5.2.3 简单复合函数的导数导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 【学习目标】 1. 理解复合函数的概念，能指出复合函数是由哪些基本初等函数复合而成。 1. 掌握复合函数的求导法则（链式法则）：。 1. 能运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数。 1. 会利用复合函数的导数解决切线方程及实际问题（如弹簧振子位移的瞬时变化率）。 【学习重点】 1. 复合函数的概念及分解。 2. 复合函数的求导法则及其应用。 【学习难点】 1. 正确分解复合函数，分清内层函数与外层函数。 2. 求导过程中对中间变量求导的理解。 学习任务一 复合函数的概念 【合作探究】 1. 观察函数 。这个函数能否直接用基本初等函数的导数公式或四则运算法则求导？为什么？ 1. 分析函数 的结构：如果将 记作 ，则 ，而 。这样， 通过中间变量 表示了 的函数。这种形式的函数叫做什么函数？ 1. 判断下列函数是否为复合函数？若是，请指出外层函数和内层函数： (1) (2) (3) (4) 1. 你能自己举一个复合函数的例子吗？ 【自主梳理】 1. 复合函数的定义： · 对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 。 · 1. 复合函数的分解： · 外函数 ，内函数 。 · 例如： 是由 与 复合而成。 学习任务二 复合函数的求导法则 【合作探究】 1. 以函数 为例，探究其导数。 方法一：利用三角恒等式 ，用积的法则求导，计算 。 方法二：猜想 与 （ 对 的导数）及 （ 对 的导数）的关系。 计算 ，，则 。 比较两种方法的结果，你能得出什么结论？ 1. 根据上述探究，尝试写出复合函数 的求导法则（用文字语言和符号语言）。 1. 应用法则求函数 的导数。 · 提示：设 ，，则 ，，所以 。 【自主梳理】 1. 复合函数求导法则（链式法则）： (1) 文字语言：复合函数 的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。 (2) 符号语言：，即 。 1. 求导步骤： (1) 分解：将复合函数分解为外层函数 和内层函数 。 (2) 求导：分别求出 和 。 (3) 相乘：。 (4) 回代：将 用 代回。 1. 注意事项： (1) 分解时，内层函数、外层函数通常为基本初等函数。 (2) 求导时要分清对哪个变量求导。 (3) 最终结果应尽量化简。 学习任务三 复合函数求导的应用 【合作探究】 1. 求下列复合函数的导数： (1) (2) (3) 1. 已知某弹簧振子的位移 （单位：mm）与时间 （单位：s）满足关系式 。求 s 时的导数 ，并解释其实际意义（即瞬时速度）。 1. 求曲线 在点 处的切线方程。 【自主梳理】 复合函数求导的常见类型： 外函数 内函数 复合函数 导数 【自查自纠】（正误判断） 1. 函数 是复合函数，其导数为 。 （ ） 1. 复合函数求导时，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。 （ ） 1. 可以看作 与 的复合。 （ ） 1. 若 ，则 。 （ ） 1. 复合函数的导数等于外层函数的导数与内层函数的导数的乘积。 （ ） 【典例分析】 例1：求下列函数的导数： · (1) · (2) 解： 例2：已知曲线 ，求曲线在点 处的切线方程。 解： 【习题巩固】 1. 函数 的导数是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若 ，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. 函数 的导数为（ ） · A.  B.  C.  D. 27. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） · A.  B.  C.  D. 5.（选做）设 ，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $