安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期期中质量测评数学试题 A卷

临化中学2025—2026学年（下）高一期中质量测评 数学试题A卷 命题人：王露杰 审题人：屈金涛 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 向量 （ ） A. B. C. D. 2. 已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为( ) A. B. C. 4 D. 3. 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 4. 已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 在复平面内，对应的点位于第三象限 C. 的虚部为 D. 10. 正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（ ） A. 是正六面体 B. 正方体的边长为2 C. 与正方体的表面积之比是 D. 平面与相交所得截面的面积是 11. 如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（ ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则等于________． 13. 如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 14. 如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，与的夹角是 （1）计算； （2）当与的夹角为钝角时，求的取值范围. 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 17. 在中，分别是角的对边，且． （1）求角B的大小； （2）若，，求a的值． 18. 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． （1）求证：平面 （2）若，求四棱锥的表面积． （3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 临化中学2025—2026学年（下）高一期中质量测评 数学试题A卷 命题人：王露杰 审题人：屈金涛 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）（2）且 【16题答案】 【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值. 【17题答案】 【答案】（1）（2）1或3 【18题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连， 因为点为中点， ，且， 同时因为分别是边的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面平面， 平面. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明: ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面， ∴平面平面. （2）证明： 由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案A临化中学2025-2026学年（下)高一期中质量测评 一、单选题 1.【答案】A 【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得AB+BO+OM+MB+BC=AC 故选：A 2.【答案】A 【详解】由余弦定理可得7=a2+b2-2 ab cos C=(a+b)2-3ab=16-3b,所以ab=3. 所以s=):absinC=x3x5_35 24 故选：A. 3.【答案】c 【详解】设圆台的母线长为1，上，下底面的半径分别为r,R,则1=+ 2 圆台的侧面积为π(r+R)1=2πl=32π，解得1=4 故选：C 4.【答案】D 【详解】自学位向票码的夹角为，可付-月-L百=1c警-一片 又由a=e,+22,b=2g-e2, 可得同=@+2a=同+466+g=1+4×(分+4-5 且ā-6=（日+28）2g-6)=2g+3g6-28=- 3 所以向量万在a上的投影数量为a.b_ 5.【答案】D 【详解】因为a,b满足a-=3,同=2。 所以a-=(a-}=a-2a.6+b=46-2a6+6=9, 所以a69,所以a-a--ad6.93 2 2 2 +2 由夹角公式得osa-五ad- (a-i)a 39 2 当双当抖，的5时g饺2 试卷第1页，共8页 因为(a-i,ae[0,],y=cosx在x∈[0，上单调递减， 所以a-6.a0周 即明=5时，a-五@最大为名 此时d=225. 故选：D 6.【答案】C 设40与驱交于点G,连接G,如图所示，因为为4D的中点，则A加 由四边形ABCD是菱形，可得AD/IBC,则△AEG~ACBG, 所以瓷长古两以名专 AC 3 又因为PCII平面BEF,PCC平面PAC,平面BEFO平面PAC=GF, 所以G1PC,所以左4P-4C=3. AF AG 故选：C 7.【答案】A 【详解1由已知得：而-而+0证+a0亚号c,设而=0，所以0-品孤+立正， 又点《0出三点类，似立立1，解网-2，所以40-子那+c亚亚还-还， 又c-A+Ac=ac-4, 所以西c-6aoc-6得+c(ac-丽-西c-+c, 所西c,即丽：c,所以把5 2 故选：A 8.【答案】B 【详解】如图所示，取AD的中点M,连接AM,BM,AB, 在正方体ABCD-ABCD中，可得ADI/B,C1且AD=B,C, 因为E,F分别是棱AD,B,C1的中点，则AE//B F且AE=B,F, 所以四边形ABFE为平行四边形，则AB,I/EF, 又因为AB,文平面BEF,EFC平面BEF,所以AB/I平面BEF, 同理可证：AM/平面BEF, 试卷第2页，共8页 因为AB,∩AM=A,且AB,AMc平面AB,M,所以平面ABM/I平面BEF, 又因为AMc平面AADD,当P∈AM时，则BPC平面ABM,所以BPII平面BEF,所以点P在侧面A4DD内 的轨迹为线段AM, 因为正方体ABCD-ABCD的边长为2，可得AM=BM=√5，AB=2√2， 在△8中，可得cosMB2XNS55且AMcs∠AR-55-AM, 5+5-81 则sin∠AMB= 2W 5 ,所以AP的最小值为Msin∠AB=5x26250 55 故选：B. D M B 二、多选题 9.【答案】BD 【详解】解：由+3-i,得z+3=-i2-), z-1 所以：-3-0=0-D-1-,3+1=24-1+21,所以A错误： 1+i4+i)1-i) 2 2 所以z=-1-2i在复平面所对应点在第三象限，所以B正确： z=-1+2i的虚部为2，所以C错误： =V-)2+22=V5,所以D正确， 故选：BD 10.【答案】BCD 【详解】对于A,如图，2是各棱长均相等的正八面体，所以A错误： 对于B,设正方体ABCD-ABC1D的边长为a,?是正八面体，且NGMH是底面是对角线长为a的正方形，上下 11 棱锥的高都为号，则Q的体积为××axa×号×2口-{所以a=2,所以 32 2 6 对于C,正方体ABCD-ABCD的表面积是6×2×2=24,2的各个侧面的棱长都为√2等边三角形，所以2的表面 积是8x×2×2×545,所以45_5，所以C正鸦 2 246 对于D,如图平面ACCA与R相交所得截面EQFP,P、2分别是M、NG的中点， 试卷第3页，共8页 且0、Qr、m、PE相等，QPQWIPE,四边形OP是菱，形F=-2PQ=VD,共面积为分×2xV5-V5, 所以D正确. 故选：BCD. D E 、B N← M D A 6 11.【答案】ABC 【详解】A:因为AD⊥BC,AD⊥DB',且DC∩DB'=D,DC,DB'C平面DB'C,所以AD⊥平面DBC,故A 正确： B:由已知三楼催4-DBC的体积-令2mAD-号}DCD3:nAD=- sin∠BDC, 48 所以当∠BDC=SO°，即DB⊥DC时，三棱锥A-DBC的体积最大，最大值为Y5,故B正确： 48 C:当∠BDC=60°时，△DB'C是等边三角形，且eABC是以B'C为底的等腰三角形， 设B'C的中点为E,连接AE, 则AE⊥BC,即AE为点A到B'C的距离，AE= V- 5, 故C正确： 4 D:当∠BDC=90°时，CD⊥DB',CDL AD,且AD∩DB'=D,AD,DBC平面ADB', 故CDL平面ADB,则CD就是点C到平面ADB的距离，且CD?,故D错误 故选：ABC 三、填空题 12.答案3√3 解析如图，作AC∥OB,BC∥OA,AC与BC交于点C,由OA=OB=3,可知四边形OACB为菱形.连接OC,AB, 则OC⊥AB,设垂足为D. 试卷第4页，共8页 ∠AOB=60°，∴AB=|0A=3, :在Rt△BDC中，CD-3Y 0A+0i0G-y9×2=35 13.【答案】号a+万+0 【详解】延长AM,交BC于点D,因为M为△ABC的重心，所以D为BC的中点，且M= 3 则o丽-aA+孤-a+而-a+号丽+0 =a+5o丽-oi+oc-o网-a+6-a+i-05a+i+0. 14.【答案】2 【详解】由已知向量亚与向量AF共线，故可设AP=AF, 所以CP=AP-AC=AF-AC, 因为2aP-心，所以BF-Bc-aC-©)， 故亚-西+歌-西+c-西)峦+c, 3 所似m-领+c03c， 3 3 又CP=xAB+yAC,AB,AC不共线， 由半面向量基本定理可得、《受、：号。 3, 前2号22号2 故答案为：2 四、解答题 15【答案】4W16g27且k7号 【详解】由题意a.6-a5keos120-4x8x(分-16， (1)a+=(a+2=+2a.6+6=42+2×(-10+82=48, a+=4W5, 4-2-(4a-2b2=16-16a.6+462-16×42-16×(-16+4×82-768, 试卷第5页，共8页 ∴4a-26=16W5。 (2)(a+2-(ka-=ka+(2k-1)a.万-2b2=16k-16(2k-1)-128=-16k-112<0,k>-7, 又k=时，a+3与a-方向相反， 7且k学 16【答突】1)名：2②》行时，f取到最大值2.=0时.问取到最小值- 3 【详解】解：(1)因为a1b, 所以a.b=√3sinx-cosx=0, 于是tanx=simx-V3 cosx 3 又xc[0,,所以x=若： (2)f(x)=a.B=(sinx,cosx)(-1) =√5sinx-cosx 因为xe[0小，所以x-严∈厂E.5x] 6e66 从而-1s2君引}2 于是，当吾-号即x行时，f儿取到最大值2， 当-名，即=0时，f(取到最小值1 17.【答案】(1)B=2π 3 (2)1或3 【详解】解：(1)由正弦定理得 b s咖sin B"sinc-2R,得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入CosB sin B cosC 2sin A+sinC 即2，sinAco.sB+sinCco..sB+cosCsinB=0, 化简得：2si4cosB+sin(B+C)=0, :A+B+C=π， ..sin(B+C)=sinA, .∴2 sinAcosB+siA=0, 试卷第6页，共8页 siA≠0，.cosB=2 1 又：角B为三角形的内角，B=2 (2)将b=13,a+c=4,B=2z 3 代入余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B,得 2π 13=a2+(4-a2-2a(4-a)cos 3 .a2-4a+3=0, a=1或a=3. 18.【答案】(1)i证明见解析(2S=2+53) 2 【详解】(1)取AB中点N,连DN,MN, 因为点M为A'C中点， MNI/BC,且N=BC, 2 同时因为DE分别是边AB,AC的中点， .DBI/BC,且DE=2BC, NI/DE,N=DE,.四边形NDE是平行四边形， .ME //ND, 又NDC平面A'BD,ME丈平面A'BD, .ME/I平面A'BD (2)AB=√2，AD=DB=1,AD+DB2=A'B2, .∠A'DB=90°， Sam=8层专 根据对称性有A'C=A'B=√2，而BC=2, 所以AC2+AB2=BC2, 所以∠CAB=90°， 1 所以Se=2ABAC=1, 而Sa+S=Sau-52-5. 4 四技链4-BC0E的面积5=分1：8=2+5 (3)由(1)知ME/I平面ABD, ST=平面A'BD∩平面MEST,MEc平面MEST, 试卷第7页，共8页 :ME/IST, S.as=S.ast=1.S.as=1 又ST/IDN, S.agTA'S1.A's S4DN AD-2 A'D 2 19.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 a 【详解】(1)：AQ//DF,DFC平面DEF,AQC平面DEF,∴.AQ/1平面DEF. ,AG/1平面DEF,AQ/I平面DEF,AG∩AQ=A,AGC平面AGQ,AQC平面AGQ, .平面AQG/平面DEF. (2)由(1)知：平面AQG/1平面DEF 又平面BCP∩平面DEF=EF,平面BCP∩平面AQG=QG, ∴.QG/1EF (3):PD=DA,点D是PA的中点 4011DF,51,点P是P9的中点，PF=0 “船阳=，且三棱谁P-C各棱长均为1，六5=5-， .PE=1-1,FQ=,P9=21,C0=1-2 :点0在0上，1-2>0，解得1<号 Gc-28c,cG-5-(P-p0) .EF=PF-PE=IPC-(1-A)PB o0-西-cG=0-2cm-(丽网)-2A-c-西 由(2)知：QG11EF,.GO11EF,.k∈R,使得EF=kGO, 即c-1-丽=)元号网2a死号 1=2-) 3 由平面向量基本定理可得 2k. 3,解得 、1 3 0≤1≤1 k=1 1 2 综上所述，1的值为行 试卷第8页，共8页