2026年陕西中考数学模拟卷

**基本信息** 立足陕西中考命题趋势，融合AI大模型、手推婴儿车等真实情境，梯度设计考查数学抽象、几何直观与模型意识，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|有理数运算、轴对称、平行四边形性质等|第2题以AI大模型标识考轴对称，体现科技前沿| |填空题|6/18|因式分解、圆的性质、反比例函数k值等|第13题菱形中动态最短路径，考查空间观念| |解答题|12/78|统计分析、三角函数应用、抛物线建模等|第25题三孔桥抛物线模型解决水位问题，第26题递进式探究考创新意识|

2026陕西中考数学模拟卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.比－1大2的数为（          ） A．－3 B．0 C．1 D．2 2.国产人工智能大模型  横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 3.下列各运算中，正确的是（      ） A. B. C. D. 4.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BE  AB，  ，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（      ） A. B. C. D. 5.如图，  ，  分别是  的高线、中线，若  ，  ，则  的长为（      ） A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，若直线  与直线  关于  轴对称，则一次函数  的图象不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.如图，正方形  的边长为  ，点  为边  的中点，连接  ，过点  作  ，垂足为  ，  为  上一点，且  ，则  的长为（      ） A. B. C．3 D. 8.已知抛物线y=ax2+2x+3（a为常数，a≠0）的对称轴为直线x=2，平移该抛物线，使其顶点始终在直线y=x+3上，则平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标有（           ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值﹣3 D．最小值 二、填空题(共6小题，每小题3分，计18分) 9. 因式分解为________． 10.如图，  为  的直径，点  ，  在圆上，且  ．若  ，则  的度数为______． 11.如图，四边形  内接于  ，点  为  的中点，连接  ，  过圆心  ，过点  作  的切线  交  的延长线于点  ．若  ，  ，则半径的长为______． 12.如图，在平面直角坐标系中，矩形  的边  在x轴上，反比例函数  在第一象限内的图象经过点 C，坐标原点 O 在   边上，点 E 在  边上，且  ，  交 y 轴于点 F，若  的面积为 10，则 k 的值为_______. 13.如图，菱形  的边长为  ，  ，点  在  边上，  ，点  、  在对角线  上，  ，连接  、  ，则  的最小值是______． 14.如图，在菱形  中，点  为  边上一点，将  沿着  翻折得到  ，点  为  中点，连接  ，过点  作  于点  ．若  ，  ，则  的最小值为______． 三、解答题(共12小题，计78分．解答应写出过程) 15.（本题满分5分）计算：  . 16.（本题满分5分）先化简，再求值：  ，其中m＝﹣2． 17.（本题满分5分）解不等式组：  ． 18.（本题满分5分）如图，已知锐角  (  )，请用尺规作图法，在  内部求作一点  ，使  且点  到  ,  的距离相等．(保留作图痕迹，不写画法) 19.（本题满分5分）如图，在菱形ABCD中，点P是AD边的中点，延长CD至Q，使得DQ  AD，连接BP，AQ，求证：∠Q＝∠APB． 20.（本题满分5分）在STAM课程中，为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中(如图)．甲口袋中装有A,B两张卡片,乙口袋中装有C,D,E三张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化(A,C)；生成其他物质的变化叫做化学变化(B,D,E)．课堂上，同学们通过随机抽卡片来分享对应的科学知识． (1)小远从乙口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是化学变化的概率是  ______; (2)游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小远分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小智分享．这个规则对小远和小智公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 21.（本题满分6分）如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，  为半径均为  的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆  与地面所成的角为  ，主支架杆  与  所成的角度为  ，推手支架  的支点  恰好为  的中点，已知  ．若推手支架  的长为  ，  ，求此手推婴儿车的握把  距地面的高度．（结果精确到  ） （参考数据：  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ．） 22.（本题满分7分）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至  时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度  与加热时间  之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间  与  之间的函数表达式； （2）若食物在  及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 23.（本题满分7分）【项目背景】 科学是探索未知的钥匙，创新是时代发展的动力、成长的阶梯，科技创新能力关系到国家综合实力提升、社会进步与人才培养长远发展．某校组织开展主题为“智能生活”的发明创造竞赛活动，学生们积极参与，上交了大量作品．学校从科学性,创新性,实用性三个方面对参赛作品进行评比，并给出每件作品的最终评分(百分制，最低分为60分)．为全面了解学生的创新实践情况，学校对作品征集与评比结果展开统计分析． 【数据收集与整理】 学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用  (单位：分)表示，并将其分成如下四组：  ，统计出如下信息： 信息1：将抽取的参赛学生成绩绘制成如下两幅统计图：  信息2：B组的数据(单位：分)如下： 89，89，89，88，88，88，87，87，86，85，84，84，83，83，83，82，82，81． 【数据处理和应用】 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取成绩的学生人数为  ______人；所抽取的学生成绩的中位数为  ______分； (2)补全条形统计图； (3)若全校参赛学生有350人，请估计学生的成绩不低于80分的人数． 24.（本题满分8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，点D是圆上一点，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，且∠ABC＝2∠DBE． （1）求证：∠BED＝∠BAC； （2）若5DE＝3OE，AE＝2，求AC的长． 25.（本题满分8分）学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图①是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图②所示，研究小组以线段OA所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度AB＝20m，顶点距离水面的高度CO＝5m，小孔顶点距离水面的高度DE＝3.2m．请你帮助解决以下问题： （1）求中间大孔抛物线的函数表达式； （2）若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度MN小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 26.（本题满分12分）【问题提出】 （1）如图①，△ABC中，AC＝10，∠BAC＝60°，P为平面内一点且满足S△ABC＝S△ABP，则AP的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图②，等边△ABC中，M，N分别在AB，BC上，AM＝BN＝4，AN与CM交于点P，并且CP＝PM，求等边△ABC外接圆的半径． 【问题解决】 （3）古城环山路转盘新建一处“秦美公园”，图③所示的直角三角形OAB为公园的一部分，点O位置为一风雨亭，∠B＝90°，AB＝90米，OB＝120米．点C为小路AB上一点，其中BC＝20  米，∠BCE＝60°．D为线段CE上一点，CD段设计修建为盆景花卉墙，长度为  米，DE段为一组“丝路群雕”，长度为12  米．现准备修一条观光小道PQ，点P，Q分别在OB，OA上，且满足BP  OQ，取PQ中点M作为观景打卡点，要保证拍照“丝路群雕”获得最优视野（即∠EMD最大），请你帮忙计算tan∠EMD的最大值及此时四边形ABPQ的面积．（风雨亭、打卡点大小，盆景花卉墙、小道、丝路群雕等宽度忽略不计） 2026陕西中考数学模拟卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026陕西中考数学模拟卷 答案 一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.A 二、填空题 9. 10. 11.5 12.30 13. 14. 三、解答题 15.解：． 16.解：． 17.解：  原不等式组的解集为  ． 18.解：如图所示，点D即为所求． 19.证明略。 20.解：(1)  ; (2)不公平 21.解：点A距地面高度 ． 22.解：（1）函数表达式为  ． （2）函数表达式为  ．该模式下烤制的食物能健康食用． 23.解：(1)50;81.5; (2)补全条形统计图如图; (3)  人 24.（1）证明略。 （2）AC＝9.6． 25.解：（1）中间大孔抛物线的函数表达式为  ． （2）当小孔刚好被淹没时，桥面可通行． 26.解：（1）5  ． （2）△ABC的外接圆半径OB ． （3）四边形ABPQ的面积S＝5496﹣672  （平方米）． 数学答案 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 难度 知识点 1 选择题 3 易 有理数的运算 2 选择题 3 易 轴对称图形的识别 3 选择题 3 易 整式的运算 4 选择题 3 中 平行四边形性质、三角形面积比 5 选择题 3 易 三角形中线、高线与面积 6 选择题 3 中 一次函数、关于x轴对称 7 选择题 3 中 正方形性质、勾股定理 8 选择题 3 难 二次函数对称轴、平移、最值 9 填空题 3 易 因式分解 10 填空题 3 易 圆的基本性质、圆周角定理 11 填空题 3 中 圆的切线、勾股定理 12 填空题 3 中 反比例函数、矩形、面积 13 填空题 3 难 菱形、轴对称、最短路径 14 填空题 3 难 菱形、折叠、最值问题 15 解答题 5 易 实数的混合运算 16 解答题 5 易 分式化简求值 17 解答题 5 易 解一元一次不等式组 18 解答题 5 易 尺规作图、垂直平分线、角平分线 19 解答题 5 易 菱形性质、三角形全等证明 20 解答题 5 易 概率计算、游戏公平性 21 解答题 6 中 解直角三角形的实际应用 22 解答题 7 中 一次函数的实际应用 23 解答题 7 中 统计图表、中位数、样本估计总体 24 解答题 8 中 圆的切线、相似三角形、三角函数 25 解答题 8 中 二次函数实际应用、抛物线 26 解答题 12 难 几何综合、最值、圆、三角函数 $ 2026陕西中考数学模拟卷 答案解析 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.比－1大2的数为（          ） A．－3 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】根据题意得－1＋2＝1. 2.国产人工智能大模型  横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 3.下列各运算中，正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得，  ，故A不正确，不符合题意；  ，故B正确，符合题意；   ，故C不正确，不符合题意；  ，故D不正确，不符合题意． 4.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BE  AB，  ，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（      ） A. B. C. D. 4.C 【解析】过E点作EF∥BC交AC于M点，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴EM∥AD， ∵EM∥BC， ∴△AEM∽△ABC， ∴  ， ∵BE  AB， ∴AE  AB， ∴  ， ∴EM  BC  AD， ∵EM∥AF， ∴△PEM∽△PFA， ∴  ， ∴  ， ∴S△APF  S△AEP  S． 故选：C． 5.如图，  ，  分别是  的高线、中线，若  ，  ，则  的长为（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵  ，  分别是  的高线、中线， ∴  ，  ， ∴  ， ∴  ， 又∵  ，  ， ∴  ． 6.在平面直角坐标系中，若直线  与直线  关于  轴对称，则一次函数  的图象不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】∵直线  与直线  关于  轴对称，根据轴对称性质，点  关于  轴对称的点为  ，故将  替换为  即可得到原直线关于x轴对称的直线方程， ∴  关于  轴对称的直线为  ，整理得  ，该直线与  是同一直线，对应系数相等， ∴  ，解得  ，  ， ∴所求一次函数为  ， ∵  ，  ， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 7.如图，正方形  的边长为  ，点  为边  的中点，连接  ，过点  作  ，垂足为  ，  为  上一点，且  ，则  的长为（      ） A. B. C．3 D. 【答案】B 【解析】∵四边形  是正方形， ∴  ，  ， ∴  ， ∵  ， ∴  ，  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∵点  为边  的中点，  ， ∴  ， ∴  ， 即  ， ∵  ， ∴  ， ∴  ， ∵  ，得  (负值已舍去)， ∴  ． 8.已知抛物线y=ax2+2x+3（a为常数，a≠0）的对称轴为直线x=2，平移该抛物线，使其顶点始终在直线y=x+3上，则平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标有（           ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值﹣3 D．最小值 8.A 【解析】∵抛物线y=ax2+2x+3的对称轴为直线x=2， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∵平移该抛物线，其顶点始终在直线y=x+3上，设平移后抛物线的顶点坐标为（b，b+3）， ∴平移后抛物线的解析式为 ，当x=0时，可得 ， 整理得 ， ∵ ， ∴y有最大值，即当b=1时，y取最大值，最大值为 ． ∴则平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标有最大值为 ． 二、填空题(共6小题，每小题3分，计18分) 9. 因式分解为________． 【答案】 【解析】 ． 10.如图，  为  的直径，点  ，  在圆上，且  ．若  ，则  的度数为______． 10. 【解析】∵  为  的直径， ∴半圆  的度数为  ， ∵  ， ∴  的度数为  ， ∵  ， ∴  的度数为  ， ∴  的度数为  ， ∴  ． 11.如图，四边形  内接于  ，点  为  的中点，连接  ，  过圆心  ，过点  作  的切线  交  的延长线于点  ．若  ，  ，则半径的长为______． 【答案】5 【解析】连接  并延长交  于点  ， ∵点D为  的中点， ∴  ，  ， ∵  是  的切线， ∴  ， ∵  过圆心O， ∴  ， ∴四边形  是矩形，∴   ，  ， 设  的半径为  ，则  ，  ， 在  中，由勾股定理得  ， 即  ， 解得  ，∴半径的长为5． 12.如图，在平面直角坐标系中，矩形  的边  在x轴上，反比例函数  在第一象限内的图象经过点 C，坐标原点 O 在   边上，点 E 在  边上，且  ，  交 y 轴于点 F，若  的面积为 10，则 k 的值为_______. 【答案】30 【解析】∵  的面积为 10， ∴  ， ∴  ， ∵  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∵  ， ∴  ， ∴  ， ∵反比例函数  图象经过点C，∴  ． 13.如图，菱形  的边长为  ，  ，点  在  边上，  ，点  、  在对角线  上，  ，连接  、  ，则  的最小值是______． 13. 【解析】如图，在  上截取线段  ，以  、  为边构造平行四边形  ，边  交  于点  ，连接  ，交  于点  ，交  于点  ，连接  ， ∵四边形  是菱形，∴  ，  ，  ，  ，  ，∴  是等边三角形， ∴  ，  ，  ， 由勾股定理可得  ， ∴  ，在  和  中，  ， ∴  ， ∴  ，∵四边形  是平行四边形， ∴  ，  ，  ， ∴  ， ∴当  、  、  三点共线时，  取得最小值  ， ∵  ， ∴  ， ∵  ，  ， ∴  ，  ，  ， ∴  是等边三角形， ∴  ， ∵  ， ∴  ， ∴  ，由勾股定理可得  ， ∴  ， 在Rt  中，  ， ∴  的最小值为  ． 14.如图，在菱形  中，点  为  边上一点，将  沿着  翻折得到  ，点  为  中点，连接  ，过点  作  于点  ．若  ，  ，则  的最小值为______． 14. 【解析】如图，过点  作  于点  ，作线段  的中点  ，连接  ，过点  作  于点  ， ∵四边形  是菱形，  ，∴  ，  ， ∴  ，根据翻折的性质可得，  ，  ， 又∵  ， 在  中，  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴当点  共线时，  的值最小，即为线段  的长度， ∵  ，设  ，则  ， 由勾股定理得  ， 解得  ， ∴  ，即  的最小值为  ． 三、解答题(共12小题，计78分．解答应写出过程) 注：解析上解答题不注明分值。 15.计算：  . 【解析】解：  ． 16.先化简，再求值：  ，其中m＝﹣2． 【解析】解：原式    ， 当m＝﹣2时． 原式  ． 17.解不等式组：  ． 【解析】解：  , 解不等式①，得  ， 解不等式②，得  ， ∴原不等式组的解集为  ． 18.如图，已知锐角  (  )，请用尺规作图法，在  内部求作一点  ，使  且点  到  ,  的距离相等．(保留作图痕迹，不写画法) 【解析】解：如答案图，点D即为所求． 答案图 19.如图，在菱形ABCD中，点P是AD边的中点，延长CD至Q，使得DQ  AD，连接BP，AQ，求证：∠Q＝∠APB． 【解析】证明：∵菱形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝AD， ∴∠BAP+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADQ＝180°， ∴∠BAP＝∠ADQ， ∵点P是AD边的中点， ∴AP＝PD  AD， ∵DQ  AD， ∴DQ＝AP， 在△ADQ和△BAP中， ， ∴△ADQ≌△BAP（SAS）， ∴∠Q＝∠APB． 20.在STAM课程中，为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中(如图)．甲口袋中装有A,B两张卡片,乙口袋中装有C,D,E三张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化(A,C)；生成其他物质的变化叫做化学变化(B,D,E)．课堂上，同学们通过随机抽卡片来分享对应的科学知识． (1)小远从乙口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是化学变化的概率是  ______; (2)游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小远分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小智分享．这个规则对小远和小智公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【解析】解：(1)  ; 【解法提示】  乙口袋有三张卡片，其中属于化学变化的有D,E共两种，∴抽到的是化学变化的概率是  . (2)不公平.理由如下： 根据题意，列表如下：           甲 乙 A B C (A,C) (B,C) D (A,D) (B,D) E (A,E) (B,E) 由表可知，所有等可能出现的结果共有6种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有(A,C)1种，两次抽出的卡片均为化学变化的情况有(B,D),(B,E)2种， ∴小远分享对应的科学知识的概率  ，小智分享对应的科学知识的概率  ． ∵  ， ∴这个规则对小远和小智不公平． 21.如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，  为半径均为  的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆  与地面所成的角为  ，主支架杆  与  所成的角度为  ，推手支架  的支点  恰好为  的中点，已知  ．若推手支架  的长为  ，  ，求此手推婴儿车的握把  距地面的高度．（结果精确到  ） （参考数据：  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ．） 21.解：如图，过  作水平线，过  作该水平线的垂线，垂足为E 根据题意得：  ，  ，  ， ∴  ∵  ，  ∵  是  的中点， ∴  ， ∵  ，  ∴  在  中：  ， ∴点A距地面高度  ． 22.某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至  时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度  与加热时间  之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间  与  之间的函数表达式； （2）若食物在  及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 22.解：（1）设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系为  ， 由题意，得  ， 解得  ， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式为  ． （2）设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为  ， 由题意，得  解得  ， 所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式为  ． 当  时， 令  ，则  ， 解得  ， 当  时， 令  ，则  ， 解得  ， ∵  ， ∴该模式下烤制的食物能健康食用． 23.【项目背景】 科学是探索未知的钥匙，创新是时代发展的动力、成长的阶梯，科技创新能力关系到国家综合实力提升、社会进步与人才培养长远发展．某校组织开展主题为“智能生活”的发明创造竞赛活动，学生们积极参与，上交了大量作品．学校从科学性,创新性,实用性三个方面对参赛作品进行评比，并给出每件作品的最终评分(百分制，最低分为60分)．为全面了解学生的创新实践情况，学校对作品征集与评比结果展开统计分析． 【数据收集与整理】 学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用  (单位：分)表示，并将其分成如下四组：  ，统计出如下信息： 信息1：将抽取的参赛学生成绩绘制成如下两幅统计图：  信息2：B组的数据(单位：分)如下： 89，89，89，88，88，88，87，87，86，85，84，84，83，83，83，82，82，81． 【数据处理和应用】 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取成绩的学生人数为  ______人；所抽取的学生成绩的中位数为  ______分； (2)补全条形统计图； (3)若全校参赛学生有350人，请估计学生的成绩不低于80分的人数． 【解析】解：(1)50;81.5; 【解法提示】抽取成绩的学生人数为  ，中位数为第  和  人的成绩的平均数，由于A组有8人，则由B组数据可得第  和  人的成绩为82，81，所以中位数为  . (2)补全条形统计图如图; (3)  （人）, 答：学生的成绩不低于80分的有  人． 24.如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，点D是圆上一点，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，且∠ABC＝2∠DBE． （1）求证：∠BED＝∠BAC； （2）若5DE＝3OE，AE＝2，求AC的长． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵DE切圆于D， ∴半径OD⊥DE， ∴∠ODE＝90°， ∵∠AOD＝2∠DBE， ∵∠ABC＝2∠DBE， ∴∠AOD＝∠ABC， ∵AB是圆的直径， ∴∠C＝90°， ∴∠ODE＝∠C， ∴∠BED＝∠BAC； （2）∵5DE＝3OE， ∴DE：OE＝3：5， 令DE＝3x，OE＝5x， ∴OD  4x， ∴OA＝OD＝4x， ∴AE＝OE﹣OA＝x＝2， ∴OE＝5x＝10，DE＝3x＝6，AB＝2OA＝8x＝16， ∵∠C＝∠ODE，∠ABC＝∠AOD， ∴△BCA∽△ODE， ∴AC：DE＝AB：OE， ∴AC：6＝16：10， ∴AC＝9.6． 答案图 25.学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图①是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图②所示，研究小组以线段OA所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度AB＝20m，顶点距离水面的高度CO＝5m，小孔顶点距离水面的高度DE＝3.2m．请你帮助解决以下问题： （1）求中间大孔抛物线的函数表达式； （2）若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度MN小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 25.解：（1）已知抛物线的顶点为C（0，5）， 所以可设中间大孔抛物线的函数表达式为y＝ax2+5（a≠0）， 因为正常水位时，中间大孔水面宽度AB＝20m，AB在x轴上，且O为坐标原点， 所以A点坐标为 （﹣10，0），B点坐标为 （10，0）（因为AB关于y轴对称，AB的中点在y轴上，所以A.B到y轴的距离都是10）， 把B（10，0）代入y＝ax2+5中，可得 0＝a×102+5， ，， 所以中间大孔抛物线的函数表达式为  ． （2）当小孔刚好被淹没时，水位高度为DE＝3.2m，即此时y＝3.2． 把y＝3.2代入中间大孔抛物线的函数表达式 中，可得 ，解得x＝±6， 所以此时大孔水面宽度MN的长度为6﹣（﹣6）|＝|12|＝12m． 因为12m＞10m，根据“大孔水面宽度MN小于等于10米时桥面警戒，禁止通行”， 所以当小孔刚好被淹没时，桥面可通行． 26.【问题提出】 （1）如图①，△ABC中，AC＝10，∠BAC＝60°，P为平面内一点且满足S△ABC＝S△ABP，则AP的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图②，等边△ABC中，M，N分别在AB，BC上，AM＝BN＝4，AN与CM交于点P，并且CP＝PM，求等边△ABC外接圆的半径． 【问题解决】 （3）古城环山路转盘新建一处“秦美公园”，图③所示的直角三角形OAB为公园的一部分，点O位置为一风雨亭，∠B＝90°，AB＝90米，OB＝120米．点C为小路AB上一点，其中BC＝20  米，∠BCE＝60°．D为线段CE上一点，CD段设计修建为盆景花卉墙，长度为  米，DE段为一组“丝路群雕”，长度为12  米．现准备修一条观光小道PQ，点P，Q分别在OB，OA上，且满足BP  OQ，取PQ中点M作为观景打卡点，要保证拍照“丝路群雕”获得最优视野（即∠EMD最大），请你帮忙计算tan∠EMD的最大值及此时四边形ABPQ的面积．（风雨亭、打卡点大小，盆景花卉墙、小道、丝路群雕等宽度忽略不计） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式， 意味着： 其中 是点 到 的距离， 是点 到 的距离。因此点 的轨迹是与 平行且到 的距离等于点 到 距离的两条直线。 要使 最小，需过点 作轨迹直线的垂线段。在 中，点 到 的距离为： 由于点 的轨迹与 的距离恒为 ，因此 的最小值就是这个距离（当 垂直于轨迹直线时取到） （2）首先，由等边三角形性质，，，结合 ，可证 （SAS），因此 ，进而得 。 设 ，则 。利用等边三角形边长设为 ，在 中，用余弦定理表示 ： 即 。 由 （利用 公共角及 ），或利用正弦定理在 中，结合 ，可得边长关系，进而求出 ，再根据等边三角形外接圆半径公式 计算半径。 （3）步骤 1：建立坐标系：以 为原点， 为 轴， 为 轴，写出各点坐标： ，，，； 由 ，可得直线 的斜率，写出 、 的坐标。 步骤 2：参数化点 ：设 ，则 ，可得 ，再由 的参数方程写出 的坐标，进而得到中点 的坐标（含参数 ）。 步骤 3：分析 的最大值： 是点 对线段 的张角，其最大值出现在过 的圆与点 的轨迹相切时（最大张角定理）；先求点 的轨迹（直线），再求过 的圆与该轨迹直线相切时的切点 ，计算此时的 ； 步骤 4：计算四边形面积：当 最大时，代入 的值，求 的坐标，用梯形 / 割补法计算四边形 的面积。 【详解】 解：（1）如答案图①，连接CP，过点A作AH⊥CP，过点C作CQ⊥AB，H、Q为垂足． ∵S△ABC＝S△ABP， ∴根据三角形面积公式可得点P和点C到AB的距离相等．即AH＝CQ＝AC•sin60°＝5  ． ∴CP∥AB，点P的轨迹为直线CP． ∵AH⊥CP，CQ⊥AB， ∴AH∥CQ， ∴四边形AQCH为矩形． 根据垂线段最短可知，AP≥AH， ∴AP的最小值为5  ． 答案图① （2）如答案图②，过点C作AB的平行线交AN的延长线于点F，O为三角形ABC的外心． ∴FC∥AB，． ∴  ，  ． 设等边△ABC的边长为a， ∵BN＝AM＝4，CN＝BC﹣BN＝a﹣4， ∴  ． 解得a＝2+2  ， 根据等边三角形的性质，△ABC的外接圆半径OB  cos30°  ． 答案图② （3）如图，过点Q作OB的垂线，T为垂足．延长CE交OB于点K，连接MK并延长交OA于R． ∵OA  150（米）， ∴cos∠O  ． ∴OT＝OQ•cos∠O  OQ＝BP． ∵BK＝BC•tan∠BCE＝60（米），CK＝2BC＝40  （米）， ∴点K为OB中点． ∴点K为TP中点． 在Rt△PTQ中，TM为斜边中线，则TM＝PM． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，MK⊥OB，即点M在OB的垂直平分线上． 如答案图③  ，⊙G经过D.E以及线段KR上一点，根据圆周角的性质，当⊙G与KR相切时，∠EMD最大． 此时，由于GM⊥KR，GH⊥CK，而且GM＝GE＝GD＝R， ∵∠KME+∠GME＝90°，∠KDM  90°﹣∠GME． ∴∠KME＝∠KDM． ∵∠MKE＝∠DKM． ∴△MKE∽△DKM． ∴  ， ∴MK2＝KD•KE． ∵KE＝CK﹣CD﹣DE＝40  （28  24）﹣12  24（米）， KD＝CK﹣CD＝12  24（米），KH＝KE  24+6  ． ∴MK2＝（12  24）×24＝122×（2  4），则MK＝12（  ）． 如答案图④   ：延长GH交KB于N，则∠GNK＝90°﹣∠BKC＝60°． 通过沿着MG平移MK至点G，可得MK＝GN•sin60°，则GN＝24+8  ． ∴GH＝GN﹣NH＝GN﹣KH•tan30°＝24+8  （24+6  ）•  18（米）． ∵∠EMD  ∠EGH， ∴tan∠EMD＝tan∠EGH  ． 故tan∠EMD的最大值为  ． 如答案图⑤，延长GM交OA于点S，过点P作OB的垂线，垂足为J． 根据切线长定理，MK＝12（  1）（米）；根据中位线定理，RK  45（米），PJ＝2MK＝24（  1）（米） ∵SG⊥RK，OK⊥RK， ∴SM∥OK， ∴  ， ∴SM  44﹣16  （米）， ∴OQ＝2SM＝88﹣32  （米）， ∴四边形ABPQ的面积S＝S△OAB﹣S△OPQ  OB•AB  OQ•PJ＝5496﹣672  （平方米）． 答案图③  答案图④         答案图⑤ 【总结】综上，（1）题通过面积相等确定点P轨迹，利用垂线段最短求AP最小值；（2）题借助全等、相似及余弦定理求等边三角形边长，再算外接圆半径；（3）题建立坐标系参数化各点，结合最大张角定理求解最值及面积。                                                          2026陕西中考数学模拟卷答案解析 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $