第二十三章 一次函数 单元卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、函数中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 详解】且, 解得且． 2、在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 正比例函数，随的增大而减小， ， 直线经过原点和第二、四象限． 3、一次函数y＝mx﹣m（m为常数且m≠0），若y随x增大而增大，则它的图象经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】C 【详解】解：∵一次函数y＝mx﹣m（m为常数且m≠0），y随x增大而增大， ∴m＞0， ∴一次函数y＝mx﹣m经过第一、三象限，且与y轴的交点在x轴下方，即图象还经过第四象限， 4、如图，一次函数（为常数且）与正比例函数（为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵从图象可看出当时，的函数图象与函数的图象相交， ∴方程的解是． 5、直线经过和，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【详解】解： ∵直线经过和， ，， ． 6、在同一平面直角坐标系中，一次函数的与图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：A、直线经过第一、三、四象限，则，所以直线经过第一、二、四象限，所以本选项不符合题意； B、直线经过第一、二、三象限，则，，所以直线经过第一、二、三象限，所以本选项不符合题意； C、直线经过第一、三、四象限，则，所以直线经过第一、二、四象限，所以本选项符合题意； D、直线经过第一、二、四象限，则，，所以直线经过第一、三、四象限，所以本选项不符合题意； 7、若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】如下图图象，易得时， 8、如图，已知直线与相交于点P，点P的坐标为，则关于x不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵直线与相交于点P，点P的坐标为， ∴不等式的解集，即不等式的解集，为， 9、如图所示，一次函数（是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【详解】解： ∵一次函数（是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组 的解是，选项D判断正确，不符合题意； 10、如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，正比例函数的图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点，点到轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是______． 【答案】y=-2x 【详解】解： ∵点P到x轴的距离为2， ∴点P的纵坐标为2， ∵点P在一次函数y=-x+1的图象上， ∴2=-x+1，得x=-1， ∴点P的坐标为（-1，2）， 设正比例函数解析式为y=kx， 则2=-k，得k=-2， ∴正比例函数解析式为y=-2x， 12、已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 13、如图，函数与图象交于点，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】解： ∵函数与的图象交于点， ， 解得， ． 由图象可得： 当时，， ∴不等式的解集为， 14、已知直线经过第一，二，四象限，那么直线不经过第_________象限． 【答案】四 【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴1-k＞0， ∴直线y=bx+1-k一定不经过第四象限． 15、两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往地，同时乙步行从地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离与时间之间的函数关系，且与相交于点．下列说法： ①与的函数关系是；    ②点表示甲、乙同时出发0.5小时相遇； ③甲骑自行车的速度是18千米/小时；       ④经过或小时，甲、乙两人相距5千米． 其中正确的有 （填序号） 【答案】②③ 【详解】解：设直线的解析式为，将点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式，故①错误； 由图象可知：点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇，故②正确； ∵乙的速度为km/h，km， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，将点M坐标代入，得， ∴直线的解析式，     ∴甲骑自行车的速度是18千米/小时，故③正确； 当时，解得； 当时，， 当时，解得（舍去）； 当时，解得， ∴经过或小时，甲、乙两人相距5千米．故④不正确； 故答案为：②③． 16、如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】或或 【详解】解：当直线过点时，k值最小， 则，解得， 当直线过点时，k值最大， 则，解得， 故线段与直线有交点时，k的取值范围为， 故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或， 故答案为：或或． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， 解得：； （2） 解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象经过第一，三，四象限， ∴， 解得：． 18、已知一次函数的图象过，两点. （1）求这个一次函数的关系式； （2）试判断点是否在这个一次函数的图象上. 【答案】（1）.；（2）点不在这个一次函数图象上. 【详解】解：（1）设一次函数关系式为，因为图象过，两点， 所以，， 解得，， 所以表达式为. （2）当时，，所以点不在这个一次函数图象上. 19、在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回，设汽车从甲地出发时，汽车与甲地的距离为，与的函数关系图象如图． （1）求汽车从甲地到乙地和返回过程中，与间的函数表达式； （2）求这辆汽车出发时与甲地的距离． 【答案】（1）去时：；返回时：；（2） 【详解】（1）汽车从甲地到乙地过程中，设， 将代入上式得：，即， ∴． 汽车返回过程中，设， 将点，代入上式得：，解方程组得， ∴． （2）当时，汽车处于从乙地返回甲地途中，故将代入， ∴． 故汽车出发时与甲地的距离为． 20、如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1， （1）关于x，y的方程组 的解是　 　； （2）a＝　 　； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【答案】（1）；（2）－1；（3）4 【详解】（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2， 函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2）， 即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组 的解是 ． 故答案为； （2）把P（1，2）代入y＝ax+3， 得2＝a+3，解得a＝﹣1． 故答案为﹣1； （3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0）， y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0）， ∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4， ∵P（1，2）， ∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积为：×4×2＝4． 21、某服装店购进甲、乙两种服装，两种服装的进价、售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 35 70 售价（元/件） 65 110 该店决定用不多于6300元购进这两种服装共100件． （1）求购进甲种服装最少多少件？ （2）该店购进甲种服装多少件时，全部销售后能获得最大利润，最大利润多少元？ 【答案】（1）20件；（2）购进甲种服装20件时，获得的利润最大，最大利润为3800元 【详解】解：（1）设购进甲种服装件，根据题意，得 解这个不等式，得 所以购进甲种服装最少为20件； （2）设获得的利润为元，则 ∵-10＜0， ∴随的增大而减小， ∵x≥20， ∴当时，最大，最大值为（元） 所以购进甲种服装20件时，获得的利润最大，最大利润为3800元． 22、学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 　 　； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 　， 　； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x　 时，y随x的增大而增大； ②方程有　 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是　 ． 【答案】(1)x为任意实数 (2)1， (3)见解析 (4)①；②2；③ 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； （2）解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； （4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． 23、如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点，与y轴相交于点．    (1)求直线l的函数表达式； (2)在y轴上是否存在点M，使是等腰三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线l的函数解析式为； (2)存在，点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：存在，理由如下： ，， ， ①当时，点的坐标为； ②当时，， ， 点的坐标为； ③当时，， ， 点的坐标为或； 点的坐标为或或或． 24、在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线与交于点E． (1)若点E坐标为． ①求m的值； ②点P在直线上，若，求点P的坐标； (2)点F是线段的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使为以为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②点P的坐标为或 (2)存在， 【详解】（1）解：①当时，，即点， 将点E的坐标代入得：， 解得：； 解：由题意可知，、、， ，， 则， 由A、E的坐标得：， 设的底边上的高为h， 则， 解得：， 由直线的表达式知，，则， 取，作直线，过点A作于点M，过点M作轴于点N，则直线l和直线的交点即为点P， 则为等腰直角三角形，则， 则点， 设直线l的表达式为：， 将点M的坐标代入上式并解得：， 则直线l的表达式为：， 联立直线l和并解得， 即点P的坐标为； 当点P在直线上方时，同理可得：点， 综上，点P的坐标为：或； （2）解：存在，理由如下：设点，则点， 过点F分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N， 为以为直角边的等腰直角三角形，则，， ，， ， ，， ， ， 即， 解得：， 则点， 将点E的坐标代入并解得：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、函数中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 2、在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A．B． C． D． 3、一次函数y＝mx﹣m（m为常数且m≠0），若y随x增大而增大，则它的图象经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 4、如图，一次函数（为常数且）与正比例函数（为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 5、直线经过和，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．以上都不对 6、在同一平面直角坐标系中，一次函数的与图象可能是（ ） A. B. C. D. 7、若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为( ) A. B. C. D. 8、如图，已知直线与相交于点P，点P的坐标为，则关于x不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 9、如图所示，一次函数（是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 10、如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．    二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，正比例函数的图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点，点到轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是______． 12、已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 13、如图，函数与图象交于点，则不等式的解集为_____． 14、已知直线经过第一，二，四象限，那么直线不经过第_________象限． 15、两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往地，同时乙步行从地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离与时间之间的函数关系，且与相交于点．下列说法： ①与的函数关系是；    ②点表示甲、乙同时出发0.5小时相遇； ③甲骑自行车的速度是18千米/小时；       ④经过或小时，甲、乙两人相距5千米． 其中正确的有 （填序号） 16、如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 18、已知一次函数的图象过，两点. （1）求这个一次函数的关系式； （2）试判断点是否在这个一次函数的图象上. 19、在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回，设汽车从甲地出发时，汽车与甲地的距离为，与的函数关系图象如图． （1）求汽车从甲地到乙地和返回过程中，与间的函数表达式； （2）求这辆汽车出发时与甲地的距离． 20、如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1， （1）关于x，y的方程组 的解是　 　； （2）a＝　 　； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积． 21、某服装店购进甲、乙两种服装，两种服装的进价、售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 35 70 售价（元/件） 65 110 该店决定用不多于6300元购进这两种服装共100件． （1）求购进甲种服装最少多少件？ （2）该店购进甲种服装多少件时，全部销售后能获得最大利润，最大利润多少元？ 22、学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 　 　； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 　， 　； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 　时，y随x的增大而增大； ②方程有 　个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 　． 23、如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点，与y轴相交于点．  (1)求直线l的函数表达式； (2)在y轴上是否存在点M，使是等腰三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24、在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线与交于点E． (1)若点E坐标为． ①求m的值； ②点P在直线上，若，求点P的坐标； (2)点F是线段的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使为以为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $