精品解析：湖北随州市曾都区第二高级中学2026届高考数学第二次质检数学试题

2026届高考数学第二次质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是纯虚数，复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. (1，2) 3. 已知集合，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知，且，则（ ）． A. B. C. D. 7. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，则点所构成的曲线为为阿氏圆.下列结论正确的是（ ） A. 曲线的圆心在轴上 B. 曲线的半径为4 C. 从点向圆引切线，切线长是3 D. 曲线与圆相外切 11. 设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（ ） A. B. 中的元素个数为36 C. D. 第二卷（非选择题，共92分） 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为_______． 13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有__________种. 14. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为，求证：． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间内有最小值，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 17. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为6，边长为的等边内接于底面圆，射线与圆交于点，直线，且点满足，. （1）求此圆锥的侧面积； （2）若，，，求证：平面； （3）当为中点，且二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． （1）求的方程； （2）点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 19. 某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （1）当时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （2）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学第二次质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合角的范围，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 又为第四象限角，则，所以. 2. 已知是纯虚数，复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. (1，2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据是纯虚数，求出，由模长几何意义可得复数对应点在以对应点为圆心半径为的圆上，转化为求圆上的点到原点距离的最值，即可得出结论. 【详解】, 因为是纯虚数，所以， ，设复数对应点为， 则点在以为圆心，半径长为的圆上， 所以， 即. 故选：B. 3. 已知集合，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合的具体范围，再根据集合的包含关系，分析中元素与集合的约束条件，得出的取值范围. 【详解】集合：由，得，即， 因，故中所有元素均需满足， 的最小元素为，因此需，即， 所以的取值范围是. 故选：B 4. 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据范围代入解析式即可. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 6. 已知，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得到，构造函数，利用函数的单调性即可得出选项A和B的正误；对于选项C，通过取特殊值，即可得出选项的正误，对于选项D，利用的单调性即可得出结果. 【详解】依题意，因为，所以， 设函数，易知函数在上单调递增，故，所以选项A错误； 又因为，所以，所以，所以选项B错误； 又因为，取，则，所以选项C错误； 因为，所以，所以，所以选项D正确． 故选：D. 7. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 8. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，则点所构成的曲线为为阿氏圆.下列结论正确的是（ ） A. 曲线的圆心在轴上 B. 曲线的半径为4 C. 从点向圆引切线，切线长是3 D. 曲线与圆相外切 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先根据点满足的几何条件，结合两点间距离公式求出点所满足的轨迹方程，根据的轨迹方程逐一判断选择A、B正误即可，利用几何关系及勾股定理求解切线长，判断选项C的正误，利用两个圆相外切的判定条件判断选项D的正误. 【详解】由题意可设点，由，，， 得，化简得，即， 故得曲线为以为圆心，半径的圆，故选项A、B均正确； 如图，设，圆心，过点做曲线的切线，切点为 得：， ，， 故从向圆引切线，切线长为，故选项C正确； 由，整理得：， 得圆心，半径， ，， ，故曲线与不相外切，故选项D错误. 故选：ABC 11. 设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（ ） A. B. 中的元素个数为36 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用新定义判断AB；结合列举法利用古典概型概率公式求解判断C；求出所有满足的n，然后求平均值即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，正确； 对于B，中的元素个数为，错误； 对于C，设，中满足元素如下： 因为，所以以的大小作为分类依据， 时，，，，， ，，，共有7个， 同理时有8个，时有9个，所以，正确； 对于D，集合中所有元素和为， 所以，正确. 第二卷（非选择题，共92分） 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】可以作出其直观图的示意图，从图中观察易得结论． 【详解】此十二面体如图，数形结合可得则其它顶点处的棱数为4 故答案为：4． 13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有__________种. 【答案】88 【解析】 【分析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况，由排列组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 故答案为：88. 14. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由. 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：由（1）知，故， 所以， 由，则，所以，故． 【解析】 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求和得，即可证. 【小问1详解】 因为， 当时，， 两式相减，得， 当时，满足上式， 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间内有最小值，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3） 证明：不妨设， 由题意得消去得， 设，代入上式得， ， 下证， 即证． 设，则， 令，则， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内单调递增，即， 所以，所以， 因为，，所以． 【解析】 【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可； （2）通过讨论的范围，判断在区间内单调性，从而得出的取值范围； （3）根据题意分析可得：若，是关于的方程的两个不同的解，通过联立方程组消去，再通过换元，整理得到，结合的单调性分析运算得到，从而得证. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，，随的变化情况如下表所示： 0 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 当时，，所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意． 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值． 当时，，所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 略 17. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为6，边长为的等边内接于底面圆，射线与圆交于点，直线，且点满足，. （1）求此圆锥的侧面积； （2）若，，，求证：平面； （3）当为中点，且二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2）证明:取中点，连接，，如图，因，所以可得， 又，，所以可得，， 又因平面，因平面，所以平面， 又因平面，因平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由题可求得底面圆半径，再结合圆锥侧面积公式即可求解. （2）取中点，连接，，由面面平行证明平面平面，从而可求解； （3）作交于点，连接，由几何知识可得则就是二面角，再利用余弦定理及三角形等面积法求得，再利用等体积法即，从而可求解. 【小问1详解】 由题意可得的边长为，则其外接圆半径， 所以此圆锥侧面积为：. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 连接，，由题可知底面圆的直径，点与点关于平面对称， 作交于点，连接，则由点，则就是二面角，且，则， 在中，由余弦定理得，解得， 连接，由，， 所以， 即，解得，负值舍去， 所以可得， 连接，由为底面圆的直径，则， 所以，， 设点到平面的距离为， 所以，即， 即，解得. 故点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． （1）求的方程； （2）点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i） 设，， 设直线，， 由可得：，解得， 同理联立和椭圆方程，可得， 所以直线的斜率为， 所以直线， 同理可得的斜率为，所以直线， 由可得， 又，所以； （ii）假设存在点，使得为定值， 即， 所以恒成立， 则，解得， 所以存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）由条件得到在椭圆上，代入椭圆方程，结合即可求解； （2）（i）分别设，，，，通过联立椭圆方程，得到坐标，确定方程，进而得到坐标，即可求证，（ii）设，通过，得到恒成立，进而可求解. 【小问1详解】 依题意， 所以， 由直线交于，两点，， 可知点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （1）当时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （2）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）（i）； （ii） 0 1 2 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）当时，得到不低于80分的公司有家，行业评级为5级的公司有家，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （ii）根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）根据题意，求得，且，再求得行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家的概率，结合和的关系，分别求得和的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：（i）当时，可得性能评分不低于80分的公司有家， 其中行业评级为5级的公司有家， 所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为； 由记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则的可能取值为， 可得，， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以期望为. 【小问2详解】 解：由题意，可得，可得， 抽取100家公司的行业评级总和为， 所以，其取值范围为， 该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率， 则两家的评级都为2级的概率为，此时 两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为，平均级别为； 两家的评级都为5级的概率为，平均级别为， 因为，当且仅当时，满足，此时， 又因为且，当且仅当或，满足， 此时， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $