精品解析：浙江镇海中学2025-2026学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科

镇海中学2025学年第二学期期中考试试题 高二年级数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，若，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件（ ） A. 充分必要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1012 D. 1013 7. 已知为正实数，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 设函数，若函数在区间上的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 为奇函数 B. C. 有3个零点 D. 10. 已知，则下列命题一定正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 设二维实向量空间为，若且满足以下所有条件，则称为“完美集”：①；②对任意的，任意，都有 .则下列命题正确的是（ ） A. 若为“完美集”，则集合也是“完美集” B. 若，都是“完美集”，则集合也是“完美集” C. 若，都是“完美集”，且，则也是“完美集” D. 若，都是“完美集”，则也是“完美集” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则的最小值为________. 13. 已知函数的部分图象如下图所示，则______. 14. 已知的三个内角分别为，，，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 点为内的一点，满足，过点的直线与，分别交于点，，且满足，，其中. （1）用，表示； （2）求的最小值. 17. 已知，，是的三个内角，且满足 （1）求的值； （2）若，； ①求的值； ②求边上的高. 18. 设函数，. （1）若，求函数的零点； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）设，，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上有两个不同的实根，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第二学期期中考试试题 高二年级数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，若，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析出成立的条件，将集合转化为，即可得解. 【详解】已知，所以它的补集为； ，所以它的补集为. 要使成立，只需或， 所以集合或 . 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数、对数和三角函数的单调性，求出取值范围，即可得到答案. 【详解】因为，，，所以. 3. 已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件（ ） A. 充分必要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】直接分别判断验证充分性及必要性是否成立可得. 【详解】由于是一元二次方程的两个正根，则： ，解得①. 充分性验证：若“且”，则由不等式的性质可得： ，所以充分性成立. 必要性验证：举反例，取，此时且， 满足“且”，但，不满足“且”，所以必要性不成立. 因此，“且”是“且”的充分不必要条件. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】的定义域为，C选项排除. ，为奇函数. 又，，B，D选项排除，故A选项正确. 5. 已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的导数，再根据函数在区间上单调递减，所以导函数在区间上小于等于零（但不能恒等于零）可得. 【详解】由函数在 (2, +∞) 上单调递减，故函数在该区间上必须有意义，则， ， 因为函数在单调递减，所以在恒成立， 所以，解得，但时，为常函数，不满足题设单调递减的要求，故 应舍去， 因此，实数的取值范围. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1012 D. 1013 【答案】A 【解析】 【分析】运用倒序相加法，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 则有 因此 . 7. 已知为正实数，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先通过换元将三角函数转化为正弦型复合函数，确定两段自变量区间对应的角度范围，再利用正弦函数正负分布与图象性质，结合区间包含关系，采用特例法验证可行情况，利用反证法推导矛盾条件，依次判断各选项最值符号组合能否成立. 【详解】由题意知：，， 当 时， ，最小值为 ， 当 时， ，最小值为 ， 选项A： 且 取 ，则： ， ， ， ， ， ，故A可能成立； 选项B： 且 取 ，则： ， 最小值为 ， ， ， 最小值为 ， ，故B可能成立； 选项C： 且 若 ，则区间 内 ， 故存在整数 ，使得 ， 由 且 可知， 因为 有解，则 ，解得 ， 又因为 ，故整数 只能为0， 此时 ，则区间 ， 故 在此区间上恒为正，所以 ，与 矛盾，故C不可能成立； 选项D： 且 取 ，则： ， ， ， ， ， ，故D可能成立. 8. 设函数，若函数在区间上的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用换底公式化简，再换元求出的最大值，进而求出的最小值. 【详解】，令， 故， 令，根据对勾函数图象可知，， 所以在区间上的最大值为， 令，， 根据函数图像可知的最小值在时取到，即时， 此时的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 为奇函数 B. C. 有3个零点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据函数解析式，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，再通过求导研究函数单调性，结合奇函数性质、区间单调性以及函数取值大小比较，逐一分析每个选项，判断命题真假，从而得出正确选项. 【详解】选项A：因为函数定义域为 ，关于原点对称， 则， 所以是奇函数，A正确； 选项B：由奇函数性质知，， 因为， 所以当时，，故在上单调递减， 因为，所以，即， 因此，B正确； 选项C：令，即，解得，仅1个零点，C错误； 选项D：由奇函数性质知，， 当 时，，故在上单调递增， 当时，单调递减，且时， 因为， 所以 ，因此，D正确. 10. 已知，则下列命题一定正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合导数的性质、特殊值法逐一判断即可. 【详解】A：设函数， 所以函数是正实数集上的增函数， 于是当时，有，因此本选项命题一定正确； B：当时，显然满足， 这时，显然不成立，所以本选项命题不一定正确； C：设， 所以函数是正实数集上的增函数， 于是当时，有，因此本选项命题一定正确； D：设，显然满足，也满足， ，所以不成立，所以本选项命题不一定正确. 11. 设二维实向量空间为，若且满足以下所有条件，则称为“完美集”：①；②对任意的，任意，都有 .则下列命题正确的是（ ） A. 若为“完美集”，则集合也是“完美集” B. 若，都是“完美集”，则集合也是“完美集” C. 若，都是“完美集”，且，则也是“完美集” D. 若，都是“完美集”，则也是“完美集” 【答案】BC 【解析】 【分析】通过举反例判断AD，通过新定义，结合元素与集合的关系逐项判断即可． 【详解】对于A，取，符合完美集， 则， 取，取， 则，不满足条件，故A错误， 对于B，若，都是“完美集”，则， 任取两个元素，根据的定义，存在和， 使得，， 对任意，，， ， 故，B正确； 对于C，由已知 ，对任意，则，， 因此对任意，，， 所以，C正确． 对于D，取，，都是完美集， 则 ， 取，，取，则，不满足条件，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】，当且仅当时取等号. 13. 已知函数的部分图象如下图所示，则______. 【答案】2 【解析】 【详解】根据图象得，，解得. 进而. 14. 已知的三个内角分别为，，，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先讨论和，借助两角和公式化简不等式，再利用辅助角公式进行放缩，最后换元借助二次函数求最值即可. 【详解】在中，若，则，，此时表达式的值不大于0， 因为当时，表达式的值可以为正，所以最大值一定在时取得. 故，由，得， 故  令，，则上式可写为，其中，当且仅当时取等，即. 所以， 所以， 设，，根据二次函数可知其最大值在处取到， 为 ， 接下来验证取等条件是否成立， 当时，，此时， 进而可知此时，可满足在中同时成立， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，根据分式不等式的解法，求得，再由正弦函数的性质，求得，结合集合交集定义与运算，即可求解； （2）利用分式不等式的解法，求得，根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得不等式，即， 即，解得，所以， 由，可得，所以， 则. 【小问2详解】 解：由不等式，可得，即， 解得，所以， 由（1）知：， 因为是的必要不充分条件，所以， 则满足且，解得， 当时，集合，满足； 当时，集合，满足， 综上可得，实数的取值范围. 16. 点为内的一点，满足，过点的直线与，分别交于点，，且满足，，其中. （1）用，表示； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的线性运算进行求解； （2），由于三点共线，根据向量共线定理可得，，再由基本不等式进行求解． 【小问1详解】 由， 得， 得， 得， 得． 【小问2详解】 因为，，其中， 所以，， 由（1）知，， 得， 由于三点共线，根据向量共线定理可得，， 得， 得，等号成立时，，解得， 所以的最小值为： 17. 已知，，是的三个内角，且满足 （1）求的值； （2）若，； ①求的值； ②求边上的高. 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）①由诱导公式求得，结合已知条件解方程组得，然后由商数关系计算；②利用正弦定理求得，然后由三角形的面积公式求得高． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得，即， 所以； 【小问2详解】 ①， 由， 解得， 所以； ②是的内角，所以， 由正弦定理得， ， 所以， 设边上的高为， 则，． 18. 设函数，. （1）若，求函数的零点； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）设，，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，即可根据指数与对数的运算性质求解， （2）根据对勾函数以及指数函数的单调性即可求解值域得解， （3）将问题先转化为，根据函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 时， ，则， 故 ，进而 ， 则或. 故的零点为或. 【小问2详解】 令 ，则， 进而可得， 由于，则，且函数在上单调递增， 对勾函数在单调递减，在单调递增， 故当时，， 因此，故， 则； 【小问3详解】 当时，单调递减，故， 对任意的，存在，使得不等式 成立， 则， 因此，即存在使得， 由于， 令 则， 令 ， 故存在使得，即， 因此， 由于函数均为上的单调递增函数， 故 故即. 19. 已知函数，. （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上有两个不同的实根，且，证明：. 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，代入求解，即可得答案. （2）令，分别讨论和两种情况，根据一次函数、二次函数的性质，分析求解，即可得答案. （3）令，根据条件及二次函数的性质，可得各参数的范围，结合韦达定理，分析即可得证. 【小问1详解】 由偶函数定义，可得， 即， 化简得， 即，因为，所以不恒为零， 故. 【小问2详解】 令，则，由题意有3个不同的实根， 当时，， 当时，， 若，则当时，，没有零点， 当时，，令，解得，只有2个零点，不符合题意； 当时，当时，为一次函数，令，解得， 则，解得且， 当时，令，即，判别式， 则方程必有2个不相等的实根，且，（一正根一负根）， 要使零点总数为3，即有3个不同的实根， 需在时有1个根且在时有2个根，且均在内， 根据二次函数的性质得，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【小问3详解】 令，对应， 则，即， 当时，，最多只有1个根，不符合题意； 当时，方程转化为，且，（一正根一负根）， 要使2个根均在内，则，解得， 由，得， 则左边， 因为，所以，则， 右边， 因为，，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $