精品解析：河南信阳市2025-2026学年普通高中高一下学期期中教学质量检测数学试题

2025–2026学年普通高中一下学期期中教学质量检测 数学 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 2. 设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论. 【详解】根据题意，设，则，且，， 故复数在复平面内对应的点位于第四象限. 3. 下列向量运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 4. 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 5. 已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】因为， 所以，故复数的虚部是. 6. 已知正方形的边长为，点、分别为边、上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，其中，利用平面向量的数量积的运算性质可得出的最小值. 【详解】设，其中， 由题意可知，则， 所以， 故的最小值为. 7. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，为单调递减函数，且， 当时，，也为单调递减函数，， 所以在上单调递减. 因为，所以，解得， 所以. 故该不等式的解集为. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由确定的范围，再令，利用二倍角正切公式把已知条件转化为关于的一元二次方程，结合的范围确定的值．最后利用齐次化即可得解． 【详解】因为，所以． 令，则．由二倍角正切公式得． 将其代入已知条件，得． 因为．所以，即，整理得，解得或． 又因为，所以，即． 因为，且， 所以． 二､多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若命题，则命题的否定为： C. 若，则或 D. 若，且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项A，判断充分性和必要性是否成立； 对于选项B，根据特称命题的否定规则进行判断； 对于选项C，通过举反例来判断； 对于选项D，根据不等式的性质，举例即可进行判断. 【详解】对于A选项，当时，，此时成立，所以充分性成立， 由，可得，解得或， 所以当时，不一定等于，所以必要性不成立，故选项A正确； 对于B选项，根据特称命题的否定规则，可知命题“”的否定为：“”，故选项B正确； 对于C选项，设，，则，但且，故选项C错误； 对于D选项，设，，，，满足且，则，，此时，故选项D错误. 综上所述，故选项AB正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是的图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 则函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为， 所以直线是的图象的一条对称轴，B对； 对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错； 对于D选项，由可得， 在同一直角坐标系中作出函数、在区间上的图象如下图所示： 由图可知，函数、在区间上的图象有个交点， 故函数在区间上有个零点，D对. 11. 悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系：.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（ ） A. 点在的内部 B. 点是的重心 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设分别为的中点，整理可得，可知点为线段的三等分点（靠近点），进而逐项分析判断即可. 【详解】设分别为的中点， 因为，即， 则，即，可知点为线段的三等分点（靠近点）， 所以点在的内部，点不是的重心，故A正确，B错误； 不妨设，则，， 可得，，， 则，， 所以，故C正确，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】， 因为，所以，即，解得. 13. 已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】分析可知函数的定义域为，根据奇函数的定义结合对数运算求解即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 即， 可得，结合x的任意性可知. 14. 已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在非零常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”.若函数是的“回旋函数”，则在上至少有__________个零点. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1013个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1014个零点． 【详解】因为对任意的实数恒成立，令，得． 若，则与异号，即， 由零点存在定理得在上至少存在一个零点． 由于，得到， 进而， 所以在区间，，…，内均至少有一个零点， 所以在上至少有1013个零点． 若，则， 此时在上至少有1014个零点． 综上所述，在上至少有1013个零点. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别求出集合和，再根据交集的定义求解即可. （2）由条件可知，再分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 或， 当时，， 所以或； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或， 解得或， 综上实数的取值范围为或. 16. 在中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若在（1）的条件下，有，求边的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助数量积公式可求出，再利用余弦定理结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即， 又，故，故，则； 【小问2详解】 由，故， 由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 故边的最小值为. 17. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，所以，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，解得，此时点为线段的中点. 18. 如图，是函数图象的一部分. （1）求函数的解析式. （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象. ①求函数在上的单调递增区间； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） ①；② 【解析】 【分析】（1）根据最值可得；根据最小正周期可得，求得，由此可得解析式； （2）①将整体代入正弦函数单调递增区间中，即可构造不等式求得递增区间； ②根据正弦函数的图像求解即可. 【小问1详解】 由图像可知，函数最大值为，最小值为，且，得. ，所以周期. 又，，因此. 将最高点代入得：，则， 解得.因为，所以. 因此函数解析式为. 【小问2详解】 ①向右平移​个单位，则， 再纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），则. 令，解得. 因为，所以在上的单调递增区间为. ②当时，令​，则. 因为方程在区间上恰有两个不同的实数解， 则​在上恰有两个不同解. 由在的图象可知，当时，方程恰有两个不同解， 解得. 因此的取值范围为. 19. 定义：设向量，我们称为向量的“伴随函数”；称向量.为函数的“伴随向量”. （1）已知向量的“伴随函数”为，求的最大值. （2）设向量，，函数，求函数的“伴随向量”. （3）已知向量、满足，且“伴随函数”分别为和，设，且的“伴随函数”为，其最大值为. ①若，求的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 【答案】（1） （2） （3）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的有界性可求得函数的最大值； （2）化简函数的解析式，利用“伴随向量”的定义可得结果； （3）①设，，，，其中，求出向量的坐标，结合题中定义化简函数的解析式，利用辅助角公式结合三角恒等变换、正（余）弦型函数的有界性可求得的取值范围； ②先证明必要性，由，则，可得出，则，化简的表达式，可证得必要性成立；再证充分性，由化简得出，可得出，结合诱导公式可得出，可证明充分性. 【小问1详解】 因为向量的“伴随函数”为，则， 故函数的最大值为. 【小问2详解】 因为向量，，所以，， 所以， 所以函数的“伴随向量”为. 【小问3详解】 ①因为向量、满足，不妨设，， 因为实数、满足，设，，其中， 所以 ， 所以 ， 其中满足， 所以函数的最大值为 ， 因为，则，所以， 又因为，则，所以， 故， 故，即的取值范围是. ②由题意， 则， ， 其中， 所以 . 先证明必要性：若，则，所以， 所以，则， 所以； 接下来证明充分性：若， 所以，则，则， 所以，， 故. 因此向量的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026学年普通高中一下学期期中教学质量检测 数学 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列向量运算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 5. 已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形的边长为，点、分别为边、上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若命题，则命题的否定为： C. 若，则或 D. 若，且，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是的图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有个零点 11. 悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系：.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（ ） A. 点在的内部 B. 点是的重心 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 13. 已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 14. 已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在非零常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”.若函数是的“回旋函数”，则在上至少有__________个零点. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）已知，求实数的取值范围. 16. 在中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若在（1）的条件下，有，求边的最小值. 17. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 18. 如图，是函数图象的一部分. （1）求函数的解析式. （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象. ①求函数在上的单调递增区间； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 定义：设向量，我们称为向量的“伴随函数”；称向量.为函数的“伴随向量”. （1）已知向量的“伴随函数”为，求的最大值. （2）设向量，，函数，求函数的“伴随向量”. （3）已知向量、满足，且“伴随函数”分别为和，设，且的“伴随函数”为，其最大值为. ①若，求的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $