精品解析：河南省信阳市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2024-2025学年普通高中高一下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算即可. 【详解】， 故选：C. 2. 的值等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用正弦函数两角和公式计算. 【详解】， 故选：B. 3. 已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式即可得解. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 4. 函数，的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦型函数的图象及性质求得已知函数的单调递增区间，即可求得. 【详解】， 令， 函数的单调递减区间为. 由， 得， 而，根据复合函数的单调性可知，所求单调递增区间是和. 故选：C. 5. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示求出，，再利用模长公式求解即可． 【详解】因为，，， 所以，则，故， 所以，则． 故选：A. 6. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数的图象的对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 【答案】C 【解析】 【分析】由正切型函数的最小正周期公式求函数的最小正周期可判断A；根据正切函数的定义域求函数的定义域，可判断B；由正切曲线的对称中心求函数图象的对称中心，可判断C；由正切函数的单调区间求函数的单调递增区间，可判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期，A正确； 对于B，由，，得，， 所以函数的定义域为，B正确； 对于C，由，，得，， 所以函数的图象的对称中心为，，C错误； 对于D，由，，得，， 所以函数的单调递增区间为，，D正确. 故选：C 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数的解析式，再根据函数图象变换求函数的解析式，根据条件及三角函数性质列方程求，再确定其最小值即可. 【详解】可化为， 所以， 由条件可得， 因为函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 所以，， 所以，，又， 所以的最小值为， 故选：A. 8. 在中，角，，对边分别为，，，且面积为.若，，则角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，可得，由余弦定理，三角形面积公式可求得，结合，可得，根据三角形内角和定理可求得答案 【详解】因为， 所以由正弦定理得, 所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求，根据虚部的定义求复数的虚部判断A，根据共轭复数的定义求判断B，根据复数的模的定义求，判断C，根据复数的几何意义求在复平面内对应的点坐标，判断D. 【详解】因为， 所以复数的虚部为，A错误； 因为，所以，B正确， 因为，所以，C正确； 复数在复平面内对应的点的坐标为，该点位于复平面的第一象限内，D错误； 故选：BC. 10. 信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最小正周期是 B. 该函数的解析式是， C. 该函数图象的对称中心是 D. 该函数图象的对称轴是直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象得出该函数的周期，可判断A选项的正误；结合图象求出该函数的解析式，可判断B选项的正误；再求函数图象的对称中心判断C，求函数图象的对称轴判断D. 【详解】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为，A选项正确； 对于B选项，由图象可得，解得， ， 图象经过点， ， . ，，则，， 所以，函数解析式为，，B选项正确； 对于C选项，令，，可得，， 所以函数图象的对称中心为，C选项错误； 对于D选项，令，，可得，， 所以函数图象的对称轴是直线，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有两个 B. 若，则 C. 若，，则的最大值为 D. 若，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算，比较，，的大小，根据所得结果判断A；举反例判断B；由条件结合三角形面积公式可得，结合余弦定理，基本不等式可得，结合平方关系可求的最大值，判断C；由条件可得，由条件可求，由此判断D. 【详解】A选项，若，，， 则，所以， 所以满足条件的三角形有两个，所以A选项正确. B选项，若，如，，，， 则，，故，所以B选项错误. C选项，，， 余弦定理得，故， ， 即，当且仅当时等号成立， 由于三角形中，，所以， 则，又， 即，整理得， 解得，所以的最大值为，所以C选项正确. D选项，因为， 所以，即，所以三角形是等腰三角形. 而，所以为锐角，且， 所以是等边三角形. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，是上靠近的一个三等分点，，，则可以用，表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，结合向量的线性运算法则求结论. 【详解】因为是上靠近的一个三等分点，所以， 又，， 所以， 故答案为：. 13. 若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件求的范围，再求，的范围，根据正弦函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由，可得， 又是三角形的一个内角，所以， 故，， 因函数在区间上单调递增， ，解得，又， 所以的取值范围为， 故答案为：. 14. 已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有1个实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式及余弦函数的对称性求出a，即可得到函数解析式，再求出端点处函数值与最大值，依据题意方程在上恰有1个实数根，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，其中, 又函数的图像关于直线对称，且， 所以，解得， 所以， 当时，令， 因为方程在上恰有1个实数根，且函数在上单调递增，在上单调递减， ， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1） （2）时，的最大值为4；时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，则，从而可求出x的值； （2）根据题意可得，然后利用正弦函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 因为，，， 所以． 若，则，与矛盾， 故，于是．又， 所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以，从而． 所以， 于是，当，即时，取到最大值； 当，即时，取到最小值． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知，点B的纵坐标是． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积求解出的值，再根据三角函数的定义求解出的值，最后根据两角差的余弦公式求解出的值； （2）根据二倍角公式求解出的值，然后根据两角差的正弦公式求解出的值，结合角的范围求解出的值. 【详解】解：（1）由题意，． ，为锐角， ，． 又点B的纵坐标是且为钝角， ，． ． （2）， ， ，，． 又， 故． 17. 近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点C在圆弧上，点D在边上，且，米，设. （1）求扇形面积； （2）求矩形的面积；当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）平方米； （2），当时，取得最大值平方米. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用扇形面积公式列式即得. （2）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式；再由辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【小问1详解】 依题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. 【小问2详解】 在中，，， 在中，，则， 于是， 则矩形面积 ，， 所以； 由，得，则当时，即时，， 所以当时，取得最大值，最大值为平方米. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得的值，进而即可求解； （2）结合（1），先根据正弦定理得，，再根据余弦定理得，从而可得到，结合题意可得到的取值范围，从而确定的取值范围，再结合正弦型函数的性质即可求解． 【小问1详解】 根据题意，由正弦定理得， 又在中，有，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 结合（1）可得，， 由，则根据正弦定理有，得，， 根据余弦定理有，得， 所以 ， 又为锐角三角形，则有，，得， 所以，所以， 故． 【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求的范围转化为求正弦型函数的值域，结合题意得到的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问（2）的关键． 19. 若函数在定义域区间上连续，对任意恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数（，），，在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明） （2）利用（1）中的结论，在中，求的最大值； （3）证明函数是上凸函数． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用上凸函数、下凸函数的定义，作差，结合和角及二倍角的正弦推理判断即可. （2）利用（1）的结论，结合三角形三内角和定理求出最大值. （3）作差，结合对数运算、对数函数性质，基本不等式及不等式性质推理判断即得. 【小问1详解】 函数，，， ， 当时，，是下凸函数； 当时，，是上凸函数， ， ，显然，则， 因此，函数是上凸函数 小问2详解】 由（1）知函数，是上凸函数， 在中，， 即，当且仅当取等号， 所以的最大值是. 【小问3详解】 函数的定义域是， 要证函数是上凸函数，即证，， 因为 ＝， 显然，则， 而，即，则， 又，有，则，， 所以函数是上凸函数． 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年普通高中高一下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，（ ） A B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3. 已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 函数，的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 5. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数的图象的对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，且面积为.若，，则角等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数最小正周期是 B. 该函数的解析式是， C. 该函数图象的对称中心是 D. 该函数图象的对称轴是直线 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有两个 B. 若，则 C. 若，，则最大值为 D. 若，且，则为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，是上靠近的一个三等分点，，，则可以用，表示为______. 13. 若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 14. 已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有1个实数根，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知，点B的纵坐标是． （1）求的值； （2）求的值． 17. 近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点C在圆弧上，点D在边上，且，米，设. （1）求扇形的面积； （2）求矩形的面积；当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 19. 若函数在定义域区间上连续，对任意恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数（，），，在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明） （2）利用（1）中的结论，在中，求的最大值； （3）证明函数上凸函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $