精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高一数学

雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高一数学 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，，故中元素的个数为3. 故选：B 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，再确定其虚部即可. 【详解】由，可知的虚部为. 故选：D. 3. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 4. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性求解或，再根据必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由幂函数的定义得，解得或，此时，； 所以当幂函数在上是减函数时，或，充分性不成立； 当时，在上是减函数，必要性成立； 所以幂函数在上是减函数”是“”的一个必要不充分条件. 故选： 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于、的值，结合两角差的正弦公式可求出的值. 【详解】由题意可得，解得， 因此. 故选：B. 6. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可. 【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 7. 若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作平行四边形为三棱锥的截面，根据线面平行的判定定理，以及线面平行的性质，即可得出结果. 【详解】如图所示，四边形为平行四边形，则. 平面，平面， 平面. 又平面，平面平面，. 又平面，CD⊄平面. 平面，同理，平面， 所以与平面(面)平行的棱有2条. 故选：C. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，熟记线面平行的判定定理，以及线面平行的性质即可，属于常考题型. 8. 已知函数，若，且.，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，由数形结合的方法可知，由对称性知，，将所求式化为，利用对号函数单调性可求得所求范围. 【详解】由解析式可得图象如下图所示： 设，由图象可知：， ， 又关于对称，； 由得：，即，， 在上单调递增，， . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的相关知识，解题关键是能够利用数形结合的方式确定所处的范围及对称关系，由此化简所求式，得到一个关于某一变量的函数的形式，利用函数值域的求解方法求得结果. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则不可能是纯虚数 D. 若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为2π 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于B，结合复数的概念求解即可，对于C，结合纯虚数的定义，即可求解，对于D，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】对于A，设，，则， ，，故A正确； 对于B，由于虚数不能比大小，又，可得，都是实数，可得，故B正确， 对于C，当为纯虚数时， 则，无解， 故当，则不可能是纯虚数，故C正确， 对于D，，则在复平面内对应的点的集合确定的图形为以圆心，为半径的圆， 以及圆的内部，其面积为，故D错误． 故选：ABC． 10. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）． A. B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件利用正弦定理边化角，可得，判断A;由三角形为锐角三角形结合A的结论，可求得B的范围，判断B;利用正弦定理表示，结合B的范围可判断C; 利用正弦定理表示，结合B的范围可判断D; 【详解】由题意得， 得， 由于 ,则 , 则，A错误． 因为是锐角三角形，所以 ， 解得，B正确． 由于，故，C正确． ， 由于，，故，故D正确， 故选：BCD 11. 在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，直线与直线的夹角余弦值为 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A，取特殊点判断B，由点到面的距离为定值判断C，点位于或时满足即可判断D. 【详解】对于A，当时，，如图， 所以点为线段的中点，因为， 所以直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角， ， 同理可得，在等腰中，故A正确； 对于B，当时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段上， 当点P是线段的中点时，可知周长为，故B错误； 对于C，当时，点P在线段上， 因为平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，故C正确； 对于D，因为，，，取，中点分别为，， 所以点在线段上运动，当点位于或时，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】应用圆锥侧面积公式计算求出底面半径，再根据圆锥体积公式计算求解. 【详解】设圆锥底面半径为圆锥的高为，圆锥的母线长为10cm，侧面积为， 则，则，所以， 则此圆锥的体积为. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】，则， 因为在区间上恰有3个最小值点， 所以结合余弦函数的性质可得，，得， 则实数的取值范围为. 14. 已知平面向量，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，两边平方化简得，再用向量的三角不等式求的最小值. 【详解】由，向量与所成的角为60°，可得， 由，则， 化简可得对任意实数t恒成立， 令，则恒成立， 由于函数图象抛物线开口向上，所以需要满足， 即，所以. 由向量的三角不等式，有， 又， 则的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质求的最值即可. （2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围． 【小问1详解】 当时，， ∴在上单凋递减，在上单调递增， ∴，. 【小问2详解】 ， ∴要使在上为单调函数，只需或，解得或． ∴实数a的取值范围为． 16. 已知函数 （1）求在上的值域； （2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可； （2）先根据平移变换和周期变换的原则求出的解析式，再根据正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，则， 所以，故； 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度， 可得， 再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍， 得到函数的图象， 由，，可得，， 所以的单调递减区间为，. 17. 已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. （1）求角； （2）若边长，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解. （2）由余弦定理可得结合基本不等式求出，即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得 ， 在中， 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 即 ， ， ，当且仅当时取等号 又 ∴当时，取到最小值为 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长． 【答案】（1） 取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） 当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 19. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”. （1）判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由. （2）若，，且为“位差奇函数”. ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围. 【答案】（1）为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由： 为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由如下： 由，得 ， 函数为奇函数， 对于任意m有为位差奇函数， 又，设， 此时，若为奇函数， 则恒成立，矛盾， 不存在m有为“位差奇函数”； （2） ①证明：由已知，， 因为为“位差奇函数”，所以存在实数m， 使得为奇函数， 即在R上恒成立； 由 恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，即， 因为，所以； ② 【解析】 【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义分别判断即可； （2）①根据题意可得为奇函数，则，化简整理求出的表达式，再结合指数函数的性质即可得出结论； ②分离参数可得，化简分离常数求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①知，，则不等式化为： ，则， 因为 ， 令，则，， 故当时，取到最小值，所以，  故a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高一数学 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 7. 若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条 8. 已知函数，若，且.，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则不可能是纯虚数 D. 若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为2π 10. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）． A. B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，直线与直线的夹角余弦值为 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为_______. 13. 已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 14. 已知平面向量，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围． 16. 已知函数 （1）求在上的值域； （2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间； 17. 已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. （1）求角； （2）若边长，求的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长． 19. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”. （1）判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由. （2）若，，且为“位差奇函数”. ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $