径，AB上一点D满足，一只蚂蚁沿圆锥侧面从C点爬到D点，其移动路径的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 底面半径为1，底面圆的周长为，即扇形的弧长，所以圆心角为， 所以展开图如上， ，， 所以最短路径为 6. 若正整数a，b，c的位数之和为8，且组成的8个数码可排列为2，0，2，6，0，4，0，9，则称为“调研”组，例如，则满足的“调研”组个数为（ ） A. 293 B. 291 C. 300 D. 586 【答案】B 【解析】 【分析】先不考虑、的大小关系，在、、的非最高位（五个位置）中选三个位置填，剩下五个位置还未填，任选其中两个填，最后三个位置写、、，求出这样的填法种数，求出时的填法种数，由与的填法各占一半可得结果. 【详解】暂不考虑、的大小关系，先在、、的非最高位（五个位置）中选三个位置填， 剩下五个位置还未填，任选其中两个填，最后三个位置写、、， 这样的填法数为； 再考虑、的大小关系，若，则必有， 此时的四个数字是、、、的排列，且不在首位，有种填法， 除这些填法外，与的填法各占一半， 故有个满足要求的“调研”组． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，再判断大小关系. 【详解】由题设均为正数. 根据泰勒公式，当时，. 代入得，即. 令， 求导得，故在时递增， ，即. 令，则， 故，，故. 因此，即. 8. 已知函数，若，则，的最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，再由，求，的最大值. 【详解】设，由辅助角公式可得，最大值为； 设，由辅助角公式可得，最大值为； 所以， 因为，所以， 两式相加得， 则当时，有， 且当时，符合题意， 则的最大值为4，的最大值为. 同理， ， 当时，， 且当时， 成立, 则的最大值为，的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中错误的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 平面直角坐标系中到点和的直线斜率之积为3的点构成的轨迹方程为 D. 平面直角坐标系中与交于两点，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出导数判断A；分析求得函数的最小正周期判断B；求出轨迹方程判断C；利用圆的性质求出最短弦长判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，函数中，，即， 因此函数的定义域为且且， 由，则是函数的周期； 设函数的最小正周期为，由可得， 令，可得，即，故，故函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，设动点坐标为，依题意，，即，C错误； 对于D，直线恒过定点，曲线是以点为圆心，为半径的圆， 易得点在圆内，故当时，，但是此时直线的斜率不存在，而的斜率一定存在，所以，D错误. 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，周长为．的平分线与外接圆交于点，，为中点．下列说法中正确的有（ ） A. 外接圆的半径为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 若外接圆过的两条切线交于点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A利用三角恒等变换将变为，再利用正弦定理得到外接圆半径；B设圆心为，利用余弦定理得到，再利用圆的性质得到和，根据三角形内角和综合得到的范围，进而得到的取值范围；C设，首先利用正弦定理得到关于的表达式，再根据数量积定义写出数量积的表达式，通过三角恒等变换化简后得到余弦的二次型函数，利用B选项中得到的的范围即可得到的范围，从而得到数量积的范围；D在和中使用正弦定理得到，在和中使用正弦定理得到，得，再利用正弦的单调性得到. 【详解】A，在三角形中有，依题意有 ，由正弦定理可得外接圆直径 ，半径为，A错误； B，设外接圆圆心为，已知且， 由余弦定理可得，， 因为平分，所以，从而， 于是有，又因为，所以， 则有，，在中，有 ，在中，有， 所以，所以的取值范围为，B正确； C，设，则，在和中使用正弦定理， 得，， 即，， 而 ，由B可知， 所以，，C错误； D，因为为圆切线，所以，且， 在和中使用正弦定理，得， ，所以即， 在和中使用正弦定理，得，， 又为中点，所以即， 综合可得，设，则， 又根据得到， 那么有，矛盾，的情况类似，所以，D正确. 11. 对于定义域的函数，定义函数方程为“柯西方程”，其通解为．下列说法中正确的有（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 定义域为的函数满足，且，若正数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用所给通解计算可得A；代入计算可得B；令，可得，即可设，从而计算可得C；借助换元法，设、，可得，则可设，结合计算可得，则只需证明，由为正数，可得，则，再通过运算及相应变形，可得只需证明，借助基本不等式计算即可得D. 【详解】对A：由题意可设，则， 故，故A正确； 对B：若，则，， 由不恒成立，故B错误； 对C：令且，由， 则， 故可设，则， 故，故C正确； 对D：令，则， 即有， 令，则， 故可设，则， 由，则，故， 则，则，则， 由为正数，则，则， 则 ， 要证，只需证， 即， 即只需证，由， 当且仅当时，等号成立，故， 故可得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 【答案】 【解析】 【分析】按照和这两种情况讨论求解. 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或或， ，或或或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 13. 不透明的袋子里装有个白球与3个黑球，每次不放回地取出一个球，则取出第二个黑球时已取出的球的个数期望为________.（参考公式：，） 【答案】 【解析】 【分析】摸出第二个黑球在第个时，前个球中有且只有一个黑球，后个球中有且只有一个黑球，由此可求出分布列. 【详解】设取出第二个黑球时已取出的球的个数为， 则分布列为,, 得到 . 14. 已知椭圆，过点且不与坐标轴垂直的直线与C交于A、B两点，直线与x轴交于点Q，x轴上一点S在P点左侧，且满足，则的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到两点横坐标的关系，再根据已知条件，将几何条件转化为代数方程，结合向量的数量积得到S点的坐标，最后代入化简、消去参数，证明比值为定值即可. 【详解】设直线 的方程为 （），，， 将其代入椭圆方程 ，整理得：， 由韦达定理得：， 由已知得 ，，设 且 ， 因为 ，且共线且方向相同， 所以： 代入向量坐标 ，，，， 得：， 因为 ，，所以 ， 则， 将 代入得 所以，即， 所以， 则： 把代入，得， ，即 ， 综上，的取值集合为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）当时，，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用函数单调性构造不等式，进而求解； （2）对已知不等式进行等价变换，构造函数，利用导数讨论函数单调性及最大值，进而求解． 【小问1详解】 ，求导得， 是单调递增函数， ，即对所有恒成立， ，当时，， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 当时，不等式对任意成立， 整理得， 把不等式视为关于的一次函数，要使对任意恒成立， 需满足对任意的，， 由得，即； 由得， 对任意成立，即大于的最大值； 求导得，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值， 故，即的范围为． 16. 如图，在正三棱锥中，为的重心，也为在面上的投影．上一点满足，上一点满足，且，为中点． （1）证明：； （2）若三棱锥各棱长均为2，求到距离的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正三棱锥的性质可知，作为底面正的重心，同时是顶点在底面的投影，因此平面，进而；又正三角形的重心与垂心重合，故.结合与相交于，根据线面垂直的判定定理，可得平面，最终由线面垂直的性质推出。 （2）本题先通过作投影确定正四面体中 为 的重心，利用正三角形性质算出相关线段长度，再由相似三角形得到 的投影 的位置与 到平面 的距离；接着用向量分解表示 ，结合三点共线的系数和为 1 建立参数方程，代入 求解 ；最后根据垂线段最短，确定 到 的最小距离为 到面 的距离 . 【小问1详解】 因为三棱锥为正三棱锥，所以为正三角形. 因为 是正 的重心，也是 在平面 上的投影，故 平面 . 平面 ，因此 . 又 为正 重心，所以 也为正 垂心，故 . 因为，且 平 面 ，所以 平面 . 因为 面 ，所以 . 【小问2详解】 如图所示，过作平面，则为在面的投影；过作平面，则为在平面的投影. 因为三棱锥每条棱长都为，所以该三棱锥为正四面体，所以为的重心. 因为正边长为，所以高为. 延长 交 于 ，由正三角形垂心重心重合得. 所以重心 到顶点距离 . 三棱锥的高. 因为平面，平面，所以. 所以易得. 因为为中点，所以. 所以若存在和使得线段经过，则求到距离的最小值即求到平面的距离. 如图所示，假设存在和使得线段经过，则由题可知;. 因为为的重心，为中点，所以. 即 .又 ， 所以 . 由三点共线可知若 ，即 时，线段经过 此时. 代入 ，得 ，即 . 由求根公式，. 显然有，所以假设成立，即到距离的最小值即到面的距离. 17. 在统计一些敏感性问题的回答时，往往很难得到受调查者的诚实性答复.为了解决这一问题，我们往往需要适当地采用一些统计学方法，下面的例子给出了一个有效的手段.某地卫生部门派遣调查组前往当地某校问询校内学生的吸烟情况，很明显，如果直接询问这样的问题很难得到学生的诚实回答.为此，调查组成员想到了一个统计方法，首先设计了如下的调查问卷形式： 问题甲：你父亲的生日日期是奇数吗？ 问题乙：你是否有吸烟的习惯？ 请用2B铅笔填涂相关选项： 是□ 否□ 请用2B铅笔填涂相关选项： 是□ 否□ 而后，准备好一个不透明盒子，其中放入足够多质量、大小、质地相同的小球，且其中红白两色小球各占一半，在受调查学校高一、高二、高三三个年级采用分层随机抽样的方式抽取共200名学生作为样本．让参与调查的学生轮流抽取盒子里的一个球，如果抽到了红色球，则需要回答问题甲；如果抽到了白色球，则需要回答问题乙．抽球和回答问卷时不安排人员监督，提交问卷时，只需上交其答案，而不需要透露其回答的问题内容．依据此方法，调查过程中共拿到了54张填涂“是”的答卷． （1）请说明此调查方式的合理性，并估计该校吸烟学生在总人数中所占的百分比； （2）为了更精确地了解该校学生的吸烟状况，调查组经商议决定让全校共6000名学生参与此次问卷调查．调查过程中共拿到了1836张填涂“是”的答卷，且其中有840张答卷来自女生．已知该校男女比例为1:1，请估计该校吸烟学生中男、女生的人数，并据此判断能否有99.9%的把握认为吸烟行为和性别相关联． 参考数据及公式：， ． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）合理性分析见解析， （2）吸烟的男女人数分别约为；没有99.9%的把握认为吸烟行为和性别相关联. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求出吸烟人数的概率即可； （2）求出该校吸烟男女人数，列出列联表，计算，根据参考公式作出结论. 【小问1详解】 该方法通过随机化应答机制保护隐私，降低被调查者心理压力，从而提高诚实作答率；同时利用已知概率的问题（问题甲）作为参照，通过统计模型反推敏感问题（问题乙）的真实比例，是一种科学、有效的敏感问题调查手段. 设吸烟比例为，回答“是”为事件A，抽到红球为事件B，抽到白球为事件C, 则 所以， 解得，即. 【小问2详解】 由题意，该校男女生各有人，可以估计该校学生对问题甲回答“是”的人数约为 ，所以对问题乙回答“是”的人数约为， 即吸烟人数约为306，其中女生吸烟人数约为人，男生吸烟人 数约为人，故有吸烟行为的女生约有140人，没有吸烟行为的女 生约有2860人，有吸烟行为的男生约有166人，没有吸烟行为的男生约有2834人. 列出列联表如下： 有吸烟 无吸烟 合计 男生 166 2834 3000 女生 140 2860 3000 合计 306 5694 6000 所以， 故没有99.9%的把握认为吸烟行为和性别相关联. 18. 已知双曲线的一个焦点为，点在上．过点作交于三点（异于点）．（题中斜率均不为0．） （1）求的方程； （2）证明：； （3）若点与坐标原点不重合，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿 （3）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【解析】 【小问1详解】 焦点为，则，点即在上， 则有，得，与联立得， 所以的方程为. 【小问2详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:3931980300 【小问3详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ: 3931980300 19. 定义“维向量”，的模长．特别地，若，则称向量为“维元向量”，例如为一个“二维元向量”．定义两个向量的点乘运算．回答下列问题： （1）证明，并通过归纳比较与的大小关系；（其中．表示对取遍时的所有种情况求和．） （2）证明：对于任意的，总存在一个“维元向量”，使得； （3）定义“维超向量”（为互不相同的正整数）．证明：对于任意给定的＂维向量＂，不存在无限多的，使得． 【答案】（1）故二者相等． （2）对于任意的，总存在一个“维元向量”，使得 （3）对于任意给定的“维向量”（），满足的“维超向量”只有有限多个． 【解析】 【分析】（1）先对按最后一个符号分组，再利用进行归纳证明． （2）由第（1）问可得，所有“维元向量”与点乘平方的平均值恰为，故必存在一个“维元向量”使其点乘平方不超过该平均值． （3）设，，则．若，取，利用阶乘增长远快于较小阶乘之和，可得有统一上界，从而满足条件的“维超向量”只能有有限多个． 【小问1详解】 记当时，结论成立． 当时， 由此可得 假设当时，结论成立，即 当时，记，则按与分组，有 由，得 于是 故对任意正整数，都有 所以与相等． 【小问2详解】 对任意一个“维元向量”（其中），都有 由第（1）问可得，所有“维元向量”对应的之和为 由于“维元向量”一共有个，因此这些数的平均值为 故必存在一个“维元向量”，使得 【小问3详解】 设由可知． 反设存在无限多个“维超向量”满足 对任意一个满足条件的，设． 由于互不相同，故其余各数均小于，从而 又因为于是 消去，得即这说明所有满足条件的“维超向量”中，最大的都有统一上界． 于是每个都只能在有限多个正整数中取值． 再结合互不相同，可知满足条件的“维超向量”只可能有有限多个，这与假设矛盾． 故对于任意给定的“维向量”（），不存在无限多个“维超向量”，使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级部分学生调研检测 数学试题 2026.04 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为，则前2026项的第4百分位数为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3. 已知曲线为椭圆，且，则数对个数为（ ） A. 5 B. 10 C. 9 D. 8 4. 在中，，，，点E，F分别满足，，AF，BE交于点D，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 如图，底面半径为1，母线长为2的圆锥底面圆周上有两点B，C，BC为底面直径，AB上一点D满足，一只蚂蚁沿圆锥侧面从C点爬到D点，其移动路径的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若正整数a，b，c的位数之和为8，且组成的8个数码可排列为2，0，2，6，0，4，0，9，则称为“调研”组，例如，则满足的“调研”组个数为（ ） A. 293 B. 291 C. 300 D. 586 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则，的最大值分别为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中错误的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 平面直角坐标系中到点和的直线斜率之积为3的点构成的轨迹方程为 D. 平面直角坐标系中与交于两点，的最小值为 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，周长为．的平分线与外接圆交于点，，为中点．下列说法中正确的有（ ） A. 外接圆的半径为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 若外接圆过的两条切线交于点，则 11. 对于定义域的函数，定义函数方程为“柯西方程”，其通解为．下列说法中正确的有（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 定义域为的函数满足，且，若正数满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 13. 不透明的袋子里装有个白球与3个黑球，每次不放回地取出一个球，则取出第二个黑球时已取出的球的个数期望为________.（参考公式：，） 14. 已知椭圆，过点且不与坐标轴垂直的直线与C交于A、B两点，直线与x轴交于点Q，x轴上一点S在P点左侧，且满足，则的取值集合为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）当时，，求的范围． 16. 如图，在正三棱锥中，为的重心，也为在面上的投影．上一点满足，上一点满足，且，为中点． （1）证明：； （2）若三棱锥各棱长均为2，求到距离的最小值． 17. 在统计一些敏感性问题的回答时，往往很难得到受调查者的诚实性答复.为了解决这一问题，我们往往需要适当地采用一些统计学方法，下面的例子给出了一个有效的手段.某地卫生部门派遣调查组前往当地某校问询校内学生的吸烟情况，很明显，如果直接询问这样的问题很难得到学生的诚实回答.为此，调查组成员想到了一个统计方法，首先设计了如下的调查问卷形式： 问题甲：你父亲的生日日期是奇数吗？ 问题乙：你是否有吸烟的习惯？ 请用2B铅笔填涂相关选项： 是□ 否□ 请用2B铅笔填涂相关选项： 是□ 否□ 而后，准备好一个不透明盒子，其中放入足够多质量、大小、质地相同的小球，且其中红白两色小球各占一半，在受调查学校高一、高二、高三三个年级采用分层随机抽样的方式抽取共200名学生作为样本．让参与调查的学生轮流抽取盒子里的一个球，如果抽到了红色球，则需要回答问题甲；如果抽到了白色球，则需要回答问题乙．抽球和回答问卷时不安排人员监督，提交问卷时，只需上交其答案，而不需要透露其回答的问题内容．依据此方法，调查过程中共拿到了54张填涂“是”的答卷． （1）请说明此调查方式的合理性，并估计该校吸烟学生在总人数中所占的百分比； （2）为了更精确地了解该校学生的吸烟状况，调查组经商议决定让全校共6000名学生参与此次问卷调查．调查过程中共拿到了1836张填涂“是”的答卷，且其中有840张答卷来自女生．已知该校男女比例为1:1，请估计该校吸烟学生中男、女生的人数，并据此判断能否有99.9%的把握认为吸烟行为和性别相关联． 参考数据及公式：， ． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知双曲线的一个焦点为，点在上．过点作交于三点（异于点）．（题中斜率均不为0．） （1）求的方程； （2）证明：； （3）若点与坐标原点不重合，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 19. 定义“维向量”，的模长．特别地，若，则称向量为“维元向量”，例如为一个“二维元向量”．定义两个向量的点乘运算．回答下列问题： （1）证明，并通过归纳比较与的大小关系；（其中．表示对取遍时的所有种情况求和．） （2）证明：对于任意的，总存在一个“维元向量”，使得； （3）定义“维超向量”（为互不相同的正整数）．证明：对于任意给定的＂维向量＂，不存在无限多的，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $