专题8.6 空间直线、平面的垂直（6类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.6 空间直线、平面的垂直 【知识梳理】 1 【考点1：判断或证明线面垂直】 3 【考点2：线面垂直证明线线平行】 9 【考点3：线面垂直证明线线垂直】 12 【考点4：线面垂直证明面面平行】 16 【考点5：判断或证明面面垂直】 19 【考点6：面面垂直证线面垂直】 23 【知识梳理】 1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 3．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 4．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 5．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 6．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α ⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【考点1：判断或证明线面垂直】 1．（多选）（2026·河北·模拟预测）（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理及直四棱柱的性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：平面与平面为同一平面，故平面，故A错误； 选项B：易知，与不垂直，故与不垂直，故与平面不垂直，故B错误. 选项C：如图，连接，平面与平面为同一平面，因为与平面相交，所以与平面相交，故C错误. 选项D：因为直四棱柱的底面为长方形，所以，，，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 如图，连接，，易知，，故， 因为四边形为正方形，所以，则， 又平面，所以平面，故D正确. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知正方体，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. 【详解】在正方体中，连接， 因为平面，平面，所以， 由正方形得， 而，平面，因此平面， 而平面，则， 同理，又，平面， 所以平面． 3．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图， 连接，因为，为的中点，是等边三角形， 则， 则在中，因为，， 所以由余弦定理得： . 在中，因为，而， 所以，则， 在中，因为，而， 所以，则， 又，平面，平面， 故平面． 4．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 5．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由是底面正六边形的中心，是的中点，通过构造中位线，找到平面内与平行的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面的两条相交线。 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 【考点2：线面垂直证明线线平行】 1．（2026高一下·全国·专题练习）已知，若直线，直线，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是______. 【答案】平行 【分析】根据线面垂直的判定定理可得到平面，平面，由此可得答案. 【详解】依题意知，平面， 故平面， 又，平面， 故平面，∴. 故答案为：平行 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【答案】证明见解析 【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证． 【详解】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【详解】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 5．（25-26高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 【考点3：线面垂直证明线线垂直】 1．（25-26高二上·上海·期末）在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【答案】A 【分析】先通过投影证明垂直于平面POC，再有平面POC与平面POM共面，从而得到EF垂直于平面POM内的MP，最后结合两直线不共面，得出MP与EF异面且垂直的结论. 【详解】设在底面的投影为， 易得平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，且为底面中心，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 易得平面与都在平面内，所以平面， 因为平面，所以，因为直线与直线不共面， 所以直线与直线异面且垂直. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】用线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形， ， 又因为平面，则面，面， . 5．（2026高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点与点重合时，，理由见解析 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. 【考点4：线面垂直证明面面平行】 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·开学考试）若m，n，l为空间三条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A：由m，n的位置关系是相交，平行或者异面即可判断； 对于B:举反例：m是平面外的直线，当时，满足，不满足.即可判断； 对于C：由可能相交，可能平行即可判断； 对于D：利用线面垂直的性质可以证明. 【详解】对于A：时，m，n的位置关系是相交，平行或者异面.故A错； 对于B:若，m是平面外的直线，当时，满足，不满足.故B错； 对于C：若，则可能相交，可能平行.故C错； 对于D：由，则，又，由线面垂直的性质可得：.故D正确. 故选：D 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（    ） A．如果，，，那么 B．如果，，，那么 C．如果，，.那么 D．如果，，，，那么 【答案】A 【分析】由线面垂直的性质可得A正确；由面面平行的性质可得C错误；由空间中线线，线面位置关系可判定B，D错误. 【详解】已知，为两条不同直线，，为两个不同平面. 若，，则，又，所以.故选项A正确； 若，，则或，又，所以.故选项B错误； 若，，，则直线和平行或异面.故选项C错误； 若，，，，则平面和平行或相交.故选项D错误. 故选：A. 3．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线线平行，线面平行的判定与性质，我们逐一对四个结论进行判断，即可得到答案． 【详解】对于A：若，则m与n可能平行也可能异面.故A为假命题； 对于B：若，则α与β也可能相交.故B为假命题； 对于C：若，则m可能在平面β上.故C为假命题； 对于D：由线面垂直的性质定理可知：垂直于同一直线的两个平面互相平行.故D正确； 故选：D． 4．（多选）（25-26高一下·贵州贵阳·月考）（多选）已知,表示平面，m，n表示直线，则（    ） A．若，n，则m B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】CD 【分析】由线面，面面关系相关知识判断各选项正误即可. 【详解】A选项，若，n，则可能平行，相交或异面，故A错误； B选项，若，，则,可能相交或平行，故B错误； C选项，若，，由线面垂直性质可知，故C正确； D选项，若，，则,互相平行，故D正确. 故选：CD 5．（25-26高三上·河南开封·月考）已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，且，，则； ④若，为异面直线，且，，，，则． 其中正确命题的序号是______． 【答案】②④ 【分析】作出一个正方体，进而根据各个面的位置关系并结合条件可以判断①； 根据线面垂直的性质定理可以判断②； 根据面面平行的判定定理可以判断③④. 【详解】如图1，记平面为平面，平面，平面，显然，，但.所以①错误； 垂直于同一条直线的两个平面平行.所以②正确； 一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行.所以③错误； 如图2，因为，过m作平面，使得，所以，易知，所以，又异面，则相交，设交点为M，又，，所以.所以④正确. 故答案为：②④. 【考点5：判断或证明面面垂直】 1．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理分别得出面面垂直即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 2．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·期中）（多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】直接用面面垂直的判定定理判断ABD选项，对C可反证法，如果平面平面成立，则可得平面，而不垂直平面，故C错误. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 【答案】证明见解析 【详解】 连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，且， 所以，则， 又，且平面，平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 5．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)棱AD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交， 所以平面. 平面，从而. 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 【考点6：面面垂直证线面垂直】 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 2．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，平面，平面平面. 证明：平面PAD. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，先证平面，得，再结合线面垂直可得，然后由线面垂直的判定定理可证. 【详解】取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又平面平面，所以. 又，平面 所以平面. 3．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证. 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得是等边三角形，从而可得，,再由面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】因底面是边长为2的菱形，且， 则是等边三角形， 又因是的中点， 则， 因，则， 因平面平面， 平面平面，平面， 故直线平面． 5．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 6．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件先证，再由平面平面证明平面，可得，再由平面几何知识证明，进而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】因为四边形是菱形，，且，则可得. 在直四棱柱中，平面平面， 且平面平面，平面，故平面. 又因平面，所以. 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以，故，即， 因为，且平面，所以平面. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.6 空间直线、平面的垂直 【知识梳理】 1 【考点1：判断或证明线面垂直】 3 【考点2：线面垂直证明线线平行】 6 【考点3：线面垂直证明线线垂直】 7 【考点4：线面垂直证明面面平行】 10 【考点5：判断或证明面面垂直】 11 【考点6：面面垂直证线面垂直】 13 【知识梳理】 1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 3．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 4．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 5．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 6．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α ⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【考点1：判断或证明线面垂直】 1．（多选）（2026·河北·模拟预测）（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 2．（2026高三·全国·专题练习）已知正方体，求证：平面． 3．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．求证：平面. 4．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 5．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【考点2：线面垂直证明线线平行】 1．（2026高一下·全国·专题练习）已知，若直线，直线，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是______. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 5．（25-26高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【考点3：线面垂直证明线线垂直】 1．（25-26高二上·上海·期末）在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 5．（2026高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【考点4：线面垂直证明面面平行】 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·开学考试）若m，n，l为空间三条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（    ） A．如果，，，那么 B．如果，，，那么 C．如果，，.那么 D．如果，，，，那么 3．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选）（25-26高一下·贵州贵阳·月考）（多选）已知,表示平面，m，n表示直线，则（    ） A．若，n，则m B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（25-26高三上·河南开封·月考）已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，且，，则； ④若，为异面直线，且，，，，则． 其中正确命题的序号是______． 【考点5：判断或证明面面垂直】 1．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·期中）（多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 5．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【考点6：面面垂直证线面垂直】 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 2．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，平面，平面平面. 证明：平面PAD. 3．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 5．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 6．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $