1.3 乘法公式(2)——平方差公式的应用 课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式(2)——平方差公式的应用 01 课前预习 02 例题精讲 目录 03 课堂检测 目录 利用几何图形验证平方差公式: (1)图1,在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,图1 中的阴影部分的面积为 ; a2-b2 (2)将图1中的阴影部分拼成了一个长方形(如图2),图2中的阴影部 分的面积为 . 由于图1和图2中的阴影部分的面积相等,因此可以用拼图的方法验 证平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (a+b)(a-b) 知识点1 利用图形验证平方差公式 例1 (1)如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形, 则阴影部分的面积可以表示为S大正方形-S小正方形,即 .若将 图1中的阴影部分沿虚线AB裁剪下来,重新拼成如图2所示的梯形,则 它的上底长为 ,下底长为 ,高为 ,面积为(上 底长+下底长) 高,即 ; a2-b2 2b 2a a-b (a+b)(a-b) (2)比较两个图形面积可以得到 乘法公式 . (a+b)(a-b)=a2-b2 知识点2 利用平方差公式进行简便计算 例2 用平方差公式进行计算:112 108. 解:原式=( + )( - ) =1102- 2 = = . 110 2 110 2 2 12 100-4 12 096 1.用平方差公式进行计算:53 47. 解:原式=(50+3)(50-3) =502-32 =2 500-9 =2 491. 知识点3 平方差公式的应用 例3 计算:2a2(a+1)(a-1)+2a2. 解:原式=2a2(a2-1)+2a2 =2a4-2a2+2a2 =2a4. 2. 计算:(x+2y)(x-2y)-x(x+2). 解:原式=x2-(2y)2-(x2+2x) =x2-4y2-x2-2x =-4y2-2x. 1. 下列多项式相乘,能利用平方差公式进行计算的是( D ) A. (x+y)(-x-y) B. (m-n)(n-m) C. (2x+3y)(2x-3z) D. (-a-b)(a-b) D 2.计算: (1)(x+1)(x-1)-(x2-2); 解:原式=x2-1-x2+2 =1. (2)y2(x+2)(x-2)-x2y2. 解:原式=y2(x2-4)-x2y2 =x2y2-4y2-x2y2 =-4y2. 3.用简便方法计算: (1)2 0252-2 0262; 解:原式=(2 025-2 026)(2 025+2 026) =-4 051. (2)59.8 60.2. 解:原式=(60-0.2)(60+0.2) =602-0.22 =3 600-0.04 =3 599.96. 4.已知x=,求(2x+1)(2x-1)+x(3-4x)的值. 解:原式=(2x)2-12+3x-4x2=4x2-1+3x-4x2=3x-1. 当x=时,原式=3 -1=1-1=0. 5. 规律探究 观察下列各式: (7+2)2-22=11 7;(7+4)2-42=15 7;(7+6)2-62=19 7…… 不难发现规律:比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7 整除. (1)(7+10)2-102的结果是7的 倍; 27 (2)设偶数为2n,试说明比2n大7的数与2n的平方差能被7整除. 解:根据题意可知,设偶数为2n,则比2n大7的数为2n+7. 因为(2n+7)2-(2n)2=(2n+7-2n)(2n+7+2n)=7(4n+7),4n+7 为整数, 所以7(4n+7)能被7整除. 所以比2n大7的数与2n的平方差能被7整除. $