精品解析：甘肃省白银市2026年九年级第二次诊断考试数学试卷

白银市2026年九年级第二次诊断考试 数学试卷 注意事项： 1.全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年末，白银市常住人口约为人，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是一个正方体的平面展开图，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为( ) A. B. 4 C. 0 D. 5. 如图， 与相交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 7. 如图，为半圆的直径，四边形内接于半圆．为延长线上一点，切半圆于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 每年的4月23日为“世界读书日”，读书能丰富知识，陶冶情操，提高文化底蕴．某校对学生最喜欢的书籍种类进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是200 B. 全校1800名学生中，最喜欢历史类的大约有270人 C. 扇形统计图中，文学类所对应的圆心角是40° D. 被调查的学生中，最喜欢科幻类书籍的人数最多 9. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解___________． 12. 方程的解是__________． 13. 若点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，其中，则_______．（填“”“”或“”） 14. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为________． 15. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 16. 如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形如此下去，记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，根据上述规律，则第7个正方形的边长为_____． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米． （1）尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）当时，求立柱的长． 21. 如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． （1）直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； （2）若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 22. 如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． （1）求点的垂直高度(精确到)； （2）求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某市为加强学生科技创新意识，现举行全市科普知识大赛，校、校各派出名选手组成代表队参加比赛．两校派出选手的比赛成绩如图所示． 整理分析数据如下表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 校 校 根据以上信息，解答下列问题： （1）_______；b＝________． （2）填空：（填“校”或“校”） ①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是_____； ②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是_____． （3）请分析哪个学校派出的代表队选手的成绩较稳定． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 25. 如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接． （1）求证：是半圆的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 26. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在四边形中，，连接． 猜想验证：保持不动，将绕点A 顺时针旋转，点C的对应点为．直线与直线相交于点O．完成下面的探究： （1）如图2，当时，判断四边形的形状并说明理由； （2）在旋转的过程中，线段与的数量关系是否发生变化，请借助图3说明理由； 深入探究： （3）如图4，保持不动，将沿方向平移，使A的对应点恰好落在的中点处，点C对应点为．再将绕点顺时针旋转．在旋转的过程中，当两三角形的重叠部分为以点为顶角顶点的等腰三角形时，底边的长为 （直接写出结果）． 27. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设的面积为，的面积为，求的值； （3）如图2，是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，过抛物线的顶点作直线轴，是直线上一动点．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市2026年九年级第二次诊断考试 数学试卷 注意事项： 1.全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 截至2025年末，白银市常住人口约为人，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项定义、积的乘方法则、单项式除以单项式法则、完全平方公式，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并， ∴A错误； 选项B：∵， ∴B错误； 选项C：∵，与等式右边一致， ∴C正确； 选项D：∵， ∴D错误． 4. 如图，这是一个正方体的平面展开图，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为( ) A. B. 4 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：依题意，与是相对面，与是相对面，与是相对面， 相对面上的两个数互为相反数， ， ． 5. 如图， 与相交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键． 由平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再结合即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 6. 已知函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先利用一次函数的性质得，再计算判别式的值得到，根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：由图象得， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 如图，为半圆的直径，四边形内接于半圆．为延长线上一点，切半圆于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，切线的性质定理，三角形内角和定理，等边对等角． 连接，根据切线的性质定理得到，根据得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵切半圆于点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 每年的4月23日为“世界读书日”，读书能丰富知识，陶冶情操，提高文化底蕴．某校对学生最喜欢的书籍种类进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是200 B. 全校1800名学生中，最喜欢历史类的大约有270人 C. 扇形统计图中，文学类所对应的圆心角是40° D. 被调查的学生中，最喜欢科幻类书籍的人数最多 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和折线统计图， 根据喜欢科幻类书籍的学生人数和所占百分比可得样本的总人数，判断A；先求出样本中喜欢历史类书籍的百分比，再乘以总人数，判断B；先求出喜欢艺术类热人数，即可求出喜欢文学类书籍的人数，再用乘以喜欢文学类书籍所占的百分比，判断C；最后比较可得判断D． 【详解】解：∵， ∴本次调查的样本容量为200， 所以A正确，不符合题意； ∵（人）， ∴全校1800名学生中，最喜欢历史类的大约有270人， 所以B正确，不符合题意； ∵最喜欢艺术类的有（人）， ∴最喜欢文学类的有（人）. ∵， ∴扇形统计图中，文学类所对应的圆心角是54°， 所以C不正确，符合题意； ∵， ∴被调查的学生中，最喜欢科幻类书籍的人数最多． 所以D正确，不符合题意． 故选：C． 9. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长． 【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得， ， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 的长为， 该男生此次掷实心球的成绩是． 故选：B． 10. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】点Q运动到点B处时，为4，即为4，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8，证明，求出、，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，为4，即为4， 如图，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原式先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 方程的解是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路为将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解一元一次方程后检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时， ， 所以是原分式方程的解． 13. 若点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，其中，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数图象的性质判断和的正负，进而比较两者大小． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ 反比例函数的图象分别位于第一、三象限，第三象限内点的纵坐标为负，第一象限内点的纵坐标为正． ∵ ， ∴ 点在第三象限，点在第一象限， ∴ ，即． 14. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：的长为 ． 故答案为： ． 15. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 16. 如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形如此下去，记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，根据上述规律，则第7个正方形的边长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，然后找出规律，据此即可求解． 【详解】解：∵正方形中，， ∴在直角中，， ∴， 同理， ； ••• 故找到规律， 当时，． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式①：， 两边同乘以2，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解不等式②：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 所以，不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米． （1）尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）当时，求立柱的长． 【答案】（1）如图，线段即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作平分交于点D，线段即为所求； （2）证明，利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，平分， ， ， （米）． 21. 如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． （1）直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； （2）若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏公平，理由 解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【小问1详解】 解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． （1）求点的垂直高度(精确到)； （2）求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形中正弦函数的定义，直接计算点的垂直高度； （2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，将未知线段转化为含山体高度的表达式，再结合角的三角函数关系列方程求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ． 答：点的垂直高度约为． 【小问2详解】 解：过点作于点， ，， ∴四边形是矩形， ，． 设山体的垂直高度，则． ，， 是等腰直角三角形， ． 在中，， ， ． 在中，，， ， 解得． 答：山体的垂直高度约为． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某市为加强学生科技创新意识，现举行全市科普知识大赛，校、校各派出名选手组成代表队参加比赛．两校派出选手的比赛成绩如图所示． 整理分析数据如下表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 校 校 根据以上信息，解答下列问题： （1）_______；b＝________． （2）填空：（填“校”或“校”） ①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是_____； ②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是_____． （3）请分析哪个学校派出的代表队选手的成绩较稳定． 【答案】（1）， （2）①校；②校 （3）从两校比赛成绩的方差的角度来比较，校派出的代表队选手的成绩较稳定 【解析】 【分析】（1）根据条形图将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可； （2）从表中数据，利用平均数和中位数和众数的意义可得出答案， （3）计算出A、B校成绩的方差，根据方差的意义可得答案． 【小问1详解】 解：将校名选手的成绩重新排列为：、、、、， ∴中位数，众数， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是A校； ②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是B校． 【小问3详解】 解：∵， ， ∴， ∴校派出的代表队选手成绩较为稳定． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将一次函数与反比例函数的交点横坐标代入一次函数中，解出点的纵坐标，再将点的坐标代入到反比例函数中求解． （2）联立一次函数和反比例函数的解析式，解出B点坐标．利用方程思想，设出点坐标，利用求出答案． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ． 将点代入，得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：联立方程组，解得或， ∴， 在中，令，解得， ∴． 设，如图， ∵， 即， ， ∴或， 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及平面直角坐标系求面积问题，解题关键点交点的坐标是联立两个函数解出的解；平面直角坐标系中求图形的面积时要和点的坐标建立联系，结合方程思想解题． 25. 如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接． （1）求证：是半圆的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， 设半圆的半径为， 解得（负值不合题意，舍去）， 阴影部分的面积． 26. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在四边形中，，连接． 猜想验证：保持不动，将绕点A 顺时针旋转，点C的对应点为．直线与直线相交于点O．完成下面的探究： （1）如图2，当时，判断四边形的形状并说明理由； （2）在旋转的过程中，线段与的数量关系是否发生变化，请借助图3说明理由； 深入探究： （3）如图4，保持不动，将沿方向平移，使A的对应点恰好落在的中点处，点C对应点为．再将绕点顺时针旋转．在旋转的过程中，当两三角形的重叠部分为以点为顶角顶点的等腰三角形时，底边的长为 （直接写出结果）． 【答案】（1）四边形为正方形． 理由如下； ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2），的关系不变， 理由如下； 如图3，连接， 由旋转的性质可知， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的关系不变； （3）或2 【解析】 【分析】（1）由，可知是直角三角形，，由，，可证四边形为正方形； （2）如图3，连接，证明，则，进而可得，然后作答即可； （3）由旋转的性质可知，，旋转的过程中，两三角形的重叠部分且以点为顶角顶点的等腰三角形记为，如图4，5；如图4，在上取使，连接，作于，于，作于，则四边形是矩形， ，则，证明，则，即，可求，，同理，，由勾股定理得，，由，可求，由，可求；如图5，作于，由上可知，；然后作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由旋转的性质可知，， 旋转的过程中，两三角形的重叠部分且以点为顶角顶点的等腰三角形记为，如图4，5； 如图4，在上取使，连接，作于，于，作于，则四边形是矩形， ∴是以为顶角的等腰三角形， ∵是以为顶角的等腰三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 同理，， 由勾股定理得，， ∴，即,， 解得，， ∴， 解得，； 如图5，作于， 由上可知，，且； 综上所述，底边的长为或2． 【点睛】本题考查了正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 27. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设的面积为，的面积为，求的值； （3）如图2，是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，过抛物线的顶点作直线轴，是直线上一动点．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出的值即可． （2）设，用待定系数法求出直线，直线的函数解析式，然后与抛物线的解析式联立成方程组，求出的坐标，最后用的代数表示出，的面积即可． （3）设直线为，把点的坐标代入该解析式，可求出，的等量关系，然后把直线与抛物线联立成方程组，根据韦达定理，可得出，的横坐标的和与积关于的代数式，然后作点关于直线的对称点，连接，，根据将军饮马模型，可知，再用的代数式表示，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由，可知点，， 设，直线为， 则，解得， ， 联立得 解得或， ， 设直线为， 则，解得， ， 联立得， 解得或， ， ， ． 【小问3详解】 解：由，可知抛物线的对称轴为直线，顶点，点， 设直线为，由， 得， ， ， 设，， 联立直线与抛物线得， 得， ∴ 根据根与系数的关系，可得，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，， 由题意得直线，则， ， 过点作于点，则， ，， 在中， ， 即当时，，此时， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $