第30讲　机械能守恒定律及其应用 讲义 -2027届高三物理一轮复习

第30讲　机械能守恒定律及其应用 一、重力做功与重力势能 1．重力做功的特点 (1)重力做功与_路径__无关，只与始、末位置的_高度差__有关。 (2)重力做功不引起物体_机械能__的变化。 2．重力势能 (1)表达式：Ep＝ mgh　。 (2)重力势能的特点：重力势能是物体和 地球　所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取 有关　，但重力势能的变化量与参考平面的选取 无关　。 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能_减小__；重力对物体做负功，重力势能_增大__。 (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的_减少量__，即WG＝_Ep1－Ep2__＝_－ΔEp__。 (3)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取_无关__。 4．弹性势能 (1)概念：物体由于发生_弹性形变__而具有的能。 (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量_越大__，劲度系数_越大__，弹簧的弹性势能越大。 二、机械能守恒定律 1．机械能：_动能__和_势能__统称为机械能，其中势能包括_重力势能__和_弹性势能__。 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有_重力或弹力__做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能_保持不变__。 (2)守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。 1．重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。( √ ) 2．被举到高处的物体重力势能一定不为零。( × ) 3．发生弹性形变的物体都具有弹性势能。( √ ) 4．弹力做正功、弹性势能一定增加。( × ) 5．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( × ) 6．物体的速度增大时，其机械能可能减小。( √ ) 7．物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。( √ ) 考点1　机械能守恒的判断 (基础考点·自主探究) 1．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。 2．判断方法 (1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。 (3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。 (4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。 【跟踪训练】 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒 B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力及滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒 D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 [答案]　CD [解析]　甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C正确；丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。 (2025·河南许昌高三期末)如图所示，一轻质弹簧，下端与固定光滑斜面的底端相连，上端与斜面上的物体A相连，A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻钩。开始时各段绳子都处于伸直状态，A上方的一段绳子与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放，则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰，物体B不会和地面相碰)，下列说法正确的是(　　) A．物体B机械能守恒 B．物体A和B组成的系统机械能守恒 C．物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒 D．物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒 [答案]　D [解析]　物体B在下落的过程中，绳子的拉力对其做负功，机械能不守恒，故A错误；物体A和B组成的系统在运动过程中，弹簧弹力对系统做功，该系统机械能不守恒，故B错误；物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中，绳子拉力对系统做正功，该系统机械能不守恒，故C错误；物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统，在运动过程中，系统内只发生势能与动能之间的相互转化，该系统机械能守恒，故D正确。 考点2　单物体(除地球外)机械能守恒问题 (能力考点·深度研析) 1．机械能守恒的三种表达式 守恒观点 E1＝E2 要选零势能参考平面 转化观点 ΔEk＝－ΔEp 不用选零势能参考平面 转移观点 ΔEA＝－ΔEB 说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。 2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤 ►考向1　单一过程问题 (多选)(2023·湖南卷)如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是(　　) A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变 C．小球的初速度v0＝ D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道 [答案]　AD [解析]　小球从B点到C点的过程中，对小球进行受力分析，如图所示，根据牛顿第二定律有mgcos α－FN＝m，FN＝mgcos α－m，α减小，v减小，FN增大，根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力逐渐增大，A正确；小球从A点到B点的过程中，重力功率PG＝mgsin θ·v，v减小，PG减小，B错误；因为小球从A点运动到C点的过程中，只有重力做功，所以小球的机械能守恒，有mg·2R＝mv，v0＝，C错误；若小球初速度v0增大，过B点时，若mgcos θ<m，则小球会从B点脱离轨道，D正确。 反思提升　　　　 (1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。 (2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。 ►考向2　多过程问题 如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直墙面的距离d＝R。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。 (1)若释放处高度h＝h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vC； (2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式； (3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？ [答案]　(1)　(2)FN＝2mg，h≥R　(3)h≤R或者h＝R [解析]　(1)从A到C，小球的机械能守恒，有mgh0＝mv， 可得vC＝。 (2)小球从A到D，由机械能守恒定律有mg(h－R)＝mv 根据牛顿第二定律有FN＝ 联立可得FN＝2mg 满足的条件h≥R。 (3)第1种情况：不滑离轨道原路返回，由机械能守恒定律可知，此时h需满足的条件是h≤R＋3Rsin θ＝R 第2种情况：小球与墙面垂直碰撞后原路返回， 小球与墙面碰撞后，进入G前做平抛运动，则vxt＝vx＝d， 其中vx＝vGsin θ，vy＝vGcos θ 故有vGsin θ·＝d， 可得vG＝2 由机械能守恒定律有 mg＝mv 可得h＝R。 【跟踪训练】 如图所示，粗糙的水平桌面上有个光滑的小孔O，一轻绳穿过小孔，两端各系着质量分别为m和4m的两个小物体A、B。将物体A拉开偏离竖直方向60°由静止释放，物体A运动过程中物体B始终处于静止状态。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物体B与桌面之间的动摩擦因数至少为(　　) A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 [答案]　A [解析]　物体A运动至最低点时绳子的拉力最大，设此时物体A的速度大小为v，OA长为l，物体A运动至最低点的过程中，由机械能守恒定律得mgl(1－cos 60°)＝mv2，设在最低点绳子对物体A的拉力大小为T，在最低点对物体A，由牛顿第二定律有T－mg＝m，由平衡条件得T＝μ·4mg，解得物体B与桌面之间的动摩擦因数至少为μ＝0.5，A正确。 (2025·江西名校联考)一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是圆弧，C端水平。如图所示，运动员连同滑雪装备的总质量m＝75 kg，从A点由静止滑下，通过C点时速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C两点的高度差h1＝9.8 m，竖直台阶CD的高度h2＝5 m。取地面为参考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，则运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为(　　) A．11 100 J B．9 150 J C．7 350 J D．5 400 J [答案]　B [解析]　根据题意可知，运动员在C点的机械能为E＝mv2＋mgh2＝9 150 J，从C点离开后，运动员在空中只有重力对其做功，机械能守恒，则可知运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为9 150 J，故B正确。 考点3　连接体的机械能守恒问题 (能力考点·深度研析) 1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 2．注意寻找用绳或杆连接的物体间的速度关系和位移关系。 3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。 ►考向1　轻绳连接的物体系统 1．常见情景 2．三点提醒 (1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 (3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 [答案]　AC [解析]　此过程中，拉力一直对b做负功，所以b的机械能减少，故A正确；设小球b到达Q点时速度为v，此时小球a的速度va＝vcos 45°，根据机械能守恒定律4mgR－mg·R＝mv＋×4mv2，解得v＝，则此时a的速度大于零，动能大于零，故C正确，B、D错误。 ►考向2　轻杆连接的物体系统 1．常见情景 2．三大特点 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 (2025·衡水高三质检)如图为一幼儿园的可调臂长的跷跷板的示意图，O为跷跷板的支点。开始时一质量为m的小朋友坐在跷跷板的A端，此时A端恰好着地，跷跷板与水平地面的夹角为θ＝30°。现有一质量为4m的老师轻坐在跷跷板的B端，经过一段时间后跷跷板处于水平位置。已知OA＝2L，OB＝L，不计空气阻力和跷跷板的质量，重力加速度大小为g，小朋友与老师均可视为质点，则(　　) A．此过程中小朋友的机械能守恒 B．此过程中小朋友与老师的速度大小之比为1∶2 C．跷跷板处于水平位置时，老师的速度大小为 D．此过程中跷跷板对小朋友做的功为mgL [答案]　D [解析]　此过程中小朋友的速度增大，动能增大，重力势能增大，则小朋友的机械能增大，A错误；小朋友与老师的角速度总是相等，根据v＝ωr，由于小朋友与老师绕O点转动的半径之比为2∶1，可知小朋友与老师的速度大小之比为2∶1，B错误；跷跷板处于水平位置时，设老师的速度大小为v，则小朋友的速度大小为2v，根据系统机械能守恒可得4mg·Lsin 30°－mg·2Lsin 30°＝m(2v)2＋×4mv2，解得v＝，C错误；根据动能定理可得W－mgL＝m(2v)2，解得W＝mgL，可知此过程中跷跷板对小朋友做的功为mgL，D正确。 ►考向3　轻弹簧连接的物体系统 常见 情景 模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒 两点 提醒 (1)对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 (2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大 (2025·河北保定市期中)如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳绕过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的小球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B使细绳伸直且刚好没有拉力，然后由静止释放，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小； (2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度； (3)物体A的最大速度的大小。 [答案]　(1)30 N　(2)0.2 m　(3)1 m/s [解析]　(1)弹簧恢复原长时，根据牛顿第二定律，对B有mg－FT＝ma 对A有FT－mgsin 30°＝ma 解得FT＝30 N。 (2)初态弹簧压缩量x1＝＝0.1 m 当A速度最大时，A的加速度为0 则有mg＝kx2＋mgsin 30° 弹簧伸长量x2＝0.1 m 所以A沿斜面上升x1＋x2＝0.2 m。 (3)因x1＝x2，故弹性势能改变量ΔEp＝0，由系统机械能守恒有： mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝×2mv2，解得v＝1 m/s。 【跟踪训练】 如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧固定在水平地面上。质量为m的小球从弹簧正上方高h处自由下落，当弹簧的压缩量为x时，小球到达最低点。不计空气阻力，重力加速度为g。此过程中(　　) A．小球的机械能守恒 B．小球到距地面高度为时动能最大 C．小球的最大动能为mg D．弹簧的最大弹性势能为mg(h＋x) [答案]　D [解析]　当小球与弹簧接触后，弹簧的弹力对小球做负功，小球的机械能减少，弹簧的弹性势能增加，小球的机械能不守恒，A错误；当小球所受合外力为零时，小球的动能最大，根据平衡条件得mg＝kx1，解得x1＝，由于弹簧原长未知，故无法知道小球此时距地面的高度，设此时弹簧的弹性势能为Ep1，根据机械能守恒定律知，小球的最大动能为Ek＝mg－Ep1，B、C错误；当小球运动到最低点时，小球的动能为零，弹簧的压缩量最大，弹簧的弹性势能最大，根据机械能守恒定律得，弹簧的最大弹性势能为Ep＝mg(h＋x)，D正确。 (2024·河北保定高三期末)如图所示，固定在竖直面内横截面为半圆的光滑柱体(半径为R，直径水平)固定在距离地面足够高处，位于柱体两侧质量相等的小球A、B(视为质点)用细线相连，两球与截面圆的圆心O处于同一水平线上(细线处于绷紧状态)。在微小扰动下，小球A由静止沿圆弧运动到柱体的最高点P。不计空气阻力，重力加速度大小为g。小球A通过P点时的速度大小为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． [答案]　C [解析]　对AB组成的系统，从开始运动到小球A运动到最高点的过程mg－mgR＝·2mv2，解得v＝，故选C。 (多选)如图所示，一根长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，两端固定质量均为m的小球A和B，A到O的距离为L。现使杆在竖直平面内转动，B运动到最高点时，恰好对杆无作用力，两球均视为质点，不计空气阻力和摩擦阻力，重力加速度为g。当B由最高点第一次转至与O点等高的过程中，下列说法正确的是(　　) A．杆对B球做负功 B．B球的机械能守恒 C．轻杆转至水平时，A球速度大小为 D．轻杆转至水平时，B球速度大小为 [答案]　AD [解析]　当B由最高点第一次转至与O点等高的过程中，只有重力做功，所以两球组成的系统的机械能守恒。A球的动能和重力势能均增加，则A球的机械能增加，根据系统的机械能守恒知B球的机械能减少，由功能关系知杆对B球做负功，故A正确，B错误；B球在最高点时，由重力提供向心力，设B球在最高点的速度大小为v，由mg＝m，解得v＝，当B由最高点转至与O点等高时，根据AB系统的机械能守恒得mgL＝mv＋mv－mv2－m×2，又2vA＝vB，解得vA＝，vB＝，故C错误，D正确。 非质点类物体的机械能守恒问题 1．主要类型 有质量的杆、绳、链条、水柱等物体的运动。 2．解题关键 这类物体的重力势能由重心的位置决定，确定重心位置是解题的关键。 3．常用方法 当整体重心不易确定时，可分段处理，找出各部分的重心位置，求各段的重力势能。 (水柱模型)如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计摩擦阻力，重力加速度为g)(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　设U形管的横截面积为S，液体的密度为ρ。液体开始运动后，不计液体产生的摩擦阻力，液体机械能守恒，液体减少的重力势能转化为动能，两边液面相平时，相当于右管h高的液体移到左管中，重心下降的高度为h，由机械能守恒定律得ρ·hS·gh＝ρ·4hS·v2，解得v＝，故选A。 【跟踪训练】 (链条模型)一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条右端和左端，如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系。下列判断正确的是(　　) A．v甲＝v乙＝v丙 B．v甲<v乙<v丙 C．v丙>v甲>v乙 D．v乙>v甲>v丙 [关键点拨]　对于非质点类物体机械能守恒问题，关键在于找到物体各部分重心的变化情况。 [答案]　D [解析]　三种情况下所研究的系统机械能守恒，由－ΔEp＝ΔEk得，对于甲有mg×＋mg×＝mv，解得v甲＝，对于乙有mg×＋mg×＋mg×＝×2mv，解得v乙＝，对于丙有mg×＋mg×＝×2mv，解得v丙＝，则v乙>v甲>v丙，故选D。 【跟踪训练】 (多选)(多个小球类的机械能守恒)如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r≪R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．N个小球在运动过程中始终不会散开 B．第1个小球从A到B过程中机械能守恒 C．第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动 D．第1个小球到达最低点的速度v< [答案]　AD [解析]　在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；第一个小球在下落过程中受到挤压，所以有外力对小球做功，小球的机械能不守恒，故B错误；由于小球在下落过程中速度方向发生变化，相互间的挤压力变化，所以第N个小球不可能做匀加速运动，故C错误；当重心下降时，根据机械能守恒定律得mv2＝mg·，解得v＝；同样对整体在AB段时，重心低于，所以第1个小球到达最低点的速度v<，故D正确。 提能训练　练案[30] 基础巩固练 题组一　机械能守恒的理解与判断 1．2023年杭州亚运会女子撑杆跳高决赛中，中国选手李玲以4.63米的成绩获得冠军，并打破了亚运会纪录。李玲的撑杆跳高过程可简化为“持撑杆助跑”“撑杆离地上升到最高点”“越横杆”“空中下落”“落到缓冲海绵”五个阶段，忽略空气阻力的影响，以下说法正确的是(　　) A．“撑杆离地上升到最高点”阶段，撑杆的弹性势能先增大后减小 B．李玲越过横杆正上方时，动能为零 C．李玲接触缓冲海绵后一直做减速运动 D．撑杆跳高整个过程，李玲和撑杆组成的系统机械能守恒 [答案]　A [解析]　起跳后撑杆弯曲，李玲的动能转化为杆的弹性势能，撑杆将李玲向上弹起的过程中，杆的弹性势能转化为李玲的重力势能，故撑杆的弹性势能先增大后减小，A正确；李玲越过横杆正上方时，水平方向有速度，动能不为零，B错误；李玲接触缓冲海绵后，弹力先小于重力，做加速运动，弹力等于重力时，速度达到最大值，然后弹力大于重力，做减速运动，C错误；李玲持杆助跑阶段，李玲的生物能转化为动能，机械能不守恒，落在缓冲海绵上后缓冲海绵对她做功，机械能不守恒，D错误。 2．(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　) A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功 B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒 C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒 D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒 [答案]　BC [解析]　当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧最高点的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有小球的重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。 题组二　机械能守恒定律的应用 3．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是(　　) A．物体落到海平面时的重力势能为mgh B．物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh D．物体在海平面上的机械能为mv [答案]　BCD [解析]　物体运动过程中，机械能守恒，所以任意点间的机械能相等，都等于抛出时的机械能，物体在地面上的重力势能为零，动能为mv，故整个过程中的机械能为mv，所以物体在海平面上的机械能为mv，在海平面上的重力势能为－mgh，根据机械能守恒定律可得－mgh＋mv2＝mv，所以物体在海平面上的动能为mv＋mgh，从抛出点到落到海平面，重力做功为mgh，所以B、C、D三项正确，A项错误。 4．如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝ m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3 m/s。已知∠AOB＝60°，以OC所在平面为参考平面，取g＝10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　) A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒 B．铁链在初始位置时其重心高度 m C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8 m D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为6 m/s [答案]　C [解析]　铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边铁链的拉力，该拉力做负功，机械能不守恒，故A错误；根据几何关系可知，铁链长度为L＝＝2 m，铁链全部贴在球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在∠AOB的平分线上，故铁链在初始位置时其重心与圆心连线长度等于端点B滑至C处时其重心与圆心连线长度，均设为h0，根据机械能守恒定律有mgh0－mgh0sin 30°＝mv，代入数据解得h0＝1.8 m，故B错误；铁链的端点A滑至C点时，其重心在参考平面下方处，则铁链的端点A滑至C点时其重心下降了Δh＝h0＋＝2.8 m，故C正确；铁链的端点A滑至C处过程，根据机械能守恒定律有mgΔh＝mv，解得v2＝2 m/s，故D错误。 5．(2025·浙江高三阶段练习)如图所示，竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的滑块，初始时静置于a点。一原长为l的轻质弹簧左端固定在O点，右端与滑块相连。直杆上还有b、c、d三点，且b点与O点在同一水平线上，Ob＝l，Oa和Oc与Ob的夹角均为37°，Od与Ob的夹角为53°。现由静止释放滑块，在滑块从a点下滑到d点的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，sin 37°＝0.6，则下列说法正确的是(　　) A．滑块在b点时速度最大，加速度为g B．滑块从a点下滑到c点的过程中，滑块的机械能守恒 C．滑块在c点的速度大小为 D．滑块从a点下滑到d点的过程中，滑块的机械能一直在减小 [答案]　C [解析]　滑块速度最大时，加速度必为零，应该在b点下方位置，A错误；滑块从a点下滑到c点的过程中，弹簧先对滑块做正功，滑块的机械能增加，后对滑块做负功，滑块的机械能减小，故机械能不守恒，B错误；ac间的距离为lac＝2ltan37°＝l，对滑块从a到c的过程应用动能定理可得mglac＝mv2，解得v＝，所以滑块在c点时的速度为，C正确；滑块从a点下滑到d点的过程中，弹簧先对滑块做正功后做负功，滑块的机械能先增加后减小，D错误。 6．为使小球A能击中离地面高H的小球P，设计了甲、乙、丙、丁四条内、外侧均光滑的轨道，如图所示。甲为高度小于H的倾斜平直轨道，乙、丙、丁均为圆轨道，圆心O的位置如图所示，重力加速度为g。小球从地面出发，初速度大小都为v0＝，在甲轨道中初速度方向沿斜面向上，在乙、丙、丁轨道中初速度方向均沿轨道的切线方向，则小球A经过哪种轨道后有可能恰好击中P球(　　) A．轨道甲和轨道丁 B．轨道乙和轨道丁 C．轨道丙和轨道丁 D．只有轨道丁 [答案]　D [解析]　轨道甲中，小球离开轨道后做斜抛运动，小球达到最高点时速度不为零，根据机械能守恒定律得mgh＝mv－mv2，则h<H，故小球A不能击中P球；轨道乙中，小球A做竖直上抛运动，不能击中P球；分析轨道丙、丁，根据机械能守恒定律有mgH＝mv－mv2，解得v＝0，轨道丙中小球A未达到P点时即脱离轨道，不能击中P球，轨道丁小球A恰能击中P球，D正确。 7．(2023·全国甲卷)如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求： (1)小球离开桌面时的速度大小； (2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。 [答案]　(1)　(2)· [解析]　(1)由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知Ep＝mv2 得小球离开桌面时速度大小为v＝。 (2)小球离开桌面后由平抛运动规律得x＝vt，vy＝gt 设第一次碰撞前速度的竖直分量为vy，由题可知小球与地面碰撞后，竖直方向的速度大小为vy′＝vy 反弹后上升的最大高度为h，满足h＝ 解得小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为x＝·。 能力提升练 8．(多选)(2025·福建省厦门一中高三检测)如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是(　　) A．物块B的机械能的减少量大于物块A的重力势能的增加量 B．物块B的重力势能减少量为mgLtan θ C．物块A的速度大于物块B的速度 D．物块B的末速度为 [答案]　ABD [解析]　在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝Ltan θ，则B重力势能减少量为ΔEpB＝mgLtan θ，物块A沿斜面上升的距离为x＝－L，设此时物块A的速度为vA，物块B的速度为vB，A、B组成的系统运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，所以物块B的机械能减少量等于物块A的机械能增加量，有mgLtan θ－mv＝mv＋mgxsin θ，A物块沿斜面上升时动能和势能都增加，故A、B正确；将物块B的速度分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，则vA＝v绳＝vBsin θ，则物块A的速度小于物块B的速度，故C错误；联立以上表达式可得vB＝，故D正确。 9．如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接。将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　) A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒 B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零 C．b球的最大速度为 D．a球的最大速度为 [答案]　C [解析]　对于a球和b球组成的系统，除重力外没有其他力做功，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由于两球沿杆方向的分速度大小相等，故vbcos θ＝vasin θ，可得vb＝vatan θ，当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向上只受到重力，因此a球的加速度大小为g，由机械能守恒定律有mg·L＝mv，解得va＝，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，B、D错误；当轻杆L和L1第一次平行时，a球运动到最低点，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，由机械能守恒定律有mg＝mv，解得vb＝，C正确。 10．小珂在游乐场游玩时，发现过山车有圆形轨道也有水滴形轨道，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理(如图甲所示)，小珂设计了如图乙所示的过山车模型，质量为m的小球在A点静止释放沿倾斜轨道AB下滑，经水平轨道BC进入半径R1＝0.8 m的圆形轨道(恰能做完整的圆周运动)，再经水平轨道CE进入“水滴”形曲线轨道EFG，E点的曲率半径为R2＝2 m，并且在“水滴”形轨道上运动时，向心加速度大小为一定值，F与D等高。忽略所有轨道摩擦力，轨道连接处都平滑连接，水滴形轨道左右对称。(取g＝10 m/s2) (1)求小球释放点A距离水平面的高度H； (2)设小球在圆形轨道上运动时，离水平面的高度为h，求向心加速度a与h的函数关系； (3)设小球在“水滴”形轨道上运动时，求轨道曲率半径r与h的函数关系(h为小球离水平面的高度，曲线上每一小段的曲率半径为该小段曲线所在圆周的半径)。 [答案]　(1)2 m　(2)a＝(50－25h)m/s2(0≤h≤1.6 m)　(3)r＝2 m－h [解析]　(1)小球在最高点D时，由牛顿第二定律有 mg＝ 对小球由A到D，由机械能守恒定律有 mgH＝mv＋2mgR1 联立解得H＝2 m。 (2)对小球在圆形轨道上运动的过程，由机械能守恒定律有 mg(H－h)＝mv2 小球以速度v通过曲率半径为R1的圆周的向心加速度为a＝ 解得a＝(50－25h)m/s2(0≤h≤1.6 m)。 (3)对小球由A点到E点，由机械能守恒定律有mgH＝mv 小球以速度vE通过曲率半径为R2的E点时的向心加速度a＝ 解得a＝2g 由题意知小球在“水滴”形轨道上运动时，向心加速度大小相等，均为a＝2g 小球从A运动到“水滴”形轨道高度为h的过程，由机械能守恒定律有mg(H－h)＝mv2 小球以速度v通过曲率半径为r的“水滴”形轨道时的向心加速度a＝(a＝2g) 解得r＝2 m－h。 学科网（北京）股份有限公司 $