精品解析：江西景德镇二中2025-2026学年高二下学期数学期中测试卷

景德镇二中高二数学期中测试卷 一、单选题 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（ ） A. 11 B. 19 C. 9 D. 21 8. 已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 10. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和． B. 已知为等比数列的前项和，，，则． C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则． D. 数列为等比数列，，，则． 11. 某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（ ） （参考：：计算结果精确到分） A. 等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B. 等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C. 等额本金方案，所有的利息和为2340元 D. 等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 三、填空题 12. 已知是等差数列，，，则___________． 13. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 14. 设，数列满足下列条件：，，，且对任意的，，都存在使得，其中互不相等，则数列前13项和为______． 四、解答题 15. 记为等差数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式an与前n项和公式； （2）求数列的前n项和. 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 19. 已知数列满足：. （1）求的值； （2）若，证明：是等比数列； （3）若，数列的前项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇二中高二数学期中测试卷 一、单选题 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求. 【详解】由题可得，则. 故选：C. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 3. 以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确. 4. 某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型利用组合求解概率. 【详解】. 5. 记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：由等差数列的性质得：，，成等差数列，则，求解即可. 方法二：利用等差数列前项和公式，列出方程，求解即可. 【详解】方法一：因为为等差数列的前项和，则，，也成等差数列， 所以，即，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则，解得，则. 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，解得的取值范围. 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即，即对都成立， 所以． 7. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（ ） A. 11 B. 19 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列共项，利用等差数列求和公式表示所有奇数项的和与偶数项的和列方程，结合等差数列性质解方程求即可. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 8. 已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，计算，求证为单调递增数列，再得到为等差数列求解即可. 【详解】令，计算可得，所以，因为，则， 两式相减可得，由递推公式及知，为单调递增数列， 则，则，则，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则，故所求为. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和． B. 已知为等比数列的前项和，，，则． C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则． D. 数列为等比数列，，，则． 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：因为是等差数列， 所以，故A正确； 对于B：因为为等比数列， 当时，，由得：，不成立，所以； 当时，由题意知，解得， 所以，故B错误； 对于C：因为等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为， 且，又由等差数列前项和的形式为关于的二次函数，且没有常数项， 可设，其中， 则，，所以；故C正确； 对于D：数列为等比数列，所以， 所以，所以，故D正确. 11. 某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（ ） （参考：：计算结果精确到分） A. 等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B. 等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C. 等额本金方案，所有的利息和为2340元 D. 等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于BC，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可，对于A，等额本息的还款方案分析结合等比数列的判定及求和公式计算判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断. 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知是等差数列，，，则___________． 【答案】1011 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，依题意，， 则. 13. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 14. 设，数列满足下列条件：，，，且对任意的，，都存在使得，其中互不相等，则数列前13项和为______． 【答案】39 【解析】 【分析】分析得到前13项中各元素的个数，再求和即可. 【详解】由，数列满足下列条件：， 可得数列不是递减数列，且必会出现， 设数列前13项中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列前13项中的1，由于前13项中必有2，不妨设，对于， 则存在，使得，不妨设， 而对于，，则必有，即，故； 对于数列前13项中的5，同理，由于，同理可得； 对于数列前13项中的2，由于，可得； 对于数列前13项中的4，由于，可得； 对于数列前13项中的3， 由于，，，，，故， 所以，，， 所以前13项和为． 四、解答题 15. 记为等差数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式an与前n项和公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设的公差为，则， 解得，所以的通项公式为， ； 【小问2详解】 由（1）得，令，解得， 当时，数列的前项均为正数， 则； 当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数， 则， ， 综上，. 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以 . 又，平面，因此 平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，中点为，则 ， . 由（1）知， 平面， 平面，则.又，故. 又 ， 平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､ 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面 的法向量为， 则，即，故可取. 设直线 与平面 所成角为 ， 则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 17. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）由，① 当时，，由 ，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为 ，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 18. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】（1） （2）假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【解析】 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【小问1详解】 双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . 【小问2详解】 略 19. 已知数列满足：. （1）求的值； （2）若，证明：是等比数列； （3）若，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 由，则，， 则， 则，即有， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （3） 由（2）可得，则， 故， 则， 故， 又， 故. 【解析】 【分析】（1）代入计算即可得； （2）由题意可得，，则可得，再利用等比数列定义即可得证； （3）利用（2）中所得可求出，再借助裂项相消法可求出，即可得，再求出即可得证. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $