10.4 三元一次方程组的解法（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版）

**基本信息** 以三元一次方程组概念和解法为核心，通过基础巩固、题型突破、综合应用三层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三元一次方程组概念、解法步骤|基础练习直接对应知识点，强化概念辨析与基本消元运算，夯实抽象能力| |能力层|辨别、求解、求值、应用等题型|典例示范+变式训练，突出推理意识，如利用解求值、整体思想解题| |综合层|跨知识点综合应用|综合练习整合新定义、实际问题等，提升模型意识与问题解决能力，适配新授课适度提升需求|

10.4 三元一次方程组的解法 内容导航 知识点一 三元一次方程组 1 知识点二 三元一次方程组的解法 2 题型1 三元一次方程组的辨别 4 题型2 解三元一次方程组 5 题型3 利用三元一次方程组的解求值 8 题型4 三元一次方程组的应用 10 题型5 三元一次方程组的阅读理解新定义问题 13 题型6 三元一次方程的整体思想 16 综合练习 19 知识点一 三元一次方程组 三元一次方程组的概念 方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组。 三元一次方程组的一般形式 形如,(不全为0，不全为0，不全为0) 注意:三元一次方程组中的某个方程，可以是一元一次方程，或二元一次方程，或是三元一次方程，只需保证方程组中一共有三个未知数，且含未知数的项的次数为1即可. 【基础练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 【基础练习2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组，找不不符合定义的选项即可． 【详解】三元一次方程组要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.由定义可得： A、B、C选项都符合定义，而D选项中的xy，yz项的次数是2，不符合三元一次方程组的定义. 故选：D. 【点睛】考查三元一次方程组的定义，解题关键利用三元一次方程组的定义，即要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程. 知识点二 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路 解三元一次方程组的一般步骤 (1)观察方程组中每个未知数的系数，根据未知数的系数的特征，选择首先要消去的未知数； (2)利用代人法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (3)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)将求得的两个未知数的值代人原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (5)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (6)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起即方程组的解， 特别提醒:解三元一次方程组时，不要盲目求解，要根据各未知数系数的特点选择适当的消元方法去求解，在将“三元”转化为“二元”时，要注意以下四点： (1)先消去某个方程缺少的未知数; (2)先消去系数最简单的未知数; (3)先消去系数成整数倍的未知数; (4)注意整体加减或代入的应用. 【基础练习1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 【基础练习2】（2025八年级上·全国·专题练习）方程组消去字母后得到的二元一次方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 化简得，代入，即可求解． 【详解】， 化简②得， 代入③得，即， 所以方程组消去字母后得到的二元一次方程组为， 故答案为：． 题型1 三元一次方程组的辨别 【典例】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【变式练习1】（23-24七年级下·全国·暑假作业）下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 【变式练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 题型2 解三元一次方程组 【典例】（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组．通过将三个方程相加，得到的值，然后分别用各个方程减去该式，逐一求解未知数． 【详解】解： 得， 即 ④ ①④得 即 得 即 ③④得 解得： ∴ 【变式练习1】（25-26八年级上·上海·月考）若，则______，______，______． 【答案】 2 0 1 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零是解题的关键． 根据非负性的和为零，每一个非负数均为零，求出的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，，； 故答案为：2；0；1． 【变式练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3) 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入④得， 将代入②得， 方程组的解为 ； （2）解: , 由得：， 由得：， 解得：， 将代入③得：， 将，代入①得：， 方程组的解为 ； （3）解：， 由得：， 由得：， 由得：， 解得：， 将代入④得：， 将，代入①得：， 方程组的解为 ． 解后反思：消元法解三元一次方程组的两点注意 (1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数。 (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的。 题型3 利用三元一次方程组的解求值 【典例】（25-26七年级下·四川遂宁·月考）已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】将，；，；，分别代入，得到三元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】将，；，；，分别代入 得，， 解得． 【变式练习1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 【变式练习2】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值 【答案】 【分析】根据已知条件，互为相反数知，然后将代入原方程组，转变为二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：，互为相反数， ，即， 将代入原方程组， ， 整理可得， ， 得，，即， 将代入②得，． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件． 方法技巧：利用三元一次方程组的解求字母的值的方法 在解决此类问题时，要根据系数和条件的特点选择有效的方法来进行解答，基本思路是解方程组，代入相应的式子即可求出要求的字母的值。 题型4 三元一次方程组的应用 【典例】（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【答案】1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 【分析】设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元，根据“1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元”得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得：， 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元． 【变式练习1】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【答案】 【分析】设、、三种型号盒子的单价分别为元元元，根据题意列出三元一次方程组，利用加减消元法消去，即可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元， 由题意得， 得， ∴，即， ∴一个型盒子比一个型盒子贵元． 【变式练习2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】 (1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【分析】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 规律总结：用三元一次方程组解决实际问题的方法与用二元一次方程组解决实际问题的方法类似，根据题目给出的条件寻找数量关系是解答问题的关键.需要注意的是，列三元一次方程组解决实际问题时，需设三个未知数 题型5 三元一次方程组的阅读理解新定义问题 【典例】（24-25七年级下·吉林长春·月考）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程x+2y＝5的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 【答案】 (1)或或 (2)有，或或或 【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求； （2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解． 【详解】（1）解：当y＝0时，x＝5； 当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3； 当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1， 所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或； （2）解：有． ， ②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y， ①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y， ∵x、y、k为非负整数， ∴6﹣2y≥0，解得y≤3， ∴y＝0、1、2，3， 当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0， ∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【答案】－10 【分析】本题考查了解三元一次方程组，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据新定义运算，列出关于a，b，c的方程组，通过消元法求解a，b，c的值，再代入计算5△7的值． 【详解】解：由题意，得 ，得④， ，得，即⑤， ，得，解得， 将代入④，得，解得， 将，代入①，得，解得， ∴方程组的解为 因此，． 故答案为：． 【变式练习2】（24-25七年级下·云南德宏·期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，得，． 【详解】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得，， ∴矩阵对应的方程组的解为； （2）解：∵矩阵所对应的方程组的解为， ∴将代入，得， 得，． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 题型6 三元一次方程的整体思想 【典例】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． 【答案】 (1)，5 (2)共需58元 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相减可求的值，将两方程相加可求的值； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 可得：； 可得：， ∴； （2）解：设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元， 由题意可得：， ∴可得， 答：购买11支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需58元． 【变式练习1】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】 (1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 【变式练习2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式的值为7时，求多项式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简的结果是___； (2)已知．求的值； (3)《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 【答案】 (1) (2) (3)164斗米 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，以及三元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）由已知等式求出的值，原式变形后整体代入计算即可求出值； （3）根据题意列出三元一次方程组，利用整体代入法求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾的米即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：因为， 所以， ； （3）解：根据题意得： ， 由得，， 答：优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾164斗米． 综合练习 一、选择题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 【详解】解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．首先利用和得出关于和的二元一次方程组，从而求出和的值，然后将和代入任何一个式子得出的值，从而得出方程组的解． 【详解】解：， 可得：④， 可得：⑤， 可得：， 解得：，将代入④可得：， 将，代入①可得：， ∴方程组的解为：， 故选：． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴， 解得：． 5．（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 6．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（   ）个． A．30 B．35 C．50 D．55 【答案】D 【分析】此题考查了列三元一次方程组和解三元一次方程组的方法．设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜．根据最后每堆有个西瓜列方程组求解． 【详解】解：设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜，根据题意，得： ， 解得：． 即原来第1堆有55个西瓜． 故选：D． 7．（24-25七年级下·四川自贡·期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b，c均为常数，且已知，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据新定义运算得出，求出，即可求解． 【详解】， ， 由①×2-②，得， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算和三元一次方程组，熟练掌握有理数的加减混合运算顺序，解三元一次方程组的方法是解题关键． 二、填空题 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）三元一次方程组的解是_________． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减消元法，把三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键． 根据加减消元法解决问题即可． 【详解】解：， ①+②得：④， ③+④得：，解得：， 代入③得：，代入①得：， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·暑假作业）已知单项式与是同类项，则______，______，______． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解三元一次方程组，根据相同字母的指数相同列方程组求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得． 故答案为：4，，6． 10．（25-26八年级上·全国·周测）已知等式，当时，；当时，；当时，；当时，______． 【答案】52 【分析】本题考查解一元二次函数解析式的求法，解答本题的关键是明确题意列出方程组，求出、、的值以及相应的的值． 根据题意得到关于、、的三元一次方程组，解方程组求得、、的值，然后将代入题目中的式子，即可求得的值． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以等式， 当时，， 故答案为． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是三元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，把代入中即可求解，解题的关键是理解三元一次方程组的解． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴将代入中得： ， 解得：， 故答案为：． 12．（2022七年级下·重庆綦江·竞赛）7公斤桃子的价钱等于1公斤苹果和2公斤梨的价钱；7公斤苹果的价钱等于10公斤梨和1公斤桃子的价钱，则购买12公斤苹果所需的钱可以购买梨__________公斤． 【答案】18 【分析】设出三种水果的单价，根据题意列出方程，利用消元法得到苹果单价与梨单价的数量关系，即可求出12公斤苹果可购买梨的重量． 【详解】解：设每公斤桃子的价格为元，每公斤苹果的价格为元，每公斤梨的价格为元， 根据题意得：， 由①得 ， 将代入②得：， 整理得：， 即公斤苹果的总价等于公斤梨的总价， 因此购买公斤苹果所需的钱可以购买梨公斤． 13．（24-25六年级下·上海·期中）对于有理数，定义新运算：，其中，，均为常数．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、三元一次方程组等知识点，熟练掌握有理数的加减混合运算顺序，解三元一次方程组的方法是解题关键． 根据新定义运算得出，求出，进而完成解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ，得， 可得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握消元思想是解题的关键． （1）观察方程结构，通过消去，得到含的二元方程，与①联立消元求解，再回代求； （2）由①得，代入消去，转化为关于的二元方程组，求解后回代求； （3）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求； （4）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求． 【详解】（1）解： ： ： 代入①： 代入③： 故原方程组的解为 （2）解： 由①得，代入②： 代入③： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （3）解： ： ： ： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （4）解： 由得， 由得 得 代入④： 再将代入① 解得 故原方程组的解为 15．（24-25七年级下·河南信阳·期末）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学将c的值看成了1，从而求得解为，试求a，b，c的值和原方程组的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组． 根据题意得到，求出a，b，c的值，代入原方程组求解即可． 【详解】解：∵甲同学因看错了b的符号，从而求得解为， ∴， ∵乙同学将c的值看成了1，从而求得解为， ∴， 即， 解得：， ∴原方程组为， 得， 将代入②得：， 解得： ∴． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，当时，；当时，；当时，． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】 (1)的值为的值为的值为3． (2) 【分析】本题考查三元一次方程组，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，得到关于a，b，c的三元一次方程组，求解即可； （2）由（1）可得，求出，将代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 将①分别代入②，③，得 ，得 ，即． 将代入④，得 ， 解得， ∴的值为的值为的值为3． （2）由（1）可得 ． ∵， ∴将代入，得 ． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数． 【详解】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为． 根据题意，列出方程组：， 化简得， 将②代入①，得：，解得：； 把代入③，得：，解得； 把，代入②，得：，解得； 原三位数为； 答：原三位数为． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 【答案】上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次组方程组是解题的关键．设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗， 依题意，得：， 解得， 答：上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗． 19．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）； （2）对于有理数，规定一种新运算：⊕，其中，为常数，已知2⊕，⊕，求⊕的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组、有理数的混合运算； （1）利用加减消元法将三元一次方程组化二元一次方程组，再利用加减消元法求解二元一次方程组，进而可得答案． （2）根据新运算求出，的值，再根据新运算计算即可． 熟练掌握解三元一次方程组、解二元一次方程组、有理数的混合运算是解答本题的关键． 【详解】解：（1）， ①②，得④， ①③，得⑤， ④⑤，得， 解得， 将代入④，得， 将，代入③，得． 方程组的解为． （2）由题意得，2⊕①，⊕②， ①，得④， ②④，得， 解得， 将代入①，得， ⊕⊕． 20．（23-24七年级下·浙江绍兴·月考）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【答案】 (1) (2)13 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，①②③得，． 【详解】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得：， 矩阵对应的方程组的解为； （2）解：矩阵所对应的方程组的解为， 将代入， 得， ①②③得，． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】 (1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 22．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【答案】 (1) (2)见解析 (3)103元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得 所以方程组的解为； （2）解：， ①得③， 得：， 则，即无论取何值，的值始终不变； （3）解：设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元， 根据题意得：， ①②得： ， 购买篮球、足球、排球各1个需要103元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.4 三元一次方程组的解法 内容导航 知识点一 三元一次方程组 1 知识点二 三元一次方程组的解法 2 题型1 三元一次方程组的辨别 2 题型2 解三元一次方程组 3 题型3 利用三元一次方程组的解求值 4 题型4 三元一次方程组的应用 5 题型5 三元一次方程组的阅读理解新定义问题 6 题型6 三元一次方程的整体思想 7 综合练习 9 知识点一 三元一次方程组 三元一次方程组的概念 方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组。 三元一次方程组的一般形式 形如,(不全为0，不全为0，不全为0) 注意:三元一次方程组中的某个方程，可以是一元一次方程，或二元一次方程，或是三元一次方程，只需保证方程组中一共有三个未知数，且含未知数的项的次数为1即可. 【基础练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【基础练习2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路 解三元一次方程组的一般步骤 (1)观察方程组中每个未知数的系数，根据未知数的系数的特征，选择首先要消去的未知数； (2)利用代人法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (3)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)将求得的两个未知数的值代人原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (5)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (6)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起即方程组的解， 特别提醒:解三元一次方程组时，不要盲目求解，要根据各未知数系数的特点选择适当的消元方法去求解，在将“三元”转化为“二元”时，要注意以下四点： (1)先消去某个方程缺少的未知数; (2)先消去系数最简单的未知数; (3)先消去系数成整数倍的未知数; (4)注意整体加减或代入的应用. 【基础练习1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【基础练习2】（2025八年级上·全国·专题练习）方程组消去字母后得到的二元一次方程组为___________． 题型1 三元一次方程组的辨别 【典例】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】（23-24七年级下·全国·暑假作业）下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型2 解三元一次方程组 【典例】（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组： 【变式练习1】（25-26八年级上·上海·月考）若，则______，______，______． 【变式练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3) 解后反思：消元法解三元一次方程组的两点注意 (1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数。 (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的。 题型3 利用三元一次方程组的解求值 【典例】（25-26七年级下·四川遂宁·月考）已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 【变式练习1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式练习2】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值 方法技巧：利用三元一次方程组的解求字母的值的方法 在解决此类问题时，要根据系数和条件的特点选择有效的方法来进行解答，基本思路是解方程组，代入相应的式子即可求出要求的字母的值。 题型4 三元一次方程组的应用 【典例】（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【变式练习1】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【变式练习2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 规律总结：用三元一次方程组解决实际问题的方法与用二元一次方程组解决实际问题的方法类似，根据题目给出的条件寻找数量关系是解答问题的关键.需要注意的是，列三元一次方程组解决实际问题时，需设三个未知数 题型5 三元一次方程组的阅读理解新定义问题 【典例】（24-25七年级下·吉林长春·月考）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程x+2y＝5的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【变式练习2】（24-25七年级下·云南德宏·期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 题型6 三元一次方程的整体思想 【典例】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． 【变式练习1】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【变式练习2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式的值为7时，求多项式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简的结果是___； (2)已知．求的值； (3)《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 综合练习 一、选择题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 6．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（   ）个． A．30 B．35 C．50 D．55 7．（24-25七年级下·四川自贡·期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b，c均为常数，且已知，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）三元一次方程组的解是_________． 9．（24-25七年级下·全国·暑假作业）已知单项式与是同类项，则______，______，______． 10．（25-26八年级上·全国·周测）已知等式，当时，；当时，；当时，；当时，______． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是三元一次方程组的解，则的值是________． 12．（2022七年级下·重庆綦江·竞赛）7公斤桃子的价钱等于1公斤苹果和2公斤梨的价钱；7公斤苹果的价钱等于10公斤梨和1公斤桃子的价钱，则购买12公斤苹果所需的钱可以购买梨__________公斤． 13．（24-25六年级下·上海·期中）对于有理数，定义新运算：，其中，，均为常数．已知，，则的值为______． 三、解答题 14．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 15．（24-25七年级下·河南信阳·期末）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学将c的值看成了1，从而求得解为，试求a，b，c的值和原方程组的解． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，当时，；当时，；当时，． (1)求的值； (2)当时，求的值． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 19．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）； （2）对于有理数，规定一种新运算：⊕，其中，为常数，已知2⊕，⊕，求⊕的值． 20．（23-24七年级下·浙江绍兴·月考）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 22．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $