精品解析：广西南宁市第三中学2025—2026学年度春季学期期中质量监测七年级数学

2025—2026学年度春季学期期中质量监测 七年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ） A. 减少 B. 不变 C. 减少 D. 增加 6. 如图，点，是直线外两点，点是直线上一点，已知，，所以与重合的理由是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 过一点只能作一条垂线 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 两锐角之和一定是钝角 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 8. 将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 9. 如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 南宁青秀山某观景台地面为正方形，面积为，则其边长为______米． 14. 若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是_____． 15. 2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 16. 如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算或解方程组 （1）计算： （2）解方程组： 18. 填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，，． 请你说明：． 解：∵，（已知） ∴，（ ） ∴ ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵，（已知） ， ， ∴ ，（等式的性质） ∴，（ ） ∴．（ ） 19. 如图，若三角形．是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，且，，． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标 ； （3）直接写出三角形的面积 ； （4）点在轴上，若三角形的面积为，直接写出点的坐标 ． 20. 老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 （1）完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 （2）根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 （3）综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________． 21. 随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟 （注：配送总时长＝行驶时长＋固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元． 素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： （1）任务1：现有一份紧急文件需要从地送往地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离） （2）任务2：根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？ （3）任务3：根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的载重最大？最大载重是多少？ 22. 【学习探究】我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程的每个解对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． （1）【实践探究】探究二元一次方程的图象． ①在表格中列出二元一次方程的解： x … 0 b 2 … y … a 0 1 … 写出______，______． ②将表中每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：(______，______)，，，(______，______)，…请你在平面直角坐标系（图1）内描出以上各点； ③过这些点中的任意两点画直线，请写出你发现的一个结论：______； （2）【拓展探究】探究方程组的解与图象的联系． ①请你在如图2所示的平面直角坐标系中直接画出方程和的图象，通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是______； ②请简单说明方程和的图象的交点坐标与方程组的解之间的联系． 23. 【综合与实践】 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点分别在直线上，． （1）如图1，直接写出________． （2）如图1，若，求的大小； （3）如图2所示，李明将一个含角的直角三角形的顶点与点重合，点落在直线上，顶点固定不动，将点在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即保持不变，直角三角尺固定不动且，当点运动到点重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请求出的大小（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度春季学期期中质量监测 七年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、2026是整数，是有理数，不符合题意； B、是整数，是有理数，不符合题意； C、是分数，是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意． 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是D选项． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号即可判断所在象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符合第四象限点的坐标符号特征，点在第四象限． 4. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、含一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题意； B、是二元一次方程，故符合题意； C、是一元一次方程，故不符合题意； D、含未知数的项的从次数是2，不是二元一次方程，，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ） A. 减少 B. 不变 C. 减少 D. 增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 6. 如图，点，是直线外两点，点是直线上一点，已知，，所以与重合的理由是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 过一点只能作一条垂线 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：，， 根据在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直得到与重合， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线的性质，熟练掌握在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 7. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 两锐角之和一定是钝角 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，对顶角相等，逐项判断，即可． 【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，原命题为假命题，故本选项不符合题意； B、两锐角之和不一定是钝角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，为真命题，故本选项符合题意； D、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； 8. 将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点平移的坐标变化规律，掌握点的坐标变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故选C． 9. 如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合点A和点的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵点平移后的对应点是， ∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∵点， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 所列方程组为：． 故选：C． 11. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ．     故选：A． 12. 我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 南宁青秀山某观景台地面为正方形，面积为，则其边长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形面积公式得到边长的平方等于面积，结合边长为正数，求面积的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：设正方形观景台的边长为米，， 根据正方形的面积公式可得， ， ． 14. 若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义；关键是将解代入方程求参数；将给定的解代入方程，通过求解一元一次方程得到的值. 【详解】解：将解代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：． 15. 2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象可得点的坐标为 16. 如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数为______． 【答案】54°##54度 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，然后根据矩形的定义及角的运算可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：54°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质、角平分线的定义、角的运算． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算或解方程组 （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的除法、立方根的法则化简，再计算加减即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为． 18. 填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，，． 请你说明：． 解：∵，（已知） ∴，（ ） ∴ ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵，（已知） ， ， ∴ ，（等式的性质） ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】先证明，再证明 再利用角的和差关系证明 证明，从而可得结论. 【详解】解：∵，（已知） ∴，（同旁内角互补，两直线平行） ∴，（两直线平行，内错角相等．） 又∵，（已知） ， ， ∴ ，（等式的性质） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握“平行线的性质与平行线的判定方法”是解本题的关键. 19. 如图，若三角形．是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，且，，． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标 ； （3）直接写出三角形的面积 ； （4）点在轴上，若三角形的面积为，直接写出点的坐标 ． 【答案】（1） 解：∵点经过平移后的对应点为，， ∴向左平移个单位，向下平移个单位， ∴，，对应点为，，， 连接即可， 如图： ∴三角形即为所求； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（）利用平移变换的性质分别作出对应点即可； （）根据点的位置写出坐标即可； （）利用分割法把三角形面积看成长方形的面积减去周围三个直角三角形面积即可； （）设，构建方程求出即可； 本题考查了平移后的点坐标，解一元一次方程，坐标与图形，平移作图，判断平移方式，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（）得， 故答案为：； 【小问3详解】 三角形的面积为， 故答案为：； 【小问4详解】 设， ∴，解， ∴或． 20. 老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 （1）完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 （2）根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 （3）综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）相等或互补 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质进行证明即可； （2）根据图形以及平行线的性质进行证明即可； （3）由（1）（2）的结论可得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结合（1）（2），可知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 21. 随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟 （注：配送总时长＝行驶时长＋固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元． 素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： （1）任务1：现有一份紧急文件需要从地送往地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离） （2）任务2：根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？ （3）任务3：根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的载重最大？最大载重是多少？ 【答案】（1）； （2）单； （3）①共有4种满足条件的采购方案，分别为：方案一：旋翼A型无人机2台，旋翼B型无人机7台；方案二：旋翼A型无人机5台，旋翼B型无人机5台；方案三：旋翼A型无人机8台，旋翼B型无人机3台；方案四：旋翼A型无人机11台，旋翼B型无人机1台； ②采购旋翼A型无人机2台，旋翼B型无人机7台的方案一载重最大，最大载重为 【解析】 【分析】（1）本题主要考查等量关系式“时间路程速度”． （2）本题主要考查二元一次方程组的应用． （3）本题主要考查二元一次方程的整数解． 【小问1详解】 解：传统骑手的送货时间为（时），（分）； 无人机送货时间为（时），（分）； （分）， ∴使用“无人机”比“传统骑手”节省分钟． 【小问2详解】 解：设使用“无人机”配送单，使用“传统骑手”配送单． 则， 解得， ∴咖啡店使用“无人机”配送了单． 【小问3详解】 解：①设购买旋翼型无人机台，旋翼型无人机台． 则，解出整数解． 方案一：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案二：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案三：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案四：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台． ②旋翼型无人机与旋翼型无人机的载重为：， 分别将①中数据代入： 当时，，（）； 当时，，（）； 当时，， （）； 当时，，（）； 综上所述，当按照旋翼型无人机2台，购买旋翼型无人机7台的方案一购买时，载重最大，最大载重为． 22. 【学习探究】我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程的每个解对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． （1）【实践探究】探究二元一次方程的图象． ①在表格中列出二元一次方程的解： x … 0 b 2 … y … a 0 1 … 写出______，______． ②将表中每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：(______，______)，，，(______，______)，…请你在平面直角坐标系（图1）内描出以上各点； ③过这些点中的任意两点画直线，请写出你发现的一个结论：______； （2）【拓展探究】探究方程组的解与图象的联系． ①请你在如图2所示的平面直角坐标系中直接画出方程和的图象，通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是______； ②请简单说明方程和的图象的交点坐标与方程组的解之间的联系． 【答案】（1）①，1； ②，，1，0； 在平面直角坐标系（图1）内描出各点如图所示： ③这些点在同一条直线上 （2）①； 如图2所示， ②方程和的图象的交点坐标是方程组的解 【解析】 【分析】（1）①分别把，，代入中求出对应的x和y的值即可得到答案；②根据①所求填空并描出对应的点；③过这些点中的任意两点画直线，观察图象即可得出结论； （2）①仿照（1）画出对应的图象，并找到交点坐标即可；②根据交点坐标满足两个方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：①代入到方程，则， 解得， ∴； 代入到方程，则， ∴； ②略； ③过这些点中的任意两点画直线， 发现：这些点在同一条直线上； 【小问2详解】 解：①略； 通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是； ②方程和的图象的交点坐标是方程组的解． 23. 【综合与实践】 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点分别在直线上，． （1）如图1，直接写出________． （2）如图1，若，求的大小； （3）如图2所示，李明将一个含角的直角三角形的顶点与点重合，点落在直线上，顶点固定不动，将点在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即保持不变，直角三角尺固定不动且，当点运动到点重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请求出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求出，，根据，求出结果即可； （2）根据（1）可得：，根据，列出方程，解方程即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； 【小问1详解】 解：过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 根据（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴； 综上分析可知：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $