江苏苏州市工业园区星海中学2026年中考数学模拟练习卷

2026年江苏苏州市工业园区星海中学九下数学模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（本题3分）下列说法正确的个数是（   ） ①的相反数是2026；②的绝对值是2026；③的倒数是2026． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（本题3分）中国脑机接口进入“8电极”时代，在医疗健康领域为患者带来了有效的治疗手段，研究表明人脑的神经元数量约为8600000个，数据8600000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）解分式方程时，去分母后变形为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图是某几何体的展开图，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．长方体 D．圆锥 5．（本题3分）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若两点在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知二次函数的图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（本题3分）若，则__________． 10．（本题3分）_____． 11．（本题3分）如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 12．（本题3分）如图，已知△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形，点A是对称中心，点B的对称点为点__． 13．（本题3分）用一个圆心角为，半径为3的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为_____． 14．（本题3分）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 15．（本题3分）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数（）的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点，，．若的面积为，则的值为____． 16．（本题3分）已知一次函数（为常数，且），当（为任意实数）时，函数最大值与最小值的差为，则该函数的表达式是_____． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（本题5分）计算：． 18．（本题5分）计算： (1)解方程：； (2)解不等式组． 19．（本题6分）先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 20．（本题6分）如图，是的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，，求的长． 21．（本题6分）从甲地到乙地有、、三条路线，从乙地到丙地有、两条路线，其中是最短路线． (1)任选一条从甲地到乙地的路线，选择的概率是_______． (2)请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的概率． 22．（本题8分）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（小时），B组（小时），C组（小时），D组（小时），E组（小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为______°； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？ 23．（本题8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点，点与点关于点对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出关于的不等式的解集． (3)点在轴的负半轴上，且与相似，请直接写出点的坐标． 24．（本题10分）如图，是的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线交射线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（本题8分）【综合与实践】 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图1，小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得． (1)【问题初探】 图1中，，分别为入射角、折射角，则________； (2)【深入探究】 小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请直接写出下降高度为________； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，求增加的水面高度； (3)【问题拓展】 小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点．请求出与之间的函数关系． 26．（本题10分）如图，在菱形中，E、F分别为边上的点，连接相交于点G． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若．试探究此时和满足什么数量关系？并证明你的结论． (3)如图3，若，F是中点，点P是边上一点，相交于点H，且，则_________． 27．（本题10分）学过相似三角形后，老师留了一道思考题：如图①，已知直线l与线段平行，试只用无刻度的直尺作出线段的中点． 【问题解决】 经过思考后，同学们给出如下作图思路：如图②，在直线l的上方任取一个点E，连接，分别与l交于点M、N，连接，交于点D，再连接并延长交于点C，则点C即为线段的中点． 【推理验证】 (1)由，可以推出，，，． 所以，有， 所以，，即点C即为线段的中点； (2)在（1）的基础上，还可以进一步推出点F为中点，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图③，是边上的中线，点G是上任意一点，请只用无刻度的直尺过点G作出直线． (4)如图④，在平行四边形中，点O为对角线的交点，，P在上，交边于点F，交边于点E．若，平分，且，则_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年江苏苏州市工业园区星海中学九下数学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D B C C A 1．A 【分析】只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：①的相反数是2026，说法正确； ②的绝对值是，说法正确； ③的倒数是2026，说法正确， 故说法正确的有3个． 2．B 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，n为整数，只需确定a和n的值即可． 【详解】解：8600000用科学记数法表示为． 3．C 【分析】本题考查了分式方程的求解，找出最简公分母是解题的关键．根据方程的最简公分母为，分式方程两边同时乘以即可得到答案． 【详解】解：将方程变形为， 方程两边同时乘以，得， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见几何体的展开图是解题的关键．由圆锥展开图的特点进行求解即可． 【详解】解：∵该几何体的展开图是一个圆和一个扇形， ∴该几何体是圆锥， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等代入计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 6．C 【分析】本题考查从实际问题中抽出一元一次方程．根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，通过将点A和点B的x坐标代入函数解析式，分别求出和的值，然后比较大小，即可作答． 【详解】解：∵两点在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵图像开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为， ∴， ， ， ∴①错误； 当时，由图像知， 把代入解析式得：， ， ∴②错误； ∵，， ， ∴③正确； 由①②知且， ∴，即， ∴，④正确； ∵时，（最大值）， 时，， ∵的实数， ， ， ∴⑤错误． 故正确的是③④，共2个， 故选：A． 9． 【分析】先根据二次根式的定义求出的取值范围，从而确定与的值，再计算的值即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得， 解得， ∴， ∴， ∴． 10． 【详解】解：. 11． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴，，， ∴， ∵，相交于点O且为， ∴的周长为：， 故答案为：． 12．D 【详解】试题分析：中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形． 由图可知点B的对称点为点D. 考点：中心对称图形 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形的定义，即可完成． 13．1 【分析】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解、扇形的半径和圆锥的母线等长. 先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解即可. 【详解】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为R，则， ∴． 故答案为： 14． 【分析】先根据正方形面积求出边长，再利用勾股定理求出相关线段的长度，最后确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴则点C的坐标为． 15． 【分析】连接，根据矩形的性质可知点为的中点，利用三角形中线的性质可得，再根据及等高三角形面积比等于底边比求出，最后利用反比例函数的几何意义求解 ． 【详解】解：连接 ， ∵ 点是矩形的对称中心 ， ∴点是的中点 ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵点在上，且 ， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，且 ， ∴， ∴ ， ∴ ． 故答案为． 16． 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，由于，y随x增大而减小，当（为任意实数）时，差值为，令其等于即可解出． 【详解】解：， 随着的增大而减小， 在（为任意实数）时， 当时，有最大值， 当时，有最小值， ， 解得：， 函数表达式为． 故答案为：． 17． 【详解】解： ． 18．(1)， (2) 【分析】（1）采用配方法求解：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方求解； （2）对于一元一次不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，即， ∴， ∴，； （2） 解①，得， 解②，得， 则不等式组的解集为． 19．， 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴， 则原式． 20．(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可证，，证明，根据全等三角形的性质可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形； （2）过点作，根据菱形的性质和勾股定理分别求出、的长度，再根据线段之间的关系求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下： 是的垂直平分线， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如下图所示，过点作， 则有， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）先画出树状图，得到从甲地到丙地的所有等可能结果，以及选择的结果数，最后利用概率公式直接计算即可． 【详解】（1）解：∵从甲地到乙地有、、三条路线， ∴任选一条从甲地到乙地的路线，一共有3种等可能的情况，其中选择的情况有1种， ∴选择的概率是． （2）解：画树状图如下： 一共有6种等可能的情况，其中选择的情况有1种， ∴选择的概率是． 22．(1)， (2)见解析 (3)人 【分析】（1）由E组的人数除以占比求解调查的学生数，再由乘以B组的占比求解圆心角度数； （2）用总人数减去A、B、D、E组的人数求出C组的人数，即可补全条形统计图； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴本次共调查了名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为； （2）解：C组人数：（人）， 补全条形统计图为： （3）解：（人）， 答：该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有人． 23．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的的取值范围； （3）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D的坐标，设点，利用坐标分别求出，，，，再由与相似，，则分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点， ∴由图象可得关于的不等式的解集为或． （3）解：令，得， ∴， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴，， 设点， ∴， ∵与相似，， 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 24．(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接， 根据是的切线，得出，根据是劣弧的中点，得出，证明， 结合，即可证； （2）连接，交于点， 证明四边形是矩形，得出，证明， 求出，在中，勾股定理求出 ，则，根据垂径定理，得出，最后在中，根据勾股定理求解即可 ； 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， 是劣弧的中点， ， ∴， 又， ， ， ， ∵， ∴； （2）解：连接，交于点， 是的直径， ，即， 又，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ， 即， ∴， 在中： ， ∴， ∵，， ∴， ∴根据垂径定理，是中点， ， 在中： ． 25．(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）先求出，再根据正切的定义求解即可； （2）①过点T作，垂足为，推导出，，得到，，设为，则，得到，得到，即可解答； ②过点H作，垂足为，则，，设，则，，推导出，，再根据，列出方程求解即可； （3）设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点，推导出，，得到， 解得，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：①过点T作，垂足为，如图 则，，， 由题意，得，． ∴， ∴， 设为，则， ∴， 解得， ∴； ②过点H作，垂足为，如图 则：，， 设，则，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∵， ∴，解得， 答：为； （3）解：如图，设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点， 由题意得：，，，， 则：， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 26．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形和可得菱形是正方形，根据正方形的性质可得，，再加上，得到，即，即可证明，即可证得； （2）添加辅助线，根据菱形的面积证得，推出，得到，由，推出，由此可得和的数量关系． （3）添加辅助线并建立直角坐标系，通过辅助线可得为等腰直角三角形，且四边形为矩形，证明与全等，可得，，再设出边长，利用边的关系求解点F与点K的坐标，再求解直线方程，由此可求解的长度，进而可求解的长度． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ∴菱形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：， 证明：过点D作于R，过点C作于S，如图， ∵，且， ∴， ∵． 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：过点F作交于点Q， 过点C作交于点K，过点K作的平行线分别交于点M，点N， 以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示， ∵，且， ∴， ∵，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵，F是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， 即，， ∴点，点， 设经过点F与点K的直线方程为， ∴，解得， ∴经过点F与点K的直线方程为， 令，则有，解得， ∴点，即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 27．(1)，； (2)见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】（1）根据相似三角形的性质，找准对应边作答即可； （2）证明，得到，即可得证； （3）根据题干给出的中点的作法，连接并延长，分别交于点，作直线交于点，连接交于点，作直线，则直线即为所求； （4）延长交于点，连接，作，易得垂直平分，推出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，． ∴， 所以，，即点C即为线段的中点； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点； （3）解：如图，直线即为所求； （4）解：延长交于点，连接，作， ∵平行四边形， ∴， ∵，即， 同（2）法可知：为的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $