精品解析：河北唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题

河北唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】, 所以复数虚部为. 2. 已知向量，若，则（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 8 【答案】D 【解析】 详解】解：，， ，解得． 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，由函数定义域得到，再求交集即可． 【详解】解：，解得，即， ，，解得，即， ． 4. 已知，则（ ） A. B. -1 C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得，由于， 所以，因此且， 则，故C正确. 5. 若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定焦点位置，再由即可求解． 【详解】解：，，则椭圆焦点在轴，， ． 6. 设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得曲线在处的切线斜率表达式，再由垂直关系计算可得. 【详解】由可得， 所以在点处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直，即可得， 因此． 故选：A 7. 已知随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】 因为，，则， 因为，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误， 对于CD，， ， 则，D正确； 所以，C错误. 8. 在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】差数列的公差为，根据条件推出，判断出当时，；时，，再根据，判断出对取正负的影响，进而可得出结果. 【详解】设等差数列的公差为，所以，因此，所以， 所以，， 因此，当时，；时，， 因为， 所以当时，，当时，， 当时，， 当时，因为，所以； 因为 ， 所以，当时，取得最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 的最小正周期是 D. 的一条对称轴为 【答案】BD 【解析】 【分析】A利用奇偶性的定义求证；B利用在上的单调性判断；C举反例；D求证即可. 【详解】令，得，故的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数，故A错误； 因为在上单调递增，且， 所以在上单调递减，故在上单调递增，故B正确； 因为，，所以，故C错误； ， 所以的一条对称轴为，故D正确. 10. 在四棱锥中，平面， ，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线平面PAB B. 当时，直线CE与PB所成角为 C. 当时，直线CE与平面PAD所成角为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，以A为原点建立空间直角坐标系，求出时点坐标与向量，验证与平面内两个不共线的向量共面，且不在平面内，可判断线面平行成立；对B，得到​时和的向量坐标，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值判断；对C，得到时坐标与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式得到线面角的正弦值判断；对D，得到时三棱锥四个顶点的坐标，设外接球球心坐标，根据球心到各顶点距离相等求出球心与半径，计算得到外接球表面积. 【详解】因为，所以， 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，则 ， 由得， . 对于A：当时，， ，平面的法向量为， 因为 ，且不在平面内，故平面，A正确； 对于B：时， ， ，设直线与所成角为， 则 ，故夹角不是，B错误； 对于C：当时， ， ， 平面的法向量为 ，设直线与平面所成角为， 则 ，得，C正确； 对于D：当时，四点坐标： ， 则 ，所以是直角三角形，其外接圆圆心为，半径， 因为平面平面，球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，所以可设外接球球心为， 则由球心到各顶点的距离相等，可得， 解得，所以球心为，半径，故外接球表面积，D正确. 11. 设是一个随机试验中的两个事件，记，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C D 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可判断A，根据事件的独立性即可判断B，根据德摩根定律即可判断C，根据概率的基本性质即可判断D. 【详解】对于A，若，由概率的基本公式有， 代入， 则， 由条件概率有，且， 则有，故A正确. 对于B，已知，， 若，则，这说明事件相互独立， 由于，要使， 必须有，而事件相互独立并不意味着，故B错误； 对于C，由德摩根定律， 因此，故C正确； 对于D，令，其中，令， 由概率的基本性质得， 要证，也就是证， 即证，即， ①先证：不妨设，则， 则， 而函数，最大值为，在处取得， 因此，，在时取等号； ②再证，即证，由于， 所以， 因此， 当时，此时， 因此，在时取等号； 当时，此时， 因此； 综上所述，有，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______． 【答案】-20 【解析】 【分析】由二项式定理，展开式的通项公式求出指定项的系数. 【详解】展开式的通项公式，令，解得：，则，所以的系数为-20. 故答案为：-20 13. 已知直线与圆相切，若直线过抛物线的焦点，与的准线相交于点，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据直线与圆相切求出斜率，再由直线过焦点得出即可求解. 【详解】因为直线与圆相切， 所以，解得或， 由知， 代入直线方程，可得， 当，显然不满足， 当时，由， 所以抛物线方程为，焦点，准线方程， 代入直线方程，可得，即， 所以. 14. 已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由欧拉函数的定义可求出，进而得到，可得，再根据错位相减法求和即可. 【详解】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为， 则，即， 所以集合 当时，集合为，则； 当时，集合为，则； 当时，，则， 综上所述，，则， 设数列前项和为， 当时，； 当时，， 则， 两式相减得，， 则, 显然满足上式，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点是边AC中点，，且. （1）若，求的面积； （2）当时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，知道点是边AC中点，再由的面积公式即可得出答案； （2）分别在和进行余弦定理化简即可得出答案. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以， 又因为点是边AC中点， 所以的面积. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为，解得. 16. 甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． （1）若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； （2）设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）或 【解析】 【分析】（1）（i）应用独立事件乘积公式计算求解；（ii）应用n次独立重复试验应用互斥事件概率和公式计算； （2）应用n次独立重复试验和互斥事件概率和公式计算得出概率范围. 【小问1详解】 （i）乙获胜有两种情况： ①乙连胜四局，概率为， ②乙第三局到第六局胜三局且第七局胜， 概率为， 所以当甲先赢了前两局时，乙获胜的概率为. （ii）记“比赛打满七局甲胜”为事件，“比赛打满七局乙胜”为事件， 则， ， 所以比赛打满七局的概率为. 【小问2详解】 ， ， 由已知整理得： ， 解得：或， 因为， 所以或， 综上：或时，． 17. 在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为侧面是边长为2的菱形，， 所以，取中点，连接，则， 又因为，所以， 又因为底面侧面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面ABC，所以， 因为，满足，所以， 又因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为侧面是菱形，所以， 又因为，、平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直性质定理与线面垂直判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，AC，AD，AB所在直线的方向分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 故，， 设平面与的法向量分别为、， 则，，即，， 令，则，，，， 所以，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点． （1）若焦距为12，求的方程； （2）当时，若，证明：轴； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦距为12可得，进而求出，即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及题设可得，进而求出坐标，即可证明； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，令，可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 当时，直线的方程为，设， 联立，得， 则 ，且， 而，故，将代入， 整理得，同理， 所以 ，解得（负根舍去）， 则双曲线，则的坐标为， 而方程，即为，解得或，则， 所以轴． 【小问3详解】 当时，双曲线，直线的方程为，设， 联立，得 ， 则， 所以， 将直线与渐近线分别联立得： ， 因为， 令，即， 则， 则，即时，的最大值为，经检验符合题意． 19 设函数，若有两个极值点，且. （1）求的取值范围； （2）当时，记为最大零点. （i）①证明：有两个零点；②证明：； （ii）比较与的大小，并给出证明. 【答案】（1） （2） （i）①易知，由（1）可知， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意． 故在，单调递增，单调递减，且， 由单调性可知， 令，则， 则在上单调递增，则， 则当无限大时， ， 由零点存在性定理可知，存在两个零点0和且，命题得证． ②因为为极值点且， 所以 ，即， 又由①知 ，结合， 有 ， 得，命题得证． （ii），证明： 由（*）可知，所以 ， 记， 又，所以，则， 则 ， 所以在单调递增，则，所以， 因为在单调递增，且，所以． 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用导函数得出单调性，得出，解不等式即可； （2）（i）①结合，分、两种情况探究的单调性，由零点存在性定理以及可证； ②利用和可证； （ii）由化简，构造函数，得出，结合单调性可得. 【小问1详解】 ，令，则， 当时，，此时在上单调递增， 则至多有一个零点，即至多有一个极值点，不符合题意； 当时，由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 先证明：、、， 令，则， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 则，故成立； 因为，所以，则成立； 令，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，则单调递增， 故，故成立； 由以上不等式可得，，，， 故， 因为，由零点存在性定理可知，若有两个极值点， 只需 记， 当时，单调递增；当时，单调递减； 又，则，所以的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 2. 已知向量，若，则（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 8 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. -1 C. D. -2 5. 若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 的最小正周期是 D. 的一条对称轴为 10. 在四棱锥中，平面， ，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线平面PAB B. 当时，直线CE与PB所成角为 C. 当时，直线CE与平面PAD所成角为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 11. 设是一个随机试验中的两个事件，记，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______． 13. 已知直线与圆相切，若直线过抛物线的焦点，与的准线相交于点，则__________． 14. 已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点是边AC中点，，且. （1）若，求的面积； （2）当时，求. 16. 甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． （1）若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； （2）设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. 17. 在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点． （1）若焦距为12，求的方程； （2）当时，若，证明：轴； （3）若，求的最大值. 19. 设函数，若有两个极值点，且. （1）求的取值范围； （2）当时，记为最大零点. （i）①证明：有两个零点；②证明：； （ii）比较与的大小，并给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $