2026年中考数学 圆中最值 专项练习题（原卷版+解析版）

【专题训练】2026年中考数学《圆中最值》专项练习题（原卷版+解析版） 一．选择题（共12小题） 1．如图，△ABC是圆O的内接三角形，点D是平面内任意一点，连接BD，CD，且满足AB、BC、CD的和是16，则四边形ABDC面积的最大值（　　） A．32 B．64 C．128 D． 2．如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C．点P为⊙C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'．在点P运动的过程中，CP'长度的最大值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 7．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠ACB最大，则t的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，半径为13的⊙O内有一点A，OA＝5，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（　　） A．40 B．45 C．30 D．65 9．如图，⊙�O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（　　） A． B． C．2﹣ D．﹣1 10．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD，BC相交于点E．则△EDC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 11．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（　　） A．104 B．116 C．120 D．100 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B分别为y轴和x轴上的动点，且AB＝4，点C为线段AB的中点，已知点P（4，3），则PC+CO的最大值为（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 二．填空题（共8小题） 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），D（1，0），点C在以E（5，3）为圆心，1为半径的⊙E上运动，且始终满足∠ACB＝90°，则m的取值范围是　 　 ． 14．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为 　 　 ． 15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　 　 ． 16．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 　 　 ． 17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一动点，连接AC，点D在直径AB上，AD＝AC，连接并延长CD交⊙O于点E，若AB＝8，则AC+DE的最大值是 　 　 ． 18．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（点E不与点B、C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为 　 　 ． 19．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，AQ＝3PQ．若点D的坐标为（0，﹣4），则CQ的最小值为 　 　 ． 20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 　 　 ． 【专题训练】2026年中考数学《圆中最值》专项练习题（原卷版+解析版） 一．选择题（共12小题） 1．如图，△ABC是圆O的内接三角形，点D是平面内任意一点，连接BD，CD，且满足AB、BC、CD的和是16，则四边形ABDC面积的最大值（　　） A．32 B．64 C．128 D． 【答案】A 【解答】解：S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD，S△ABC≤BC•AB，S△DBC≤BC•CD， 当∠ABC＝∠BCD＝90°时，等号成立， 此时S△ABC、S△BCD有最大值， 此时，S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝BC•AB+BC•CD＝BC（AB+CD）， 又∵AB+CD+BC＝16， ∴AB+CD＝16﹣BC， ∴S四边形ABCD＝BC（16﹣BC）＝﹣BC2+8BC＝﹣（BC﹣8）2+32， ∵a＝﹣＜0， ∴当BC＝8时，四边形的面积有最大值为32， 故选：A． 2．如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 在凹四边形BCDP中， ∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°， ∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°， ∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°， 得点P在运动过程中，使得∠BPD＝135°， 即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上， 由图可得AP+CP≥AC， 当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP， 在Rt△ABC中， ∵AB＝BC＝1， ∴AC＝＝， ∵AP＝AB＝1， ∴CP＝AC﹣AP＝． 故选：D． 3．如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C．点P为⊙C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'．在点P运动的过程中，CP'长度的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接P'A，PC， ∵∠ABC＝∠P'BP＝90°， ∴∠P'BA＝∠PBC， ∵BP'＝BP，BA＝BC， ∴△P'BA≌△PBC（SAS）． ∴P'A＝PC＝2， ∴P'在以A为圆心，2为半径的圆上， 连接AC，则当P'在CA的延长线上时，P'C最长， 此时P'C＝P'A+AC＝2+＝5+2， 故选：A． 4．如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接AQ， ∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC， ∴△BCQ∽△BPC， ∴BQ：BC＝BC：BP， ∵AB＝BC， ∴BQ：AB＝AB：BP， ∵∠ABQ＝∠PBA， ∴△ABQ∽△PBA， ∴∠AQB＝∠BAP＝90°， ∴点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上， 如图，取AB中点O，连接OC交⊙O于Q，则CQ此时最小， ∵BC＝2， ∴OB＝1， ∴OC＝＝， ∵OQ＝1， ∴CQ＝﹣1． 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：取AB的中点O，连接OM，AD， ∵M是BD的中点， ∴OM∥AD，OM＝AD， ∴AD＝3， ∴OM＝， ∴M点在以O为圆心，为半径的圆上， ∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝13， ∴CO＝， ∴CM的最小值为﹣＝5， 故选：C． 6．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK． 由题意AB垂直平分线段OK， ∴AO＝AK， ∵OA＝OK， ∴OA＝OK＝AK， ∴∠OAK＝∠AOK＝60°． ∴AH＝OA•sin60°＝4×＝2， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH， ∴AB＝2AH＝4， ∵OC+OH≥CT， ∴CT≤4+2＝6， ∴CT的最大值为6， ∴△ABC的面积的最大值为××6＝12， 故选：A． 7．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠ACB最大，则t的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图①，作过A、B两点的⊙M与y轴相切于点C， ∵∠AC'B＜∠APB， ∠APB＝∠ACB， ∴∠AC'B＜∠ACB， ∴⊙M与y轴相切于点C时，∠ACB最大． 如图②，作MH⊥AB，连接OM、MA、MB， ∵⊙M与y轴相切于点C， ∴∠OCM＝90°， ∵A（1，0），B（5，0）， ∴AB＝4， ∵MH⊥AB， ∴AH＝AB＝2， ∴OH＝1+2＝3， ∴MC＝MA＝MB＝3， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，半径为13的⊙O内有一点A，OA＝5，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（　　） A．40 B．45 C．30 D．65 【答案】C 【解答】解：作OH⊥AP于H， ∵sinP＝， ∴sinP＝， ∵∠P是锐角，当OH最大时，sinP最大，此时∠P最大， ∴当OA与OH重合时，即OA⊥PA时，∠P最大， 当OA⊥PA时， ∵PA2＝OP2﹣OA2， ∴PA2＝132﹣52， ∴PA＝12， ∴S△POA＝OA•PA＝×12×5＝30， 故选：C． 9．如图，⊙�O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（　　） A． B． C．2﹣ D．﹣1 【答案】A 【解答】解：如图，作△AEC的外接圆⊙O′，延长BC交⊙O′于点R，连接AR，则AR是直径，连接OO′，EO′． ∵EC⊥CD， ∴∠ECD＝90°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝4， ∵∠D+∠DEC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠B＝∠D， ∴∠DEC＝∠BAC＝定值， ∴∠AEC是定值， ∴点E的运动轨迹是， ∵∠R+∠AEC＝180°，∠AEC+∠DEC＝180°， ∴∠R＝∠DEC＝∠BAC， ∴∠R+∠B＝90°， ∴∠BAR＝90°， ∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BAR＝90°， ∴△BCA∽△BAR， ∴， ∴， ∴BR＝， ∴CR＝BR﹣BC＝， ∴AR＝＝， ∴EO′＝AR＝， ∵AO＝OB，AO′＝O′R， ∴OO′＝BR＝， ∵OE≥OO′﹣EO′＝， ∴OE的最小值为． 故选：A． 10．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD，BC相交于点E．则△EDC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵点A，B，C，D在⊙O上， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC+∠EDC＝180°， ∴∠ABC＝∠EDC， 又∵∠DEC＝∠AEB， ∴△EDC∽△EBA， ∴＝， 即． 连接BD，OC，OD， ∵BD为⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC＝OD＝DC＝1， ∴△COD为等边三角形， 则∠COD＝60°， ∴∠DBC＝∠COD＝30°， ∴∠BED＝∠ADB﹣∠DBE＝90°﹣30°＝60°， 过点E作EF⊥AB于点F，连接OE， ∵OE+OF≥EF， ∴当点F与点O重合时，EF取得最大值，最大值为OE， 此时EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∵∠AEB＝60°， ∴△ABE为等边三角形， ∴AE＝AB＝EB＝2，EF＝AE•sin60°＝2×＝， ∴S△AEB＝AB•EF＝， ∴＝． 故选：B． 11．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（　　） A．104 B．116 C．120 D．100 【答案】B 【解答】解：取GF的中点O，连接OM，OD，DM． ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DGO＝90°，DG＝EF＝4，FG＝DE＝6， ∵MG2+MF2＝2GO2+2OM2， ∵OG＝OF＝3， ∴OM的值最大时，MG2+MF2的值最大， ∵DM＝2，OD＝＝＝5， ∴OM≤OD+DM＝5+2＝7， ∴OM的最大值为7， ∴MG2+MF2的最大值＝2×32+2×72＝116， 故选：B． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B分别为y轴和x轴上的动点，且AB＝4，点C为线段AB的中点，已知点P（4，3），则PC+CO的最大值为（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：∵∠AOB＝90°，点C为线段AB的中点， ∴， ∴点C在以O为圆心2为半径的圆上运动． 如图，连接PO并延长交⊙O于点C， 这时，PC最大值＝PO+OC＝＝7， ∴PC+CO的最大值＝7+2＝9． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），D（1，0），点C在以E（5，3）为圆心，1为半径的⊙E上运动，且始终满足∠ACB＝90°，则m的取值范围是　4≤m≤6　 ． 【答案】4≤m≤6． 【解答】解：∵D（1，0），A（1﹣m，0），B（1+m，0）（m＞0），∴AD＝1﹣（1﹣m）＝m，BD＝m+1﹣1＝m， ∴AD＝BD＝m， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝m， 如图连接DE交⊙D于点P″，延长ED交⊙D于P′，此时EP′最大，EP″最小， ∵D（1，0），E（5，3）， ∴DE＝5， ∴EP′＝5+1＝6，EP″＝5﹣1＝4， ∴m的最大值为6，最小值为4， ∴4≤m≤6， 故答案为：4≤m≤6． 14．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为 　　 ． 【答案】4﹣4． 【解答】解：∵BC为直径的⊙O， ∴∠BAC＝90°， 又∵A为弧BC中点， ∴＝， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BC＝8， ∴AB＝AC＝4， ∵＝， ∴∠ACB＝∠APD＝45°， ∵AD⊥AP交BP于D， ∴∠ADB＝135°， ∴点D运动的轨迹是以I为圆心，以IA长为半径的一段圆弧，连接IB，IC交⊙I于点E，如图： ∴当点D运动点E时，CD的长度最短， ∴∠AIB＝360°﹣135°×2＝90°， ∵IB＝IA， ∴∠IBA＝∠IAB＝45°， ∴IB＝IA＝4， ∵点D在圆I上， ∴ID＝IB＝4， ∴∠IBC＝∠IBA+∠ABC＝90°， ∴IC＝＝4， ∴当C、D、三点共线时，CD取最小值， ∴CD的最小值＝IC﹣ID＝IC﹣IB＝4﹣4， 故答案为：4﹣4． 15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：连接OP， ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值， 连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝5，MQ＝12， ∴OM＝13， 又∵MP′＝4， ∴OP′＝9， ∴AB＝2OP′＝18， 故答案为：18． 16．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 　2﹣2　 ． 【答案】2﹣2． 【解答】解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵点C在半圆的中点， ∴＝， ∴AC＝CB＝4， ∵CT＝TB＝2， ∴AT＝＝＝2， ∵CH⊥BD， ∴∠CHB＝90°， ∴点H在以BC为直径的圆上运动， ∵CT＝TB， ∴HT＝BC＝2， ∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2， ∴AH的最小值为2﹣2， 故答案为：2﹣2． 17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一动点，连接AC，点D在直径AB上，AD＝AC，连接并延长CD交⊙O于点E，若AB＝8，则AC+DE的最大值是 　9　 ． 【答案】8． 【解答】解：如图，连接OE、BE， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠EDB， ∵， ∴∠ACE＝∠EBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴DE＝BE， ∵OE＝OB， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠OEB＝∠EDB， ∴△EDB∽△OEB， ∴， ∴BE2＝BD•OB， ∵AB＝8， ∴OB＝4，BD＝8﹣AD， ∴DE2＝BD•OB＝（8﹣AD）•4＝32﹣4AD， ∴AD＝﹣DE2+8， ∴AD+DE＝﹣DE2+DE+8＝﹣（DE﹣2）2+9， 当DE＝2时，AD+DE＝9，此时最大， 故答案为：9． 18．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（点E不与点B、C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵AF⊥DE， ∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上一段圆弧上， 如图，取D中点H，连接CH，交⊙H为点P，则PC为所求， ∵正方形的边长为2， ∴DC＝2，DH＝1， ∴CH＝＝， ∵HP＝1， ∴CP＝﹣1． 故答案为：﹣1． 19．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，AQ＝3PQ．若点D的坐标为（0，﹣4），则CQ的最小值为 　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：连接PO，过Q作QM∥OP，交AO于M，以M为圆心，MA为半径作圆，连接MC交⊙M于Q′， ∴AM：AO＝AQ：AP， ∵AQ＝3PQ， ∴AQ：AP＝3：4， ∵D的坐标是（0，﹣4）， ∴OA＝OD＝4， ∴AM＝AO＝×4＝3， ∵OA＝OP， ∴∠MAQ＝∠P， ∵QM∥PO， ∴∠MQA＝∠P， ∴∠MAQ＝∠MQA， ∴MQ＝MA＝3， ∴Q在⊙M上， ∴当Q与Q′重合时，CQ最小， ∵OM＝AO﹣AM＝4﹣3＝1，OC＝4， ∴MC＝＝＝， ∴CQ′＝CM﹣MQ′＝﹣3， ∴CQ的最小值是﹣3． 故答案为：﹣3． 20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 　4﹣2　 ． 【答案】4﹣2． 【解答】解：过点A、M作⊙O与CD相切于点P'，记PM 与⊙O交于点Q，连接AP′，MP′，OM，OP′，AQ， 则∠AP'M＝∠AQM＞∠APM，∠OP′D＝90°， ∴当点P运动到点P'时，∠AP'M最大， 作ON⊥AD于点N， 则MN＝AN＝， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°， ∴四边形OP'DN是矩形， ∵AB＝4，M是AD的中点， ∴AM＝DM＝2，MN＝1， ∴OM＝OP'＝DN＝DM+MN＝3， 在Rt△MON中， ON＝＝＝2， ∴DP'＝ON＝2， ∴CP'＝DC﹣DP'＝4﹣2， ∴当∠APM的度数最大时，CP的长为4﹣2． 故答案为：4﹣2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/29 13:17:08；用户：13840326273；邮箱：13840326273；学号：22644865 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $