第11讲：列联表与独立性检验【七大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第11讲：列联表与独立性检验 【知识梳理】 · 考点一：完善联列表 · 考点二：分析联列表 · 考点三：等高条形图的应用 · 考点四：独立性检验的理解 · 考点五：卡方的计算 · 考点六：独立性检验解决实际问题 · 考点七：联列表 独立性检验与统计概率交汇问题 【知识梳理】 知识点一：分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． 分类变量的取值可以用实数表示． 知识点二：2×2列联表 1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 像这种形式的数据统计表称为2×2列联表． 知识点三：独立性检验 1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验． 2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 3．独立性检验解决实际问题的主要环节 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【题型归纳】 题型一：完善联列表 【典例1】．（24-25高二下·全国·课堂例题）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 【变式1】．（25-26高二下·全国·课后作业）博鳌亚洲论坛2024年年会于3月26日至29日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与是否会俄语”的列联表中，______． 性别 是否会俄语 合计 会 不会 男 20 女 6 合计 18 30 【变式2】．（24-25高二下·全国·课后作业）下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 题型二：分析联列表 【典例2】．（24-25高二下·河南·月考）地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 【变式1】．（22-23高三·全国·课后作业）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_________人.（请将所有可能的结果都填在横线上） 附表：，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 【变式2】．（21-22高二下·河南·期中）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表： 了解 不了解 总计 年龄不小于60岁 a b a＋b 年龄小于60岁 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 给出下列4组数据： ① ；② ； ③ ；④ ． 则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是______．（填序号） 题型三：等高条形图的应用 【典例3】．（24-25高三·北京·一轮复习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【变式1】．（22-23高二下·福建泉州·期中）如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（    ）    A．性别与喜欢数学无关 B．女生中喜欢数学的百分比为 C．男生比女生喜欢数学的可能性大些 D．男生不喜欢数学的百分比为 【变式2】．（23-24高二下·广东深圳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是___________. 题型四：独立性检验的理解 【典例4】．（2025高二·全国·专题练习）在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【变式1】．（24-25高二下·四川雅安·期末）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【变式2】．（24-25高二下·山东烟台·期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 题型五：卡方的计算 【典例5】．（25-26高二下·江西·月考）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式1】．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校调查学生参加体育锻炼与性别的关系，得到如下列联表（单位：人）： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 35 55 90 女生 65 45 110 合计 100 100 200 参照公式（其中），计算得______．（保留两位小数） 【变式2】．（25-26高二下·全国·单元测试）若两个分类变量和的列联表为： 合计 5 15 20 40 10 50 合计 45 25 70 则有________的把握认为与之间有关系. 附： 题型六：独立性检验解决实际问题 【典例6】．（25-26高二下·河南焦作·期中）为研究居民体质情况是否与爱好运动有关，现从某地区随机抽取了名居民进行问卷调查，得到如下列联表（单位人）： 体质情况组别 良好 非良好 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)补全上述列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析该地区的居民体质情况是否与爱好运动有关． 附：，其中． k 【变式1】．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式2】．（25-26高二下·浙江·期中）某高中为了解学生课外阅读达标情况，调查了高一，高二年级学生，其中高一年级有600人，高二年级有400人，现按年级分层抽样抽取100名学生展开调查. (1)从抽取的高一年级学生中随机抽取2人，已知其中课外阅读达标的有40人，求抽取的2人中至少1人达标的概率. (2)在抽取的100名学生中，课外阅读达标与不达标的性别分布如下表，据此能否有的把握认为该校学生的课外阅读达标情况与性别有关？ 达标 不达标 总计 男生 35 15 50 女生 25 25 50 总计 60 40 100 参考公式：，其中 独立性检验临界表（部分） 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 题型七：联列表 独立性检验与统计概率交汇问题 【典例7】．（2026·山东泰安·模拟预测）为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. (1)该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (2)当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 【变式1】．（25-26高三下·云南楚雄·月考）某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ (2)从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【变式2】．（25-26高二下·湖南长沙·月考）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【变式3】．（25-26高二下·浙江舟山·期中）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）独立性检验中，若小于临界值，则下列结论正确的是（   ） A．两个变量一定相互独立 B．两个变量一定不独立 C．没有充分证据表明两个变量有关 D．两个变量有关联的可能性为 2．（25-26高二下·辽宁·开学考试）统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（   ） A．在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C．有的把握认为与有关 D．有的把握认为与有关 3．（25-26高二下·全国·单元测试）一款短视频手机应用最近在某校学生中流行起来，某校团委对“学生性别和喜欢该手机应用是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该手机应用的人数占男生人数的，女生喜欢该手机应用的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，则被调查的男生人数至少为（   ） 0.05 0.01 3.841 6.635 A．12 B．6 C．10 D．18 4．（25-26高二下·浙江温州·月考）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法．为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表      0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，． 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值保持不变 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（   ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 6．（2026高三·全国·专题练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区天气的判断不正确的是（    ） 日落云里走夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式： 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”，有99%的把握判断夜晚会下雨 7．（23-24高二下·福建厦门·期中）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 8．（18-19高三上·广西南宁·期末）为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 二、多选题 9．（25-26高二下·辽宁大连·月考）下列说法正确的是（   ） A．两点分布中，时，方差最大 B．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断与独立 10．（25-26高二下·河南南阳·期中）在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列联表：（单位：人），则（    ） 性别 晕机 合计 晕机者 未晕机者 男 女 合计 附：，其中. A． B． C．依据小概率值的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关 D．依据小概率值的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关 11．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6 B．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X，Y独立 C．已知A，B为随机事件，，若A，B相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 12．（2025·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 13．（25-26高二上·全国·单元测试）在某款盲盒内可能装有某一套玩偶的三种样式，且每个盲盒只装一个玩偶．某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生、女生各占．则下列说法中正确的是（    ） 参考数据： 0.10     0.05     0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．若每个盲盒装有三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是 B．此次调查中未购买过该盲盒的女生人数为60 C．有的把握认为“购买该款盲盒与性别有关” D．有的把握认为“购买该款盲盒与性别有关” 三、填空题 14．（2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 15．（25-26高二下·上海·期中）学校对社团展演活动满意度进行调研，随机抽取高一高二学生各50名，每位同学给出满意或不满意的评价，得到列联表.依据，若没有95%的把握认为年级会对满意度评价有差异，则的最小值为__________.附：， 满意 不满意 高一 高二 16．（25-26高二下·全国·课后作业）为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 患者性别 药效 合计 无效 有效 男 15 35 50 女 6 44 50 合计 21 79 100 设：服用此药的效果与患者的性别无关．则______（精确到小数点后3位），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______． 17．（25-26高二·全国·寒假作业）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表： 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为________． 四、解答题 18．（25-26高二下·河南驻马店·月考）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（25-26高二下·河南南阳·期中）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20．（2026·四川成都·二模）国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； (2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 21．（25-26高二下·上海·月考）中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下： 宣传天数 1 2 3 4 5 不了解的人数 108 100 92 80 70 (1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程； (2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表： 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 老年 40 10 50 青年 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？ （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲：列联表与独立性检验 【知识梳理】 · 考点一：完善联列表 · 考点二：分析联列表 · 考点三：等高条形图的应用 · 考点四：独立性检验的理解 · 考点五：卡方的计算 · 考点六：独立性检验解决实际问题 · 考点七：联列表 独立性检验与统计概率交汇问题 【知识梳理】 知识点一：分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． 分类变量的取值可以用实数表示． 知识点二：2×2列联表 1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 像这种形式的数据统计表称为2×2列联表． 知识点三：独立性检验 1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验． 2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 3．独立性检验解决实际问题的主要环节 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【题型归纳】 题型一：完善联列表 【典例1】．（24-25高二下·全国·课堂例题）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 【详解】因为男性有名，一共有名观众， 所以一共有名女性观众，而有名女性观众不满意， 所以有名女性观众满意，而有名男性观众满意， 所以有名男性观众不满意，故有名观众不满意，有名观众满意， 补全的列联表如下． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 【变式1】．（25-26高二下·全国·课后作业）博鳌亚洲论坛2024年年会于3月26日至29日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与是否会俄语”的列联表中，______． 性别 是否会俄语 合计 会 不会 男 20 女 6 合计 18 30 【答案】8 【分析】根据列联表的性质，求出a，b，d的值，即可得答案. 【详解】由列联表的性质，可得：，可得， 所以． 故答案为：8 【变式2】．（24-25高二下·全国·课后作业）下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 【答案】 【分析】根据已知条件补全联表即可. 【详解】根据已知条件得出， 又因为，所以，所以， 所以. 所以. 题型二：分析联列表 【典例2】．（24-25高二下·河南·月考）地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 【答案】C 【分析】根据题意，得到如下两个列联表，再一一分析即可. 【详解】根据题意，得到如下两个列联表. 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为， 女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为， 35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确； 由题意，，所以，故C不正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为， 35岁及以下市民人数为，又， 即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确. 故选：C. 【变式1】．（22-23高三·全国·课后作业）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_________人.（请将所有可能的结果都填在横线上） 附表：，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 【答案】45，50，55，60，65 【分析】利用独立性检验表达列联表及观测值可解得答案. 【详解】设男生有x人，由题意可得列联表如下， 喜欢 不喜欢 合计 男生 x 女生 x 合计 若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05， 则. ∵， ∴，解得， 又x为5的整数倍，∴被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65. 故答案为：45，50，55，60，65. 【变式2】．（21-22高二下·河南·期中）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表： 了解 不了解 总计 年龄不小于60岁 a b a＋b 年龄小于60岁 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 给出下列4组数据： ① ；② ； ③ ；④ ． 则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是______．（填序号） 【答案】③ 【分析】根据当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大，计算每组的值，比较大小可得答案。 【详解】当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大， 在①中，，在②中，，在③中，，在④中，, 故居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是③, 故答案为：③ 题型三：等高条形图的应用 【典例3】．（24-25高三·北京·一轮复习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可. 【详解】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 【变式1】．（22-23高二下·福建泉州·期中）如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（    ）    A．性别与喜欢数学无关 B．女生中喜欢数学的百分比为 C．男生比女生喜欢数学的可能性大些 D．男生不喜欢数学的百分比为 【答案】CD 【分析】根据等高堆积条形图即可结合选项求解. 【详解】由图可知，女生喜欢数学的占，男生喜欢数学的占，男生不喜欢数学的百分比为，故B错误，D正确； 显然性别与喜欢数学有关，故A错误；男生比女生喜欢数学的可能性大些，故C正确. 故选：CD. 【变式2】．（23-24高二下·广东深圳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是___________. 【答案】乙 【分析】根据选项中的图形，即可直接求解. 【详解】等高条形图中有两个高度相同的矩形，每个矩形都有两个颜色，观察下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，观察四个选项可知，B选项中带颜色区域的高度差最大，两个分类变量、相关关系最强; 故答案为：乙 题型四：独立性检验的理解 【典例4】．（2025高二·全国·专题练习）在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【分析】由独立性检验相关概念可得答案. 【详解】①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性，故①不正确； ②独立性检验是用来考察两个分类变量是否具有关联性，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度， 而不是给出事件的概率，故②不正确； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误，③正确。 故选：D 【变式1】．（24-25高二下·四川雅安·期末）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【分析】根据卡方独立性检验规则，比较与临界值即可得出结论. 【详解】因为，所以牛的毛色与角无关. 故选：A. 【变式2】．（24-25高二下·山东烟台·期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用独立性检验的意义逐项判断即得. 【详解】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误. 故选：D 题型五：卡方的计算 【典例5】．（25-26高二下·江西·月考）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】48 【分析】设男生人数为，由题可得列联表，然后由题设可得关于不等式，据此可得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，男生追星人数为，不追星人数为， 女生追星人数为，不追星人数为，据此可得列联表如下： 追星 不追星 总计 男生 女生 总计 则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得： . 又为保证所有人数为正整数，需为的倍数，则. 【变式1】．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校调查学生参加体育锻炼与性别的关系，得到如下列联表（单位：人）： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 35 55 90 女生 65 45 110 合计 100 100 200 参照公式（其中），计算得______．（保留两位小数） 【答案】 【详解】根据题意有：. 【变式2】．（25-26高二下·全国·单元测试）若两个分类变量和的列联表为： 合计 5 15 20 40 10 50 合计 45 25 70 则有________的把握认为与之间有关系. 附： 【答案】/ 【分析】根据列联表，求得观测值，对照临界值表即可解答. 【详解】零假设为：与独立， 由题可知，． 因为， 所以有的把握认为与之间有关系. 故答案为：. 题型六：独立性检验解决实际问题 【典例6】．（25-26高二下·河南焦作·期中）为研究居民体质情况是否与爱好运动有关，现从某地区随机抽取了名居民进行问卷调查，得到如下列联表（单位人）： 体质情况组别 良好 非良好 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)补全上述列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析该地区的居民体质情况是否与爱好运动有关． 附：，其中． k 【详解】（1） 体质情况组别 良好 非良好 合计 爱好运动 400 200 600 不爱好运动 200 200 400 合计 600 400 1000 （2）假设该地区居民体质情况与爱好运动无关，根据表中数据得， ， 根据小概率值的独立性检验，有充分理由推断假设不成立， 故该地区居民体质情况与爱好运动有关． 【变式1】．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)性别与使用AI工具的熟练度无关； (2) 0 1 2 3 数学期望为1. 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. （2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【变式2】．（25-26高二下·浙江·期中）某高中为了解学生课外阅读达标情况，调查了高一，高二年级学生，其中高一年级有600人，高二年级有400人，现按年级分层抽样抽取100名学生展开调查. (1)从抽取的高一年级学生中随机抽取2人，已知其中课外阅读达标的有40人，求抽取的2人中至少1人达标的概率. (2)在抽取的100名学生中，课外阅读达标与不达标的性别分布如下表，据此能否有的把握认为该校学生的课外阅读达标情况与性别有关？ 达标 不达标 总计 男生 35 15 50 女生 25 25 50 总计 60 40 100 参考公式：，其中 独立性检验临界表（部分） 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)没有的把握认为该校学生的课外阅读达标情况与性别有关⋯ 【分析】（1）应用古典概型结合对立事件概率计算求解； （2）先设零假设，再计算，最后与临界值比较进而判断即可. 【详解】（1）按分层抽样的100人中，高一年级抽取60人. 其中达标人数40人，则不达标学生有20人， 设“抽取的2人中至少1人达标”为事件，则为“抽取的2人均不达标”. 从60名高一学生中抽取2人，基本事件数， 包含的基本事件数， 故； （2）零假设：该校学生的课外阅读达标情况与性别无关， ， 不能拒绝原假设，因此没有的把握认为该校学生的课外阅读达标情况与性别有关. 题型七：联列表 独立性检验与统计概率交汇问题 【典例7】．（2026·山东泰安·模拟预测）为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. (1)该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (2)当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 【详解】（1）零假设为：模块工作状态与测试环境无关联. 根据列联表中数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，可以认为模块工作状态与测试环境无关联. （2）①由题意可知， （法一）的分布列为， . （法二）， ， ， ， ， 则的分布列如下： 0 1 2 3 4 . ②当时记系统中正常工作的模块数为随机变量，则， 记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为. 故， ， 故， 故增加一个模块即，能提高系统的可靠性. 【变式1】．（25-26高三下·云南楚雄·月考）某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ (2)从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. (2) 0 1 2 数学期望. 【详解】（1）零假设：对“大语言模型”的了解程度与性别无关联. 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. （2）由题知抽取的7名男生中，对“大语言模型”了解的有人， 对“大语言模型”不了解的有人， 则再从这7人中选取2人，的可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 【变式2】．（25-26高二下·湖南长沙·月考）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【详解】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由数据得，，， ， ， 得，， 所以y关于x的经验回归方程为． 将代入经验回归方程得， 所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分． 该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）． 【变式3】．（25-26高二下·浙江舟山·期中）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 【答案】(1) 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员性别有关联 (2) X 0 1 2 3 P 【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的， 故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的， 故样本中女性驾驶员的人数为，由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联， 根据列联表数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． （2）由题意，抽取的人中偏好燃油汽车的人数为人， 偏好新能源汽车的人数为人， 随机变量的可能值为，，，， ，， ，， 所以，随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 的数学期望． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）独立性检验中，若小于临界值，则下列结论正确的是（   ） A．两个变量一定相互独立 B．两个变量一定不独立 C．没有充分证据表明两个变量有关 D．两个变量有关联的可能性为 【答案】C 【分析】根据独立性检验的基本逻辑即可求解. 【详解】对于A，小于临界值，并不意味着“一定相互独立”，只是无足够证据反对独立，故A错误； 对于B，小于临界值，并不意味着“一定不独立”，只是无足够证据反对独立，故B错误； 对于C，这是独立性检验的基本逻辑：当时，无充分证据支持变量相关，即不能认为有关联，故C正确； 对于D，对应的把握认为两个变量有关联，而实际上，故D错误. 2．（25-26高二下·辽宁·开学考试）统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（   ） A．在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C．有的把握认为与有关 D．有的把握认为与有关 【答案】C 【分析】根据独立性检验的应用判断选项. 【详解】因为，所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下， 可以认为与有关或有的把握认为与有关． 3．（25-26高二下·全国·单元测试）一款短视频手机应用最近在某校学生中流行起来，某校团委对“学生性别和喜欢该手机应用是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该手机应用的人数占男生人数的，女生喜欢该手机应用的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，则被调查的男生人数至少为（   ） 0.05 0.01 3.841 6.635 A．12 B．6 C．10 D．18 【答案】A 【分析】设被调查的男生人数为，则女生人数为，根据题意得到列联表，由计算公式，及独立性检验思想，得到关于的不等式，求解可得. 【详解】设被调查的男生人数为，则女生人数为，可得列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 由公式算得，因为有的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，所以， 则．而都是整数，所以的值至少为12． 故选：A. 4．（25-26高二下·浙江温州·月考）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法．为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表      0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，． 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值保持不变 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 【答案】B 【分析】根据表中数据，求出，分析比较，可判断A、B的正误；根据的公式，将数据扩大2倍，可得新的，分析可判断C的正误；根据实际场景，分析可判断D的正误. 【详解】由题意，， 所以有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效，故A错误，B正确； 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍， 则， 所以统计量的值扩大2倍，故C错误； 样本的成功率高15个百分点，不能直接推广到所有工业检测场景中，属于过度推断，故D错误. 5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（   ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 【答案】B 【分析】完成列联表，计算，即可求出正整数的最小值. 【详解】完成列联表如下： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 则，解得. 又为正整数，且是5的倍数，可得的最小值为100. 故选：B. 6．（2026高三·全国·专题练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区天气的判断不正确的是（    ） 日落云里走夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式： 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”，有99%的把握判断夜晚会下雨 【答案】D 【分析】利用频率估算概率，结合观测值对照附表，对选项进行判断即可. 【详解】选项A：根据列联表可知：100天中有50天下雨，50天未下雨， 因此夜晚下雨的概率约为，故选项A正确； 选项B：未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，故选项B正确； 选项C：因为 ，所以据小概率值的独立性检验， 可以认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，故选项C正确； 选项D：依据小概率值的独立性检验，可判断“日落云里走，雨在半夜后”的说法犯错误的概率小于0.01，但不代表一定会下雨，故选项D错误. 故选：D 7．（23-24高二下·福建厦门·期中）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意可得列联表，由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值. 【详解】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人. 所以可得列联表如下： 喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计 男生人数                女生人数                合计                于是， 由于推断不成立，此推断犯错误率不超过， 所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为. 故选：C 8．（18-19高三上·广西南宁·期末）为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 【答案】B 【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项. 【详解】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大， 所以药物的预防效果优于药物的预防效果， 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二下·辽宁大连·月考）下列说法正确的是（   ） A．两点分布中，时，方差最大 B．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断与独立 【答案】ABD 【详解】对于A：两点分布的方差公式为（其中为成功概率）， 将其视为关于的二次函数，开口向下，顶点在处， 此时方差最大值为，故A正确； 对于B：设查得次品数为，则服从超几何分布， 其中（产品总数），（次品数），（抽取的产品数）， 根据超几何分布的均值公式，可得，故B正确； 对于C：根据独立性检验的统计量的计算公式为（其中为样本量），若所有数据扩大10倍， 则新数据为， 代入公式得：， 所以统计量的值变为原来的10倍，结论会改变，故C错误； 对于D：已知，，因为， 所以依据的独立性检验，可判断与独立，故D正确. 10．（25-26高二下·河南南阳·期中）在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列联表：（单位：人），则（    ） 性别 晕机 合计 晕机者 未晕机者 男 女 合计 附：，其中. A． B． C．依据小概率值的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关 D．依据小概率值的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关 【答案】AC 【分析】根据题中信息完善列联表，可判断AB选项；利用独立性检验的基本思想可判断CD选项. 【详解】由题中列联表数据，知，解得， 所以得到如下列联表： 性别 晕机 合计 晕机者 未晕机者 男 女 合计 所以，即A正确； 在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关， 由列联表中的数据，得， 依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关，所以B、D错误，A、C正确. 11．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6 B．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X，Y独立 C．已知A，B为随机事件，，若A，B相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【分析】根据古典概型求概率判断A；根据独立性检验零假设为：与相互独立，由卡方值大于得到不成立，即可判断B；根据相互独立事件概率乘法求，再根据和事件的概率公式求，判断C；利用残差的计算可得D. 【详解】对于A，从6件产品中任取2件，即， “至少取到1件次品”的对立事件是“取到2件正品”为， 因此，至少取到件次品件正品，A正确. 对于B，由可得出“零假设与独立”不成立， 所以有的把握说X，Y有关，故B错误； 对于C，若A，B相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 12．（2025·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【答案】BD 【分析】先补全列联表的未知数值，再通过样本频率验证概率类选项，利用独立性检验的卡方公式计算统计量，结合临界值判断变量关联程度. 【详解】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的； 40岁以上且周平均使用时间超过4小时的； 40岁以上的总计为， 故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的. 选项A：，A错误； 选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72， 总样本数120，概率为，B正确； 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 18 72 40岁以上 18 30 48 总计 72 48 120 ， 因， 故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关. 所以C选项错误，D选项正确. 故选：BD 13．（25-26高二上·全国·单元测试）在某款盲盒内可能装有某一套玩偶的三种样式，且每个盲盒只装一个玩偶．某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生、女生各占．则下列说法中正确的是（    ） 参考数据： 0.10     0.05     0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．若每个盲盒装有三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是 B．此次调查中未购买过该盲盒的女生人数为60 C．有的把握认为“购买该款盲盒与性别有关” D．有的把握认为“购买该款盲盒与性别有关” 【答案】AC 【分析】对于A，由列举法结合题意可判断选项正误；对于B，由题意可得未购买过该盲盒的女生人数；对于CD，由独立性检验知识可判断选项正误. 【详解】对于A，方法1， 该同学再购买两个这款盲盒，基本事件有： ， 能收集齐这三种样式的基本事件有，所以恰好能收集齐这三种样式的概率是．故A正确； 对于B，购买了该款盲盒的人有，所以有140人没有购买， 其中男生70人，女生70人，所以未购买过该盲盒的女生人数为70．故B错误； 对于CD，在这些购买者当中，女生占，所以购买了该款盲盒的人中男生20人， 女生40人，结合B选项可知，列联表如下： 购买情况 性别 男生 女生 总计 未购买过该款盲盒 70 70 140 购买过该款盲盒 20 40 60 总计 90 110 200 ，因为， 所以有90%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”， 没有的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”，故C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题 14．（2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 【答案】拒绝 【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于， 属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联， 本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响. 15．（25-26高二下·上海·期中）学校对社团展演活动满意度进行调研，随机抽取高一高二学生各50名，每位同学给出满意或不满意的评价，得到列联表.依据，若没有95%的把握认为年级会对满意度评价有差异，则的最小值为__________.附：， 满意 不满意 高一 高二 【答案】21 【分析】根据定义算出的表达式，由题意得，可得出的最小值. 【详解】由题意得，并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值为. 16．（25-26高二下·全国·课后作业）为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 患者性别 药效 合计 无效 有效 男 15 35 50 女 6 44 50 合计 21 79 100 设：服用此药的效果与患者的性别无关．则______（精确到小数点后3位），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______． 【答案】 4.882 5％ 【分析】计算，再由独立性检验得出结论. 【详解】由公式计算得． 因为，所以我们有的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为． 故答案为：4.882；5％ 17．（25-26高二·全国·寒假作业）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表： 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为________． 【答案】 【分析】根据临界值表结合已知数据分析判断即可. 【详解】因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性最大为. 其中临界值表如下： 故答案为：. 四、解答题 18．（25-26高二下·河南驻马店·月考）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，有关. (2) 【详解】（1）依题意可知，女性用户共有200人，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人， 男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为， 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 100 100 200 女 150 50 200 合计 250 150 400 零假设为：修改为“认同取暖器‘最佳舒适温度’不低于与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 故此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； （2）由第1问得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人， 故抽取2人至少有1名女性的概率为. 19．（25-26高二下·河南南阳·期中）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； (2) 【分析】（1）根据题意填充列联表，再计算的观测值，与临界值比较后得出结论； （2）利用（1）中列联表的数据，根据古典概型概率公式求解. 【详解】（1）依题意可知，女性用户共有200人， 认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人， 男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为. 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 100 100 200 女 150 50 200 合计 250 150 400 零假设为：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； （2）由（1）得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人， 故抽取2人至少有1名女性的概率为. 20．（2026·四川成都·二模）国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； (2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 【答案】(1)，体质情况与爱好运动有关. (2)的分布列为： 0 1 2 . 【分析】（1）求出参数值并完善表格，根据公式计算的值后可得正确判断； （2）先确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率后结合期望公式可求. 【详解】（1）由表中数据可得，表格完善如下： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 设：体质情况与爱好运动无关， 则， 根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关. （2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动， 故的所有可能取值为0，1，2， ，，， 即所求分布列为 0 1 2 所以的期望. 21．（25-26高二下·上海·月考）中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下： 宣传天数 1 2 3 4 5 不了解的人数 108 100 92 80 70 (1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程； (2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表： 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 老年 40 10 50 青年 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？ （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)； (2)（i）是否了解中国民间传统文化与年龄有关； （ii） 0 1 2 3 . 【分析】（1）结合题干和最小二乘法求解回归方程即可； （2）（i）计算独立性检验的统计量，对比题干显著水平做出判断； （ii）根据分层抽样确定来自青年调查表的份数，列举随机变量的可能取值，求解对应概率，进而列出分布列并求解期望. 【详解】（1）根据题干可知， ，，， ， ， ， ， 所以关于的回归方程为： （2）（i）假设：是否了解中国民间传统文化与年龄无关； 由题知显著性水平：，即； 统计量： ， 因为，故拒绝原假设，即是否了解中国民间传统文化与年龄有关； （ii）按分层抽样抽取老年调查表4份，青年调查表3份， , . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望： 2 学科网（北京）股份有限公司 $