精品解析：宁夏吴忠市盐池中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

盐池中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 总分150分 答题时间120分钟 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可. 【详解】易知， 所以. 故选：A. 2. 某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若选择的门课程为人文社科、自然科学，则有种选法， 若选择的门课程为人文社科、艺术体育，则有种选法， 若选择的门课程为自然科学、艺术体育，则有种选法， 由分类计数原理可知，不同的选课方案种数为. 3. 已知乘积展开后共有60项，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式相乘时，展开式的项数等于每个括号里的项数相乘求解即可. 【详解】因为第一个括号有2项， 第二个括号有3项， 第三个括号有项， 所以展开式共有项， 所以. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 5. 4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（ ） A. 4种 B. 15种 C. 16种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【详解】4人同时被邀请参加一项活动，参加活动共有种方法， 若没人去，则只有种，故至少有1人去参加活动的方法种数为. 6. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式进行求解. 【详解】由题，展开式的通项为， 令，所以展开式中常数项为. 故选：C. 7. 的展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第6项 B. 第3项 C. 第3项和第6项 D. 第5项和第7项 【答案】D 【解析】 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 8. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数， 对于选项C，，， 故是偶函数，不符合，排除C； 对于选项A，，求导得， 故在上单调递增， 不符合图像中时先增后减的趋势，排除A；  根据图像，极大值点在左侧， 对于选项B，，求导得， 令，得， 1 0 单调递增 单调递减 故的极大值点为，不符合图像，排除B. 二、多选题 9. 下面导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由导数的四则运算逐项判断即可. 【详解】由导数的运算公式，得： ， AD错误，BC正确． 10. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 11. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 可能有三个极值点 B. 若，则在上单调递减 C. 若，则的极大值点为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导数的图象研究函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解. 【详解】由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点， 所以可能有三个极值点，A正确． 若，，由图可得当时，，单调递减，B正确． 若，，由图可得当时，， 当时，，所以的极大值点为，C正确． 若，则，由图可得， 得或，所以或，D错误． 故选：ABC 三、填空题 12. 曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，则， 直线的斜率为， 依题意可得，解得. 故答案为： 13. 即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式． 【答案】54 【解析】 【分析】考虑利用分布乘法计数原理的应用，结合“特殊元素（特殊位置）优先法”解决问题. 【详解】第一步：考虑小明只能坐在后排，所以小明的坐法有：种； 第二步：考虑驾驶座的坐法，只能从3人中选1人，有：种； 第三步：其他3人，还有3个位置，坐法有：种. 根据分步乘法计数原理，一共有：种不同的乘坐方式. 故答案为：54 14. ________． 【答案】256 【解析】 【分析】由二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，则，可得答案. 【详解】因为,而二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和， 所以， 故答案为：． 四、解答题 15. 已知曲线在点处的切线方程是. （1）求，的值； （2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程. 【答案】（1）；（2）,或. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得，，解方程可得的值；（2）设切点的坐标为，由两直线垂直的条件，斜率之积为，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程. 试题解析：（1）∵的导数， 由题意可得，， 解得，. （2）∵切线与直线垂直， ∴切线的斜率.设切点的坐标为， 则，∴. 由，可得，或. 则切线方程为或. 即或. 16. （1）计算：； （2）计算： ，求； （3）计算：，求. 【答案】（1）0；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用排列数性质计算即可得； （2）利用组合数与排列数性质计算即可得； （3）利用组合数计算即可得. 【详解】（1）； （2）由已知可得，所以， 所以，所以，解得或， 又，即，故； （3）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； 17. 若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. （1）求的系数； （2）求的值. 【答案】（1）180 （2） 【解析】 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 第3项与第9项的二项式系数相等， 则，解得，所以. 所以的展开式中项为：，所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 19. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （3）讨论方程的实数解的个数. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3） 当时，方程有唯一的实数根； 当时，方程有两个不同的实数根； 当时，方程无实数根. 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值； （2）分析可知时，，由此可作出函数图象； （3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果. 【小问1详解】 因为函数定义域为，，又恒成立， 当时，；当时，； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当时，，，则恒成立， 图象如下： 【小问3详解】 方程的根的个数等价于函数与的交点个数； 结合（2）中图象可知： 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与有两个不同交点； 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与无交点； 综上所述：当时，方程有唯一的实数根； 当时，方程有两个不同的实数根； 当时，方程无实数根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐池中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 总分150分 答题时间120分钟 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知乘积展开后共有60项，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（ ） A. 4种 B. 15种 C. 16种 D. 24种 6. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 7. 的展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第6项 B. 第3项 C. 第3项和第6项 D. 第5项和第7项 8. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 可能有三个极值点 B. 若，则在上单调递减 C. 若，则的极大值点为 D. 若，则 三、填空题 12. 曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 13. 即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式． 14. ________． 四、解答题 15. 已知曲线在点处的切线方程是. （1）求，的值； （2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程. 16. （1）计算：； （2）计算： ，求； （3）计算：，求. 17. 若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. （1）求的系数； （2）求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 19. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （3）讨论方程的实数解的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $