精品解析：江苏无锡市玉祁高级中学2025-2026学年下学期期中检测高二数学

无锡市玉祁高级中学2025-2026学年 春学期期中检测 高二数学 时间：120分钟 总分：150分 命题人：糜苏英 审核人：蒋志丽 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 4米/秒 B. 3米/秒 C. 2米/秒 D. 1米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导并代入即可得到答案. 【详解】由，得， 则物体在秒时的瞬时速度米／秒． 故选：A. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数的极小值 B. 的极小值点为 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率等于0 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数极值的定义即可判断A，由极值点的定义即可判断B，由原函数与导函数的关系即可判断C，由导数的几何意义即可判断D. 【详解】对于A，由图可知，导函数在两侧的单调性发生改变， 且在的左侧递减，右侧递增，所以是函数的极小值，故A正确； 对于B，极小值点是的值，而不是一个坐标点，由图象可知，时， 由负变正，则是的极小值点，故B错误； 对于C，由图象可知，时，，则原函数单调递增，故C正确； 对于D，函数在处切线的斜率就是， 由导函数图象可知，所以在处切线的斜率不等于0，故D错误； 故选：AC 3. 已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时， 0 1 2 A. 增大，增大 B. 减小，减小 C. 增大，先增大后减小 D. 增大，先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量满足二项分布，即，易得，所以当且不断增大时，增大，先增大后减小.故选C. 【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键. 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 5. 用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可. 【详解】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种， 舍去，得(负数解舍去). 故选：C. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用单调性列出恒成立的不等式即可求解. 【详解】函数，求导得， 由在区间上单调递增，得，， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，因此， 所以实数k的取值范围为. 故选：B 7. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用概率的性质结合对立事件的概率公式得到，，最后结合条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 而， 由条件概率公式得，故C正确. 8. 设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，即，由函数单调性可得到，解得即可． 【详解】令，， 则由， 可得，故为偶函数， 又当时，，即， 在上为增函数． 不等式化为， ， 由函数单调性奇偶性可知：， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查构造函数法，利用导数判断函数的单调性，考查函数的对称性、单调性、奇偶性的应用，属于综合题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 展开式中，二项式系数的最大值为 C. D. 的个位数字是1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对于C：利用赋值法，令、即可得结果；对于D：因为，结合二项展开式分析求解. 【详解】对于选项A：的展开式的通项为， 令，可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为为偶数，可知二项式系数的最大值为，故B正确； 对于选项C：令，可得； 令，可得； 所以，故C错误； 对于选项D：因为， 且的展开式的通项为， 可知当，均为20的倍数，即个位数为0， 当时，，所以的个位数字是1，故D正确； 故选：BD. 10. [多选]生命在于运动．小兰给自己制订了周一到周六的运动计划，这六天里每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同．另外四种运动项目分别为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，下列说法正确的是（ ） A. 若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法 B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法 C. 若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法 D. 若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，若瑜伽被安排在周一和周六，则共有（种）不同的安排方法，故A错误； 对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法的种数为，故B正确； 对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有（种）不同的安排方法，故C正确； 对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法， 再从5个空位里插入2个，安排练习瑜伽即可，故共有（种）不同的安排方法，故D正确． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数的图象是一个中心对称图形 C. 曲线有且只有一条斜率为的切线 D. 存在实数，，使得函数的定义域，值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判断D. 【详解】因为， 当，所以，可得，且，所以，使得，A选项正确； ，所以函数的一个中心对称为，B选项正确； ，又因为，所以，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误； 令，，所以， 有两个交点，所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则，， 则的展开式中的系数是. 13. 已知函数的单调递减区间是，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由题设易知是的解集，利用根与系数关系求m、n，进而求的值. 【详解】由题设，，由单调递减区间是， ∴的解集为，则是的解集， ∴，可得，故. 故答案为： 14. 已知函数，若曲线上任意一点处切线的斜率非负，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义转化为在上恒成立，通过同构转化不等式后进行参变分离，再构造新函数利用导数求最值得解. 【详解】的定义域为， ，． 由题意，得在上恒成立， 即时，恒成立. 令， ，在单调递增， 若，则恒成立， 若，则由的单调性可得， 故恒成立. 即，令，则， 令，得， 当时，；当时，. 所以在单调递增，在单调递减， ． 所以，即m的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729． （1）求和的值； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式中二项式系数的性质即可得出值，再令即可得到所有项的系数和从而求出值； （2）先写出展开式的通项，设第项的系数最大，从而列出不等式组，再根据的取值范围即可求出值，再代入通项计算即可. 【小问1详解】 因为展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式一共有7项，即. 令，所以所有项的系数和， 因为，解得； 【小问2详解】 的展开式的通项为 ，， 设展开式中第项的系数最大， 则，解得， 因为，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【小问1详解】 设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . 【小问2详解】 随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，应用导数的区间符号研究的单调性； （2）问题化为恒成立，再应用导数研究右侧的最值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设且，则，， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 综上，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由，结合（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 由，则恒成立， 令且，则 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，故，则的取值范围. 18. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】（1） （2），， 0 1 2 3 （3）会得到推广，因为. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【小问1详解】 设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. 【小问2详解】 由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 19. 已知函数，，. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若，对任意的，且，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）证明：. 【答案】（1）， （2） （3） 要证， 即证， 即证且，即证， 令且，则， 所以在上单调递减，则，故， 令，则， 故，得证. 【解析】 【分析】（1）通过曲线在某一点的切线的相关知识直接求解； （2）设，将原表达式化为，构造函数，根据为上的减函数，参变分离求解函数的最值即可； （3）构造且，利用导数研究其在上的单调性，即可证. 【小问1详解】 因为，所以， 因为曲线在处的切线的方程为，则， 所以，解得，； 【小问2详解】 因为，所以，所以函数在上单调递增， 因为，不妨设，则， 因为，所以， 即恒成立， 设， 因为对任意，恒成立， 所以是上的减函数， 因此在上恒成立，即在上恒成立， 函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）． 综上可得， 即的最小值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市玉祁高级中学2025-2026学年 春学期期中检测 高二数学 时间：120分钟 总分：150分 命题人：糜苏英 审核人：蒋志丽 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 4米/秒 B. 3米/秒 C. 2米/秒 D. 1米/秒 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数的极小值 B. 的极小值点为 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率等于0 3. 已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时， 0 1 2 A. 增大，增大 B. 减小，减小 C. 增大，先增大后减小 D. 增大，先减小后增大 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 5. 用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 展开式中，二项式系数的最大值为 C. D. 的个位数字是1 10. [多选]生命在于运动．小兰给自己制订了周一到周六的运动计划，这六天里每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同．另外四种运动项目分别为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，下列说法正确的是（ ） A. 若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法 B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法 C. 若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法 D. 若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数的图象是一个中心对称图形 C. 曲线有且只有一条斜率为的切线 D. 存在实数，，使得函数的定义域，值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是_________. 13. 已知函数的单调递减区间是，则的值为______. 14. 已知函数，若曲线上任意一点处切线的斜率非负，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729． （1）求和的值； （2）求展开式中系数最大的项． 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 18. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 19. 已知函数，，. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若，对任意的，且，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $