8.2.1两角和与差的余弦课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 《人教B版2019高中数学必修第三册》 探究新知 因为15o=45o-30o，所以cos15o=cos(45o-30o)，因此可能有人会猜想 cos15o=cos45o-cos30o= 但这显然是不对的：cos 15°一定大于0，但上式右边小于0． 事实上，利用单位圆以及向量的数量积，可以证明，对任意α与β，都有 这就是两角差的余弦公式，通常简记为Cα-β 探究新知 证明  如图8-2-1所示，在平面直角坐标系xOy中，设α，β的终 边与单位圆的交点分别为P，Q，则P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)， 因此=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)从而有 ·=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ. 另一方面,由图可知,存在k∈Z,使得<·>=α-β+2kπ或< ,>=β-α+2kπ, 因此cos< ·>=cos（α-β），又因为||=||=1,所以 =| |||cos<,>=cos(α-β). 提示： α,β落在不同象限时,总会存在k∈Z,使得α-β+2kπ∈[0，]或β- α+2kπ∈[0，]是<·>的夹角. 探究新知 故cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ. cos15o=cos(45o-30o)=cos45ocos30o+sin45osin30o =×+×= 当然，cos15o的值也可借助60o与45o来求，即 cos15o=cos(60o-45o)=cos60ocos45o+sin60osin45o =×+×= 利用Cα-β可知 探究新知 例1 利用Cα−β证明以下诱导公式. （1) cos（−α）=sinα; (2) cos(π-α)=-cosα. 证明 （1）由Cα−β可知 cos(−α)=cos cosα+sin sinα =0×cosα+1×sinα=sinα. （2）由Cα−β可知 cos(π-α)=cosπ cosα+sinπ sinα=(-1)×cosα+0×sinα=-cosα. 借助Cα−β以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式Cα+β，即 探究新知 证明 因为α+β=α-(-β)，所以 cos(α+β)=cos[α-(-β)] =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ. 类似地，利用Cα+β可以证明cos(+α)= -sina ，留作练习. 探究新知 例2 求cos105o的值． 解 cos105o=cos(60o+45o) =cos60ocos45o-sin60osin45o =×-× = 探究新知 例3 已知cosα=−，其中<α<π，求cos(−α),cos(+α) 解 因为cosα=−，其中<α<π，所以 sina== 因此 cos(−α)=coscosa+sinsina =×(−)+× = 探究新知 例4 求cos20ocos25o−sin20osin25o的值. 解 由Cα+β可知 cos20ocos25o−sin20osin25o=cos(20o+25o) =cos45o= 阶段小结 1.两角和的余弦公式Cα+β：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ 2.两角差的余弦公式Cα-β：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 3.特殊角拆分：如 cos75o=cos(45o+30o)，cos15o=cos(45o-30o)，cos=cos+cos等. 4.诱导公式推导：用Cα+β、Cα-β可推导常用诱导公式： cos(+a)=-sina;cos(-a)=sina;cos(+a)=-cosa;cos(-a)=-cosa 5.逆用公式： cosαcosβ−sinαsinβ=cos(α+β) cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) 练习A ①求下列各式的值. （1)cos75o; (2)cos; (13)cos(-165o); (4)cos(-). 解析 75o=45o+30o =+ 165o=180o-（40o-30o） - =5+ 然后利用两角和与差的余弦计算。 练习A ②利用Cα+β证明：cos(+a)=-sina 证明：cos(+a)=cos×cosa-×sina =0×cosa-×sina =-sina ③对任意α与β，cos(α+β)=cosα+cosβ一定不成立吗？说明理由. 不是一定不成立，当α=，β=或α=，β=时，等式都成立 练习A ④已知sina=,其中a∈（，，求 cos(+a),cos(-a) 解：已知sina=,a∈（，cosa= = cos(+a)=coscosa-sina=×-×= cos(-a)=coscosa+sina=×+×= 练习A ⑤求下列格式的值 (1) cos80ocos20o+sin80osin20o; (2) cos10ocos20o−sin10osin20o. 解 (1)cos80ocos20o+sin80osin20o= cos(80o-20o)=cos60o= 解 (2)cos10ocos20o−sin10osin20o= cos(10o+20o)=cos30o= 练习B ①求下列各式的值. (1) cos222.5∘−sin222.5∘; (2) cos70osin80o+sin70osin10o. 解析 解析 练习B ②化简下列各式. (1)cos(+)-cos(); (2)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ (1)cos(+)-cos()=(coscos-)-(coscos+) =-2 = - (2)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos(α+β-β)=cosα 练习B ③已知sinα=,cosβ=-,且α∈（，,β∈（， 已知sinα=,cosβ=-,且α∈（，,β∈（， cosα=-,sinβ= =cosαcosβ-sinαsinβ=()×(-)-()×=- =cosαcosβ+sinαsinβ=()×(-)+()×= 练习B ④证明下列各式. (1)-a; (2)cosθ-sinθ=θ (1)-a (2)θ-θ) =θ-θ) =cosθ-sinθ= 巩固提升 1.公式正用 （1） . 解析（ ） （） . 提示：也可直接将角变换为 ,或 巩固提升 1.公式正用 （2）已知cosα=α+β)=-,α，β都是锐角，则cosβ= . 解析 , 都是锐角，, , , , ， . 巩固提升 1.公式正用 （3）已知sin(a+)=,且,则cosa的值为 . 解析 ,所以，所以cos(a+)>0, 所以cos(a+)=== 所以cosa=cos[(a+)-]=cos(a+)cos+sin(a+)=×+×= 提示：用已知角构造出所求的角，a=(a+)- 巩固提升 1.公式正用 （4）已知锐角α ,β满足sinα=，cosβ=,则α+β= 解析由sinα=，cosβ=，且α ,β为锐角，可知cosα=，sinβ=, 故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-= 又0<α+β<α+β= 巩固提升 2.公式逆用 求值： = 解析 ． 规律总结 两角和与差公式的应用技巧 (1) 求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和与差，然后利用两角和与差公式求解。 (2) 利用公式进行条件求值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常用的变角技巧有α=（α+β）-β，β=（α+β）-α，α+β=（α+）-（-β），2α=（α+β）+（α-β）等 $