第九章 统计【8大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 题型预览 题型一 总体与样本 题型二 随机数表法与抽签法 题型三 分层抽样 题型四 条形图、折线图、扇形图 题型五 百分位数 题型六 众数、中位数、平均数 题型七 方差、标准差、极差 题型八 频率分布直方图的相关问题 知识清单 全面调查和抽样调查 全面调查 抽样调查 定义 对 每一个 调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中 抽取一部分 个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出 估计 和 推断 的调查方法，称为抽样调查 相关概念 总体：在一个调查中，我们把 调查对象的全体 称为总体． 个体：组成总体的 每一个调查对象 称为个体 样本：我们把从总体中抽取的 那部分 个体称为样本． 样本容量：样本中包含的 个体数 称为样本容量，简称样本量 简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 逐个 抽取n( 1≤n＜N )个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 相等 ，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内 未进入样本的各个个体 被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样 【注意】　简单随机抽样的特点 (1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的． (2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的． (3)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等． 简单随机抽样的方法 1．抽签法 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个 不透明 的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数． 2．随机数法 (1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数． (2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数．②用信息技术生成随机数． 抽签法、随机数法的步骤 总体均值和样本均值 1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝ ＝为总体均值，又称总体平均数． 2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k( k≤N )个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝． 3．样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝ ＝为样本均值，又称样本平均数． 【注意】　总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值． 分层随机抽样的相关概念 1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 简单随机 抽样，再把所有子总体中抽取的样本 合在一起 作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层 样本量 都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 1．分层随机抽样的相关计算的2个关系 (1)． (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．2．分层随机抽样的步骤 第一步，按某种特征将总体分成 若干部分(层) ； 第二步，计算各层所占 比例 ； 第三步，计算各层抽取的 个体数 ； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成总样本． 分层随机抽样中的平均数 1．在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为两层的总体平均数分别为则样本平均数＝ ，总体平均数＝ ． 2．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数．即． 获取数据的基本途径 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查 获取数据 对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验 获取数据 没有现存的数据可以查询 需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察 获取数据 自然现象 要通过长久的持续观察获取数据 通过查询 获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 选择获取数据的途径的依据 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性． 频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 (1)求极差：极差为一组数据中 最大值 与 最小值 的差． (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 5～12 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组． (4)列频率分布表：一般分四列：分组、 频数累计 、频数、 频率 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是 1 ． (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 ．小长方形的面积＝组距× ＝ 频率 ．各小长方形的面积总和等于1． 绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1． (2)横轴表示样本数据，纵轴表这样每一组的频率可以用该组的组距为底、． (3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致． 频率分布直方图具备的性质 (1)因为小长方形的面积＝组距×＝ 频率 ，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于 1 ． (3)样本容量＝． 条形图、折线图、扇形图 (1)条形图 用途：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 优点：当数据量很大时，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目． 缺点：会损失数据的部分信息． (2)折线图 用途：描述数据随时间的变化趋势． 优点：可以表示数量的多少，直观反映数量的增减情况，即变化趋势． 缺点：不能直观反映数据的分布情况． (3)扇形图 用途：直观描述各类数据占总数的比例． 优点：可以直观地反映出各种情况所占的比例． 缺点：看不出具体数据的多少． 【注意】(1)条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率． (2)扇形图是用整个圆的面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数． (3)在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义． 百分位数的定义 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按 从小到大 排列原始数据． 第2步，计算i＝ n×p% ． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 j 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 平均数 ． 3．四分位数 (1)中位数相当于是第 50 百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数． (2)第 25 ，50 ，75 百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． (3)第25百分位数也称为第 一 四分位数或 下 四分位数等，第75百分位数也称为第 三 四分位数或 上 四分位数等． 求百分位数的注意事项 (1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列． (2)计算i＝n×p%后要弄清i是整数还是非整数． 由频率分布直方图估计百分位数的方法 (1)确定百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为 a＋×(b－a) ． 众数、中位数、平均数 1．众数：一组数据中出现 次数 最多的数． 2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在 中间 位置的数(或中间两个数的 平均数 )叫做这组数据的中位数． 3．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 【注意】　(1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个(如1，2，2，3，3，4，5，6这组数的众数是2和3)，还可以没有(如1，2，3，4，5，6这组数就没有众数)． (2)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数． 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数． 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 方差、标准差 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为＝， 标准差为． 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为则称S2＝为总体方差，S＝ 为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k( k≤N )个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为f i(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝． 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为则称s2＝ 为样本方差，s＝ 为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的 离散程度 或 波动幅度 ，标准差越大，数据的离散程度越 大 ；标准差越小，数据的离散程度越 小 ． 对方差与标准差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞). 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 方差和标准差的计算技巧与性质 (1)方差的计算 ①基本公式：s2＝2＋2＋…＋]． ②简化计算公式：s2＝即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． (2)方差和标准差的性质 若把一组数据的每一个数变为原来的k倍并加上或减去常数a，则它的标准差变为原来的k倍，方差变为原来的k2倍，而与a的大小无关． 分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为方差分别为则这个样本的方差为 s2＝ ． 题型突破 题型一 总体与样本 1．（25-26高一下·甘肃武威·月考）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 2．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 5．（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 题型二 随机数表法与抽签法 6．（25-26高二上·上海·月考）现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 7．（25-26高二上·广东中山·月考）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A．42 B．16 C．56 D．06 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 9．（24-25高二下·上海·月考）从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 10．（24-25高三·全国·一轮复习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 题型三 分层抽样 11．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）第15届全运会于2025年11月9日至21日在广州举行，为了解学生对全运会的了解程度，某教育部门从某高级中学的学生中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取300人进行问卷调查，已知该中学高一学生1500人，高二学生2000人，高三学生2500人，则高一年级应抽的学生人数为______. 12．（25-26高二上·上海·月考）第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 13．（25-26高一下·甘肃武威·月考）（多选）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 14．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）某社团有男生名，女生名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则下列说法正确的为（   ） A．该抽样一定不是系统抽样 B．该抽样可能是随机抽样 C．该抽样不可能是分层抽样 D．男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率 15．（24-25高二下·湖南长沙·期末）（多选）下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：（    ） A．某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C．某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 题型四 条形图、折线图、扇形图 16．（25-26高一下·甘肃武威·月考）班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 17．（25-26高一下·贵州遵义·月考）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 18．（2026·安徽安庆·一模）（多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 19．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 题型五 百分位数 20．（2026·江西宜春·模拟预测）某科研团队构建了超导量子计算原型机，为了评估其稳定性，团队记录了6次关键性能测试的保真度数据：0.9992，0.9988，0.9990，0.9987，0.9994，0.9990，则这组数据的75%分位数为（    ） A．0.9988 B．0.9991 C．0.9992 D．0.9994 21．（25-26高二下·上海·期中）已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（    ） A．26 B．6 C．5 D．4 22．（湖南衡南县第二中学等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）2025年湖南工业经济向优向新，新质生产力加速培育壮大．其中航空、航天器及设备制造业，电子及通信设备制造业，医药制造业，存储芯片，储能用锂离子电池，工业控制计算机及系统，工业机器人等分别增长，．则该组数据的分位数为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·湖北宜昌·二模）一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 24．（25-26高三下·江西抚州·月考）一组从小到大排列的数据：，，，，，10，，20，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·河南周口·模拟预测）一组从小到大排列的数据：，，，，.若它们的第百分位数比平均数大，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型六 众数、中位数、平均数 26．（25-26高一下·甘肃武威·月考）（多选）已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（    ） A．中位数是8 B．平均数是6 C． D． 27．（25-26高三下·上海黄浦·月考）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 28．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知一组数据：2，13，10，5，7，，13的平均数为8，则该组数据的中位数为________. 29．（25-26高三上·浙江金华·月考）如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 30．（2025·河北沧州·一模）（多选）某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（   ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A．这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B．这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C．这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D．这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 31．（2025·江苏南通·模拟预测）（多选）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人” ．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：中位数为2，众数为3；      乙地：平均数为2，方差为3； 丙地：平均数为3，极差为5；      丁地：平均数为5，众数为6． 则一定没有发生大规模群体感染的是（    ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 题型七 方差、标准差、极差 32．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）（多选）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（   ） A． B． C． D． 33．（2026·四川资阳·三模）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 34．（2026·江苏扬州·模拟预测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B．若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 35．（江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题）（多选）某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校10名学生一周内的体育锻炼时长（单位：小时），数据如下：5，6，6，7，7，7，8，8，9，10．下列关于这组数据的说法不正确的是（   ） A．中位数为7 B．众数为8 C．平均数为6.8 D．极差为4 36．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若的方差为6.8，则 37．（25-26高二下·陕西西安·期中）某公司为了调查员工的健康状况，用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，若样本中有21名男员工，39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；男员工的平均体重为70kg，标准差为4，则所抽取的所有员工的体重的方差为（   ） A．29 B．81 C．120 D．160 38．（25-26高三下·湖南·月考）已知一组样本数据满足，，则这组数据的方差为__________． 题型八 频率分布直方图的相关问题 39．（25-26高一下·北京·期中）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 40．（2026·天津东丽·一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 41．（2026·江苏·模拟预测）（多选）某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.035 B．成绩在区间内的有15人 C．这100名学生成绩的平均数小于70分 D．这100名学生成绩的第60百分位数为80分 42．（25-26高三下·河南周口·月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 43．（25-26高一下·全国·单元测试）如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图．根据直方图估计： (1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数； (2)该公司员工的月平均收入； (3)该公司员工收入的众数； (4)该公司员工月收入的中位数； (5)该公司员工月收入的第90分位数． 44．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 强化训练 1．（河南安阳市部分学校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题）样本数据5，5，6，7，7，8，9，10的第75百分位数为（    ） A．9 B．8.5 C．8 D．7.5 2．（四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题）某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·青海西宁·月考）数据5，1，2，2，3，4，6的极差为（   ） A．1 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高一下·甘肃金昌·月考）已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（   ） A．5 B．7 C．17 D．25 5．（2026·四川绵阳·三模）（多选）某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损． 成绩／分 5 6 7 8 9 10 人数 8 7 10 7 关于这40名学生的成绩，则（   ） A．众数为9 B．极差为5 C．第30百分位数为6 D．平均数小于中位数 6．（2026·陕西咸阳·三模）（多选）某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 7．（25-26高一上·江西上饶·期末）（多选）上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，⋯，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（    ）    A．第二组的频率为0.016 B．第七组的频率为0.06 C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为 D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为 8．（25-26高二上·贵州毕节·期末）（多选）为了解2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将1000名学生科普竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ）    A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85 9．（2026高一·全国·专题练习）某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据： 年龄(单位：岁) 32 34 38 40 42 43 45 46 48 频数 2 4 20 20 26 10 8 6 4 估计这个学校老师的平均年龄为_____岁. 10．（2026高一·全国·专题练习）已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 11．（25-26高二上·上海黄浦·期末）某校高一年级共有500名学生，学校计划用随机数法抽取30名学生参加一项问卷调查.将500名学生按的顺序进行编号，用下列随机数表进行抽取，从第2行第4个数字开始，按从左到右、从上到下的顺序读取，依次选取符合条件的编号，第2个被选中学生的编号为____________. 12．（25-26高一下·江西景德镇·月考）年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； (3)在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 13．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）广东某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组（，，，，）．    (1)求图中a的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． (2)若根据这次成绩，年级准备淘汰的同学，仅留进入下一轮竞赛，则成绩至少要达到多少分才可以晋级？ (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的2人恰好来自同一小组的概率． 14．（24-25高二上·广西梧州·期中）近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示． (1)求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数； (2)求这人日均体育活动时间不少于的人数； (3)现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计 题型预览 题型一 总体与样本 题型二 随机数表法与抽签法 题型三 分层抽样 题型四 条形图、折线图、扇形图 题型五 百分位数 题型六 众数、中位数、平均数 题型七 方差、标准差、极差 题型八 频率分布直方图的相关问题 知识清单 全面调查和抽样调查 全面调查 抽样调查 定义 对 每一个 调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中 抽取一部分 个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出 估计 和 推断 的调查方法，称为抽样调查 相关概念 总体：在一个调查中，我们把 调查对象的全体 称为总体． 个体：组成总体的 每一个调查对象 称为个体 样本：我们把从总体中抽取的 那部分 个体称为样本． 样本容量：样本中包含的 个体数 称为样本容量，简称样本量 简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 逐个 抽取n( 1≤n＜N )个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 相等 ，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内 未进入样本的各个个体 被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样 【注意】　简单随机抽样的特点 (1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的． (2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的． (3)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等． 简单随机抽样的方法 1．抽签法 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个 不透明 的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数． 2．随机数法 (1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数． (2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数．②用信息技术生成随机数． 抽签法、随机数法的步骤 总体均值和样本均值 1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝ ＝为总体均值，又称总体平均数． 2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k( k≤N )个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝． 3．样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝ ＝为样本均值，又称样本平均数． 【注意】　总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值． 分层随机抽样的相关概念 1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 简单随机 抽样，再把所有子总体中抽取的样本 合在一起 作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层 样本量 都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 1．分层随机抽样的相关计算的2个关系 (1)． (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．2．分层随机抽样的步骤 第一步，按某种特征将总体分成 若干部分(层) ； 第二步，计算各层所占 比例 ； 第三步，计算各层抽取的 个体数 ； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成总样本． 分层随机抽样中的平均数 1．在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为两层的总体平均数分别为则样本平均数＝ ，总体平均数＝ ． 2．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数．即． 获取数据的基本途径 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查 获取数据 对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验 获取数据 没有现存的数据可以查询 需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察 获取数据 自然现象 要通过长久的持续观察获取数据 通过查询 获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 选择获取数据的途径的依据 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性． 频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 (1)求极差：极差为一组数据中 最大值 与 最小值 的差． (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 5～12 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组． (4)列频率分布表：一般分四列：分组、 频数累计 、频数、 频率 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是 1 ． (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 ．小长方形的面积＝组距× ＝ 频率 ．各小长方形的面积总和等于1． 绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1． (2)横轴表示样本数据，纵轴表这样每一组的频率可以用该组的组距为底、． (3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致． 频率分布直方图具备的性质 (1)因为小长方形的面积＝组距×＝ 频率 ，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于 1 ． (3)样本容量＝． 条形图、折线图、扇形图 (1)条形图 用途：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 优点：当数据量很大时，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目． 缺点：会损失数据的部分信息． (2)折线图 用途：描述数据随时间的变化趋势． 优点：可以表示数量的多少，直观反映数量的增减情况，即变化趋势． 缺点：不能直观反映数据的分布情况． (3)扇形图 用途：直观描述各类数据占总数的比例． 优点：可以直观地反映出各种情况所占的比例． 缺点：看不出具体数据的多少． 【注意】(1)条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率． (2)扇形图是用整个圆的面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数． (3)在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义． 百分位数的定义 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按 从小到大 排列原始数据． 第2步，计算i＝ n×p% ． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 j 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 平均数 ． 3．四分位数 (1)中位数相当于是第 50 百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数． (2)第 25 ，50 ，75 百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． (3)第25百分位数也称为第 一 四分位数或 下 四分位数等，第75百分位数也称为第 三 四分位数或 上 四分位数等． 求百分位数的注意事项 (1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列． (2)计算i＝n×p%后要弄清i是整数还是非整数． 由频率分布直方图估计百分位数的方法 (1)确定百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为 a＋×(b－a) ． 众数、中位数、平均数 1．众数：一组数据中出现 次数 最多的数． 2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在 中间 位置的数(或中间两个数的 平均数 )叫做这组数据的中位数． 3．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 【注意】　(1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个(如1，2，2，3，3，4，5，6这组数的众数是2和3)，还可以没有(如1，2，3，4，5，6这组数就没有众数)． (2)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数． 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数． 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 方差、标准差 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为＝， 标准差为． 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为则称S2＝为总体方差，S＝ 为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k( k≤N )个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为f i(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝． 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为则称s2＝ 为样本方差，s＝ 为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的 离散程度 或 波动幅度 ，标准差越大，数据的离散程度越 大 ；标准差越小，数据的离散程度越 小 ． 对方差与标准差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞). 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 方差和标准差的计算技巧与性质 (1)方差的计算 ①基本公式：s2＝2＋2＋…＋]． ②简化计算公式：s2＝即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． (2)方差和标准差的性质 若把一组数据的每一个数变为原来的k倍并加上或减去常数a，则它的标准差变为原来的k倍，方差变为原来的k2倍，而与a的大小无关． 分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为方差分别为则这个样本的方差为 s2＝ ． 题型突破 题型一 总体与样本 1．（25-26高一下·甘肃武威·月考）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 【答案】C 【详解】总体是指360名学生的数学成绩，个体是每一名学生的数学成绩，样本是36名学生的数学成绩，只有C正确. 2．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【详解】切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意； 测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意； 兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意； 航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 【答案】ABC 【分析】由简单随机抽样的定义逐项判断即可. 【详解】抽签法是简单随机抽样，所以A正确； 随机数表法是简单随机抽样，所以B正确； 简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限，所以C正确； 简单随机抽样要求从总体中逐个抽出样本，所以D错误. 故选：ABC． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 【答案】BD 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可. 【详解】根据简单随机抽样的概念：从有限总体中进行随机、不放回抽样， 可知 A不是逐个抽取，C不是不放回抽取，故不是简单随机抽样，BD是简单随机抽样． 故选：BD 5．（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可求解. 【详解】对于A，抽取个子最高的5名，不是随机抽取，不是简单随机抽样，故A不符合题意； 对于B，从有限总体中进行随机、不放回抽样，符合简单随机抽样的特征，故B符合题意； 对于C，是有放回抽样，不是简单随机抽样，故C不符合题意； 对于D，总体个数是无限的，不是简单随机抽样，故D不符合题意. 故选：B． 题型二 随机数表法与抽签法 6．（25-26高二上·上海·月考）现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 【答案】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. 7．（25-26高二上·广东中山·月考）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A．42 B．16 C．56 D．06 【答案】C 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去），65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 即选出的6个个体编号依次为：42，16，56，26，55，43，所以第3个个体的编号为56. 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 【答案】BCD 【分析】根据随机数表法计算求解. 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007， 故得到的前4个编号是253，313，457，007． 故选：BCD． 9．（24-25高二下·上海·月考）从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】A 【分析】先说明采用抽签法每个人被剔除概率都相等，都是，不被剔除的概率也相等，都是，即可判断B；然后采用随机数表法，在没被剔除的100人中被抽到概率都是，即可判断C，综合B，C，即可判断D；综和B，C，D即可判断A. 【详解】由于先采用抽签法，从101个人中剔除1个人， 对101个人中的每个人来说被抽到（即被剔除）概率都相等，都是， 不被剔除的概率也相等，都是，故B错误； 然后采用随机数表法，在剩余的100个人中抽取10个人， 如果被抽到，概率为，也是相等的，故C错误； 所以由B,C可知，每个人被剔除的概率都是相等的，都是； 没被剔除，然后被抽到的概率也是相等的，都是，故D错误； 所以综上可知这是一种科学的抽样方法，故A正确. 故选：A 10．（24-25高三·全国·一轮复习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 题型三 分层抽样 11．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）第15届全运会于2025年11月9日至21日在广州举行，为了解学生对全运会的了解程度，某教育部门从某高级中学的学生中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取300人进行问卷调查，已知该中学高一学生1500人，高二学生2000人，高三学生2500人，则高一年级应抽的学生人数为______. 【答案】75 【详解】因为高一、高二、高三学生总人数为6000， 所以高一年级应抽的学生人数为. 12．（25-26高二上·上海·月考）第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【答案】 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 13．（25-26高一下·甘肃武威·月考）（多选）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 【答案】AC 【分析】根据分层抽样的步骤及抽样比计算公式即可判断ABC，根据分层抽样的定义及随机抽样的定义即可判断选项D. 【详解】由分层抽样可得，解得，故C正确. 则甲车间应抽取，故A正确. 乙车间应抽取，故B错误. 分层抽样属于概率抽样，随机抽样一般指简单随机抽样，二者概念不同，故D错误. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）某社团有男生名，女生名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则下列说法正确的为（   ） A．该抽样一定不是系统抽样 B．该抽样可能是随机抽样 C．该抽样不可能是分层抽样 D．男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率 【答案】BC 【详解】由总体容量为，样本容量为5，抽样比为. 对于A：因为系统抽样是将总体分成均衡的若干部分，再按等距规则抽取个体． 只要符合等距规则，有可能抽到2名男生和3名女生， 所以一定不是系统抽样是错误，因此A不正确； 对于B：因为简单随机抽样是从总体中逐个抽取，每个个体被抽到的可能性相等的， 抽到2名男生和3名女生是随机事件，有可能发生，故B正确； 对于C：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同， 但现在某社团有男生名，女生名，抽取2名男生和3名女生，抽的比例不同， 所以不可能是分层抽样，故C正确； 对于D：在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽到的概率都相等，均为， 因此男生和女生被抽到的概率相等，故D选项说法错误. 15．（24-25高二下·湖南长沙·期末）（多选）下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：（    ） A．某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C．某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 【答案】ABD 【分析】根据分层随机抽样的特征和适用的情况对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法； 选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样； 选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样； 选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法. 故选：ABD 题型四 条形图、折线图、扇形图 16．（25-26高一下·甘肃武威·月考）班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 【答案】B 【详解】由图知阅读数量最大的是8月份，为83本；阅读数量最小的是6月份，为28本，故A正确，B错误. 阅读数量最大的月份比最小的月份多本，故C正确； 每月阅读数量超过40的有2，3，4，5，7，8共6个月，故D正确. 17．（25-26高一下·贵州遵义·月考）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 18．（2026·安徽安庆·一模）（多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 19．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 题型五 百分位数 20．（2026·江西宜春·模拟预测）某科研团队构建了超导量子计算原型机，为了评估其稳定性，团队记录了6次关键性能测试的保真度数据：0.9992，0.9988，0.9990，0.9987，0.9994，0.9990，则这组数据的75%分位数为（    ） A．0.9988 B．0.9991 C．0.9992 D．0.9994 【答案】C 【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得． 【详解】先将这组数据从小到大排序，0.9987，0.9988，0.9990，0.9990，0.9992，0.9994， 由，则这组数据的75%分位数为0.9992． 21．（25-26高二下·上海·期中）已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（    ） A．26 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【详解】将这组数据从小到大排列为：4、6、15、29、46， 由，故这5个数据的第20百分位数是. 22．（湖南衡南县第二中学等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）2025年湖南工业经济向优向新，新质生产力加速培育壮大．其中航空、航天器及设备制造业，电子及通信设备制造业，医药制造业，存储芯片，储能用锂离子电池，工业控制计算机及系统，工业机器人等分别增长，．则该组数据的分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该组数据从小到大排列为， 因为，故该组数据的分位数为第个数，即． 23．（2026·湖北宜昌·二模）一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【详解】由题意得，则第60百分位数为. 24．（25-26高三下·江西抚州·月考）一组从小到大排列的数据：，，，，，10，，20，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据百分位数和中位数的概念计算即可. 【详解】数据，，，，，10，，20，，已是由小到大的排列，数据共个， 中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由， 因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得， 解得． 25．（2026·河南周口·模拟预测）一组从小到大排列的数据：，，，，.若它们的第百分位数比平均数大，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据百分位数定义求第百分位数，再由条件列方程求即可. 【详解】 因为， 所以第百分位数为第项和第项数据的平均值， 又这组数据的平均数为 ， 由已知 ，故， 解得，满足， 因此. 题型六 众数、中位数、平均数 26．（25-26高一下·甘肃武威·月考）（多选）已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（    ） A．中位数是8 B．平均数是6 C． D． 【答案】ABD 【分析】借助众数定义可得，再利用中位数与平均数定义计算即可得. 【详解】由这组数据的众数为8，故，则这组数据为， 则这组数据中位数是8，平均数为， 故A、B、D正确，C错误. 27．（25-26高三下·上海黄浦·月考）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 【答案】D 【详解】由中位数的意义，得中位数62分为发现统计有误前的成绩由小到大排列的第53个数， 假设加分的是原成绩排第1至53名的学生，且原成绩中第52名为61分，第54名为63分， 调整后，原第52名的成绩变为66分，原第53名变为67分，而原第54名的成绩63分不变， 排序后，新成绩序列的第53项为66分，即中位数为66分， 因此调整后学生成绩的中位数不一定是 62 或 67 分. 28．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知一组数据：2，13，10，5，7，，13的平均数为8，则该组数据的中位数为________. 【答案】7 【分析】根据已知列出方程求解得出.进而将数据由小到大排列，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 将这组数据从小到大排列可得，2，5，6，7，10，13，13. 所以该组数据的中位数为7. 故答案为：7. 29．（25-26高三上·浙江金华·月考）如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 【答案】B 【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点， 所有矩形的面积之和为，显然前两个矩形的面积之和小于， 即众数＜中位数； 又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数， 所以众数＜中位数＜平均数. 故选：B. 30．（2025·河北沧州·一模）（多选）某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（   ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A．这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B．这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C．这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D．这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 【答案】AB 【分析】根据频数分布分析数据即可. 【详解】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为，所以A选项正确； 选项B：成绩不超过85的学生人数为，所以B选项正确； 选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，所以C选项不正确； 选项D：由于，所以D选项不正确. 故选：AB 31．（2025·江苏南通·模拟预测）（多选）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人” ．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：中位数为2，众数为3；      乙地：平均数为2，方差为3； 丙地：平均数为3，极差为5；      丁地：平均数为5，众数为6． 则一定没有发生大规模群体感染的是（    ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】BC 【分析】A.举例判断；B. 假设出现一次大于7，设，利用方差运算判断；C. 假设出现了8人，则一定有出现3人情况判断；D.举例判断. 【详解】对于甲地，如0，0，1，1，1，3，3，3，3，8，故错误； 对于乙地，若出现一次大于7，设， 则， ，矛盾，故正确； 对于丙地，若出现了8人，则一定有出现3人情况，这样平均数就不可能是3， ∴丙地不可能有超过7人的情况，故正确． 对于丁地，无法判断是否有超过7人的情况，如2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平均数为5，众数为6，故错误； 故选：BC． 题型七 方差、标准差、极差 32．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）（多选）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据平均数和方差的运算公式，结合中位数的定义、极差的运算公式逐一判断即可. 【详解】不妨设，则． 因为与的中位数都是， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． ，故C错误． 由已知得． 因为，所以， 去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的和为， 所以由 ， 所以余下8个数据的方差 所以，故D正确． 33．（2026·四川资阳·三模）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 34．（2026·江苏扬州·模拟预测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B．若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】AD 【分析】对于A，根据方差公式求得样本容量，样本平均数即可判断；对于B，根据方差与标准差，方差的公式求解判断；对于C，先将数据从小到大排序，再求解判断；对于D，结合样本方差与平均值的公式计算即可. 【详解】对于A，由样本的方差得样本容量，样本平均数，所以样本数据总和为，故正确； 对于B，样本数据标准差为8，故样本数据的方差为64， 所以数据的方差为，标准差为，故错误； 对于C，将数据从小到大排序后得12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 所以，所以该组数据的第70百分位数是，故错误； 对于D，一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2， 不妨记原始数据为，则 ，，即， 现样本中又加入一个新数据5，此时样本平均值为， 样本方差为， 所以加入一个新数据5，平均数不变，方差变小，故正确. 35．（江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题）（多选）某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校10名学生一周内的体育锻炼时长（单位：小时），数据如下：5，6，6，7，7，7，8，8，9，10．下列关于这组数据的说法不正确的是（   ） A．中位数为7 B．众数为8 C．平均数为6.8 D．极差为4 【答案】BCD 【详解】数据已按从小到大的顺序排列，共10个样本．中位数为，故A正确； 众数为7，故B错误； 平均数为，故C错误； 极差为，故D错误． 36．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若的方差为6.8，则 【答案】AB 【详解】对于A，的极差为9，则，，A正确； 对于B，由的分位数是6，得，当时，，不符合题意， 因此，则，解得，符合题意，B正确； 对于C，由的平均数为3，得，解得，C错误； 对于D，的平均数为，的平均数为， 由的方差为6.8，得，解得或，D错误. 37．（25-26高二下·陕西西安·期中）某公司为了调查员工的健康状况，用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，若样本中有21名男员工，39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；男员工的平均体重为70kg，标准差为4，则所抽取的所有员工的体重的方差为（   ） A．29 B．81 C．120 D．160 【答案】C 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样的方差公式计算样本的方差. 【详解】设女员工的平均体重为，方差为，男员工的平均体重为，方差为，则， 所以所抽取的所有员工的平均体重为， 所以所抽取的所有员工的体重的方差为： . 38．（25-26高三下·湖南·月考）已知一组样本数据满足，，则这组数据的方差为__________． 【答案】/1.25 【详解】样本数据的均值， 因为， 所以，解得， 所以这组数据的方差． 题型八 频率分布直方图的相关问题 39．（25-26高一下·北京·期中）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】B 【详解】由频率分布直方图的性质可得，， 解得. 这些同学物理成绩大于等于80分的人数为. 40．（2026·天津东丽·一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可. 【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程， 解得，.正确. 对于选项B，成绩在的频率为：， 所以频数为，正确. 对于选项C，前3个小长方形的面积和为， 而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于. 即中位数一定出现在内，正确. 对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和， 即. 所以D不正确. 41．（2026·江苏·模拟预测）（多选）某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.035 B．成绩在区间内的有15人 C．这100名学生成绩的平均数小于70分 D．这100名学生成绩的第60百分位数为80分 【答案】ABD 【详解】，，A对． ，即内的有15人，B对． 平均分，C错． ，这100名学生成绩的第60百分位数为80分，D对． 42．（25-26高三下·河南周口·月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1)平均数100，方差104 (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数与方差的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据条件，分别求出两组数据的样本容量，平均数和方差，代入公式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）第一组的样本容量，， 第二组的样本容量，， 所以合并后的平均数， 则. 43．（25-26高一下·全国·单元测试）如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图．根据直方图估计： (1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数； (2)该公司员工的月平均收入； (3)该公司员工收入的众数； (4)该公司员工月收入的中位数； (5)该公司员工月收入的第90分位数． 【答案】(1)100 (2)2400 (3)2500元 (4)2400元． (5)3333 【分析】（1）先计算出该公司月收入在1000元到1500元之间的频率，即可求解； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得的积全部相加可得出该公司员工月收入的平均数； （3）由众数的定义求解； （4）由中位数的定义求解； （5）由百分位数的定义求解． 【详解】（1）根据频率分布直方图知，满足条件的频率为： 所以满足条件的人数为：（人）． （2）据题意该公司员工的平均月收入为： （元） （3）根据频率分布直方图知，最高矩形（由两个频率相同的矩形构成）的底边中点的横坐标为2500，即公司员工月收入的众数为2500元． （4）根据频率分布直方图知，中位数介于2000元至2500元之间，故可设中位数为，则由，即公司员工月收入的中位数为2400元． （5）根据频率分布直方图知，公司员工月收入小于3000元的百分比为，公司员工月收入小于3500元的百分比为（ 所以公司员工月收入的第90分位数是． 44．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【答案】(1)，第75百分位数是84 (2)样本成绩的众数、中位数和平均数分别约为，75，74 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1列方程可求得的值，根据百分位数的定义可求解第75百分位数；（2）频率分布直方图中，众数的估计值是最高矩形对应区间的中间值，中位数的估计值左右两边矩形面积和均为，平均数的估计值是每组的组中值乘以该组的频率之和. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积和为1， 所以，解得. 样本成绩在内的频率为，在内的频率为， 所以第75百分位数，所以，解得，即样本成绩的第75百分位数是84. （2）因为最高矩形对应的区间为，所以样本成绩的众数约为； 由（1）知样本成绩在内的频率为，而成绩在内的频率为， 所以中位数，所以，解得，即样本成绩的中位数约为； 由得样本成绩的平均数约为74. 强化训练 1．（河南安阳市部分学校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题）样本数据5，5，6，7，7，8，9，10的第75百分位数为（    ） A．9 B．8.5 C．8 D．7.5 【答案】B 【详解】因为样本数据个数为8，，6为整数， 所以第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即. 2．（四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题）某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得在抽取的100人中，男生60人，女生40人， 故样本平均数为，估计该校学生的平均身高是. 3．（25-26高三下·青海西宁·月考）数据5，1，2，2，3，4，6的极差为（   ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】在数据5，1，2，2，3，4，6中，它的最小数为1，最大数为6； 极差为． 4．（25-26高一下·甘肃金昌·月考）已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（   ） A．5 B．7 C．17 D．25 【答案】C 【详解】，所以，，…，的平均数为 . 5．（2026·四川绵阳·三模）（多选）某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损． 成绩／分 5 6 7 8 9 10 人数 8 7 10 7 关于这40名学生的成绩，则（   ） A．众数为9 B．极差为5 C．第30百分位数为6 D．平均数小于中位数 【答案】ABD 【详解】A. 9分人数为10人，是已知各分数段中最多， 由于5分（设为x人）与6分（设为y人）总人数为8人（）， 任一分数人数最多为8，不可能超过10，因此众数必为9，故正确； B.最低分为5分，最高分为10分，极差为 ，故正确； C.总人数40，第30百分位数位置为 ，即取第12和第13个数据的平均值， 前8个数据为5分或6分，第9至16个数据均为7分 第12、13个数据均为7 第30百分位数为7，故选项错误. D.中位数：第20、21个数据位于8分区间（前16个为5/6/7分，第17–23为8分） 中位数为8， 平均数计算： ， 因 ，故 ，即平均数小于中位数. 6．（2026·陕西咸阳·三模）（多选）某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误； 对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 7．（25-26高一上·江西上饶·期末）（多选）上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，⋯，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（    ）    A．第二组的频率为0.016 B．第七组的频率为0.06 C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为 D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为 【答案】BCD 【分析】对于AB，由频率分布直方图矩形面积为1即可求得各组的频率，对于C，先确定中位数所在组，再用中位数计算方法即可求解，对于D，将各组中点值乘以频率后相加即可得到平均数. 【详解】对于A，第二组的频率为，故A错误； 对于B，由题意得第六组人数为4人，则有第六组的频率为，纵坐标为0.016， 所以第七组的满足，故B正确； 对于C，由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校高一800名男生的身高中位数为，则， 则有，解得，故C正确； 对于D，设这所学校高一800名男生的身高平均数为， 身高在第五组的频率为， 身高在第六组的频率为， 身高在第七组的频率为， 身高在第八组的频率为， 则有， 故D正确. 故选：BCD. 8．（25-26高二上·贵州毕节·期末）（多选）为了解2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将1000名学生科普竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ）    A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85 【答案】ABC 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，落在组的学生最多，估计众数；C选项，求出成绩低于60分的频率，从而计算出C正确；D选项，先得到这组数据的第85百分位数落在，设第85百分位数为，从而得到方程，求出答案. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，显然落在组的学生最多，估计这组数据的众数为，B正确； C选项，成绩低于60分的频率为， 故估计成绩低于60分的有人，C正确； D选项，因为，， 故这组数据的第85百分位数落在，设第85百分位数为， 则，解得，估计这组数据的第85百分位数为，D错误. 故选：ABC 9．（2026高一·全国·专题练习）某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据： 年龄(单位：岁) 32 34 38 40 42 43 45 46 48 频数 2 4 20 20 26 10 8 6 4 估计这个学校老师的平均年龄为_____岁. 【答案】 【详解】 即这个学校老师的平均年龄约为岁. 10．（2026高一·全国·专题练习）已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 【答案】9.5 【分析】由题干中的比例，根据平均数的计算公式建立方程，可得答案. 【详解】根据题意，不妨设抽取的样本容量分别为，，， 设三条流水线的样本平均数分别为，总体样本平均数为， 则 根据样本平均数公式可得， 解得，所以流水线1的样本平均数为9.5． 11．（25-26高二上·上海黄浦·期末）某校高一年级共有500名学生，学校计划用随机数法抽取30名学生参加一项问卷调查.将500名学生按的顺序进行编号，用下列随机数表进行抽取，从第2行第4个数字开始，按从左到右、从上到下的顺序读取，依次选取符合条件的编号，第2个被选中学生的编号为____________. 【答案】498 【分析】根据随机数表的用法依次得到学生编号即可. 【详解】从第2行第4个数字开始，读取的数字编号依次为：692,350,498,221，… 其中692大于499，跳过. 所以第二个被选学生的编号为498. 故答案为：498 12．（25-26高一下·江西景德镇·月考）年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； (3)在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 【答案】(1) (2) (3)人 【详解】（1）解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为，组距为，可得： ，即，解得. （2）解：设中位数为， 因为，而， 所以中位数在内，根据中位数的定义可得：， 解得. 因此，这名学生这次竞赛成绩的中位数为. （3）解：由的频率为：，可得人数为：人， 由的频率为：，可得人数为：人， 所以内总人数为人，可得分层抽样的比为， 因此，这名学生这次竞赛成绩在内被抽到的人数为人. 13．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）广东某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组（，，，，）．    (1)求图中a的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． (2)若根据这次成绩，年级准备淘汰的同学，仅留进入下一轮竞赛，则成绩至少要达到多少分才可以晋级？ (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的2人恰好来自同一小组的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率直方图的性质求出，再根据已知条件结合频率直方图求出样本平均数； （2）根据频率直方图的性质结合题意求晋级的最低分数； （3）根据频率直方图的性质结合分层抽样定义求出每组抽取人数，再根据已知条件求出总的抽取组合数及2人恰好来自同一小组的组合数，进而求出概率． 【详解】（1）由频率直方图可知，每组的组距为，所有组的频率之和为1， ，解得， 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表， 样本平均数为 ． （2）年级准备淘汰的同学，仅留进入下一轮竞赛， 需由高分到低分累计频率，找出频率为时对应的分数， 由频率直方图可知，的频率为， 的频率为，的频率为， 和的频率之和为，未达到， 需要组提供的频率， 组的“频率/组距”为，对应每1分的频率， 需要的分数长度为， 晋级的最低分数，故成绩至少达到分才可以晋级． （3）由频率直方图可知，分层抽样在与的频率之比为， 抽6人时，组抽取4人，组抽取2人， 从6人中抽取2人的总组合数为， 2人恰好来自同一组的组合数为， 2人恰好来自同一组的概率为． 14．（24-25高二上·广西梧州·期中）近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示． (1)求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数； (2)求这人日均体育活动时间不少于的人数； (3)现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率． 【答案】(1)， (2)人 (3) 【分析】（1）利用频率直方图的性质求解，并计算平均数； （2）利用频率直方图得出不少于的是两组，再利用频率直方图的性质计算求出人数； （3）先结合频率直方图计算出分层抽样在和中分别抽取的学生数，再利用组合公式计算概率． 【详解】（1）频率分布直方图小矩形面积为1，即，解得， 所求平均数为：． （2）频率分布直方图中不少于的是两组， 这人日均体育活动时间不少于的人数为：人． （3）日均体育活动时间在和的中学生频率之比为， ，，则日均体育活动时间在和的中学生分别抽取4人和2人， 方法一：设从这6人中抽取3人，至多有1人体育活动时间超过为事件A，则 ， 至多有1人体育活动时间超过的概率为． 方法二：设从这6人中抽取3人，至多有1人体育活动时间超过为事件A， ， 至多有1人体育活动时间超过的概率为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $