精品解析：浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

镇海中学2024学年第二学期期中考试 高二数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应期目选项的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔成签字笔作答，答案必须写在答图卷各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，进而可得并集. 【详解】因为集合， 且集合，所以. 故选：D. 2. 在△中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C. 考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断. 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除CD，再根据函数单调性排除B. 【详解】因为， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故CD错误； 且，则， 可知在内存在递减区间，故A错误； 故选：B. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，然后利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为， 所以 . 故选：A. 5. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递减，则，即； 又因为在定义域内单调递增，则，即； 且在定义域内单调递增，则，即； 综上所述：. 故选：D. 7. 在中，在上，且，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中分别利用正弦定理，再结合条件即可化简得出. 【详解】因，则， 因，则， 在中利用正弦定理得，①， 在中利用正弦定理得，，则②， 由①②两式得. 故选：C 8. 已知函数，若存在实数、、使得且成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可得出，由已知条件变形得出，分析得出，由可得出的取值范围，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数，且存在实数、、使得， 则，等式两边同除以可得， 所以，，，故，， 由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，等号成立， 由可得， 则，等式两边同时除以可得， 则，故，可得， 所以，，故，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9. 已知函数的周期为2，且在上单调递增，则不符合条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据周期性定义结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 即，可知函数在上不单调，故A不符合条件； 对于选项B：因为， 即，可知函数在上不单调，故B不符合条件； 对于选项C：因为， 可知函数的一个周期为2， 若，则，可得，， 且在上单调递增，所以在上单调递增，故C符合条件； 对于选项D：因为， 即，可知函数在上不单调，故D不符合条件； 故选：ABD. 10. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知等式，结合基本不等式的“1”的巧用，分式分离，平方转化等方法逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，为正实数，，所以， 当且仅当时，的最大值为1，故A正确； 对于B，由于，由A选项可知， 所以，所以的最小值为2，故B不正确； 对于C， ， 因为，为正实数，，所以， 则， 当且仅当，即时，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时，的最小值3，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 存在实数，使得存在零点 B. 存在实数，使得对任意实数恒成立 C. 不存在正实数，使得对任意实数恒成立 D. 不存在正实数，使得有实数解 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AD：举例说明即可；对于B：注意到，即可判断；对于C：构建，分析可知与至少有一个成立，即可判断. 【详解】对于选项A：例如，则， 则，此时存在零点，故A错误； 对于选项B：因为， 所以不存在实数，使得对任意实数恒成立，故B错误； 对于选项C：对于任意，则， 构建， ①当时，则，可知， 则； ②当时，则，由①可知； 综上所述：对任意正实数，与至少有一个成立， 所以不存在正实数，使得对任意实数恒成立，故C正确； 对于选项D：例如，则， 则，，故D错误； 故选：AC. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式结合余弦函数的有界性可得，且，进而分析余弦函数的最值点即可得结果. 【详解】因为，，且， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，可知，且， 则，即，可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 设函数在上有定义，且满足以下性质：①，②．则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法及已知等式计算求解函数值. 【详解】令，因为，所以，所以， 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合A，进而可得交集； （2）由题意可知，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【小问1详解】 由题意可得：集合， 若，则集合， 所以. 【小问2详解】 若，则， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知函数． （1）求的对称轴； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理可得，以为整体，结合正弦函数对称性分析求解； （2）整理可得，以为整体，结合正弦函数单调性分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 令，解得， 所以的对称轴为. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为且，则， 若函数在上单调递增， 则，解得， 所以的取值范围为. 17. 已知线段、交于点，且，，． （1）若，求的长； （2）若且，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）在和中，由，结合余弦定理化简可得出的长； （2）分析可知，，由已知条件得出，将已知等式变形为，解出的值，结合角的取值范围，可得出角的值，进而可得出角、的值，由正弦定理可求得的长. 【小问1详解】 如下图所示： 因为，且， 所以，由余弦定理可得， 即，整理可得， 因为，所以，，故. 【小问2详解】 若，且，，则， 所以，，又因为，则，可得， 所以，，不合乎题意， 因为，则， 则， 即， 整理可得，解得或， 因为，则， 所以，或，可得或， 若，则，，由正弦定理可得，则； 若，则，，由正弦定理可得，则. 综上所述，或. 18. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义取特指解得，并代入检验； （2）根据题意整理可得对于任意实数x恒成立，结合指、对数函数性质分析判断； （3）根据题意整理可得，换元令，可知在内存在零点，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 因为，可知函数的定义域为， 若函数为偶函数，则， 即，可得，即， 此时， 则，即函数为偶函数， 所以. 【小问2详解】 因为，即， 可得， 即对于任意实数x恒成立， 因为，则，可得， 所以实数t的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知：， 若存在，使得成立， 即， 整理可得， 则， 令，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 构建，可知在内存在零点， 因为的图象开口向上，对称轴为， 若，可知在内单调递增， 则，解得； 若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 19. 已知集合，对于，，定义． （1）已知，求所有的，使得： （2）已知，求证：为偶数； （3）已知，对任意，均有，求的最大值． 【答案】（1）或或或 （2）证明过程见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）结合新定义分析可知必有3个1和一个0，从而分四种情况讨论即可求解； （2）设，则，又， 则，基于以上假设可得，从而分三种情况讨论即可得证； （3）一方面：分析得知，对任意，，另一方面：任取三个不同的，其中必有两个的第一个分量相等，这就会导致存在，使得，结合两方面即可求解. 【小问1详解】 由题意，若，使得，设， 则，注意到， 从而这四个数中的其中一个要么是0，要么是1， 结合，可知必有3个1和一个0， 所以我们分四种情况讨论即可： （i），，解得，即此时； （ii），，解得，即此时； （iii），，解得，即此时； （iv），，解得，即此时； 综上所述，满足题意的为或或或； 【小问2详解】 若，设，，， 则， 由的定义可知， ， 不妨设中有个1，个0， 中有个1，个0， 中有个1，个0， 这意味着有组满足，组满足， 组满足，组满足， 组满足，组满足， 不失一般性，设， 则， 因为， 所以设， 注意到， 在这里，分三种情况讨论： （i）若，则有， 即组满足，此时， 故是偶数， （ii）若，则， ， 此时， 故是偶数； （ii）若，则， ， 此时， 故是偶数； 综上所述，若，则为偶数； 【小问3详解】 若，对任意，则可设，， 根据的定义可知，，从而， 若，则只能， 即， 这表明， 则所有可能的情况为：或；或；……；或； 下面证明所求的最大值是2， 一方面：当时，可取（取法不唯一），此时满足题意； 另一方面：当时，任取三个不同的，其中必有两个的第一个分量相等， 比如我们就让的第一个分量相等， 而这会导致，这就和矛盾， 故是不可能的， 综上所述，的最大值是2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2024学年第二学期期中考试 高二数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应期目选项的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔成签字笔作答，答案必须写在答图卷各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在△中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，在上，且，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 已知函数，若存在实数、、使得且成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9. 已知函数的周期为2，且在上单调递增，则不符合条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值3 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 存在实数，使得存在零点 B. 存在实数，使得对任意实数恒成立 C. 不存在正实数，使得对任意实数恒成立 D. 不存在正实数，使得有实数解 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______． 13. 已知，且，则的最小值为_______． 14. 设函数在上有定义，且满足以下性质：①，②．则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的对称轴； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围． 17. 已知线段、交于点，且，，． （1）若，求的长； （2）若且，求的长． 18. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知集合，对于，，定义． （1）已知，求所有的，使得： （2）已知，求证：为偶数； （3）已知，对任意，均有，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $