02：数列的求和【8个核心题型】讲义-2026届高三数学三轮冲刺

【数列核心考点02：数列的求和】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：倒序相加法】 【练方法】 解题方法 1适用场景：对称型数列即满足为定值的数列 2操作步骤： 写出原和式 写出倒序和式 两式相加利用对称项的和为定值求解 3典型模型：等差数列求和形如为定值的函数型数列求和 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列.经典例题1例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得 . 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. （2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ）经典例题2例题 A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. （25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数的图象关于点对称，数列满足.小试牛刀1 (1)求实数a的值； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用函数图象的对称性列式求出值. （2）由（1）中信息，利用倒序相加法求出，进而求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由函数的图象关于点对称，得， 则，即， 因此，所以. （2）由（1）知，而当时，， 则， 于是，当时，，即，满足上式，因此， ， 所以. （2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则_____.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： （25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________小试牛刀3 【答案】 1 【分析】求出，即可计算求解c；由c得到以及，进而消元得到，接着构造，由b的范围和以及的单调性即可分析求解. 【详解】由题可知， ∴， 令， 又， ∴， ∴，∴； ∵，∴， 且， ∵，且由，及，可知， ∴令函数， 则，且易知为单调递减函数， ∴，即， 易知，∴的取值范围为． 故答案为：1；. 【题型2：错位相减法】 【练方法】 解题方法 1适用场景：等差×等比型数列求和通项 2操作步骤： 写出 两边同乘公比得到 两式相减中间项构成等比数列用等比数列求和公式计算 整理得到的表达式 3易错点：最后一项符号等比数列求和的项数公比的特殊情况 （2026·陕西榆林·模拟预测）在数列中，．经典例题1例题 (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出，，利用错位相减法求出，进行证明. 【详解】（1）由，可得，又因为，所以，所以是首项为1，公差为3的等差数列． （2）由（1）知，，所以， ，① ，② ①-②得， ，所以， 又，即． （2026·河北衡水·模拟预测）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且.经典例题2例题 (1)求，的通项公式； (2)记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，借助等差数列、等比数列通项列出方程组求出首项即可. （2）利用错位相减法求出，按分段，并利用二项式系数的性质确定范围求出取值集合. 【详解】（1）依题意，，解得， 则， 所以数列，的通项公式分别为. （2）由（1）得， 则，， 两式相减得 ，因此， ，当时，； 而，当时，， 因此，，则， 所以的取值集合是. （2026·云南曲靖·一模）数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______.小试牛刀1 【答案】 【分析】先求解数列，再求得数列，用错位相减求和，进而求解的前项和. 【详解】已知数列的通项公式为，则， 数列的前项和为，当时，，当时，， 因此数列的通项公式为 当时，； 当时，， 则， 两式相减得， 即. 化简得，时也符合该式， 综上所述，. （2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足．小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征； （2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和． 【详解】（1）， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． （2）， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． （2026·甘肃兰州·二模）已知数列的前n项和为，且.小试牛刀3 (1)证明数列是等比数列并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用得出数列的递推关系，结合等比数列的通项公式求得； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由，当时，， 两式相减得， 即时，，即， 由，可得当时，，解得， 所以是首项和公比均为2的等比数列， 所以，即； （2）因为， 所以①， 则②， ①-②得 ， 所以. 【题型3：裂项相消法】 【练方法】 解题方法 一、分式型裂项 1基础等差裂项 常见形式： ： ： 延伸： 2差比裂项（分子含等差） 通过待定系数法拆分如： 3根式裂项 常见形式： ： ： 4高阶裂项（名师拓展） 5指数型裂项 二、操作步骤 1观察通项结构确定裂项形式 2待定系数法或直接套用公式将通项拆分为两项之差 3写出前几项和最后几项抵消中间项 4整理剩余项得到和式 （2020·全国·模拟预测）已知等差数列中，，.经典例题1例题 (1)求数列的通项公式. (2)记数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式； （2）求出，可求得，利用裂项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）（1）解：设等差数列的公差为， 由可得，解得， . （2）（2）解：由（1）可得， 所以，， 因此，. （2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ）经典例题2例题 A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . （2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且．小试牛刀1 (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． （2026·江西吉安·一模）已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据已知条件推导出数列的通项公式，进而可知的表达式，然后求出的通项公式，利用裂项相消法求得结果. 【详解】将代入得，即，解得， 当时，将代入得， 去分母得，所以， 所以，所以， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以. （2026·四川德阳·三模）已知数列中，．小试牛刀3 (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由递推公式可得答案； （2）证明为常数即可完成证明； （3）由（2）分析可得， ，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】（1）数列中，， 则，； （2）由，则，则， 从而是以为首项，公比为2的等比数列； （3）由（2）， 则 ， 从而 . 【题型4：奇偶项求和】 【练方法】 解题方法 1适用场景：通项含或分段奇偶项的数列 2操作步骤： 分为奇数和偶数两种情况讨论 分别写出奇数项和偶数项的和式 若为偶数：前项和为个相邻两项的和合并为定值 若为奇数：前项和为前项（偶数项）和加上第项 3典型模型：如 （2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）．经典例题1例题 (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)数列的前项依次为 (2) 【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项； （2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． （25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 经典例题2例题 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 【多选题】（2026·江苏无锡·二模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．数列的前10项和为110 【答案】AC 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与即可得B；由题意可得，结合累加法与等差数列求和公式计算可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 由，则， 故 ，故D错误. 【多选题】（2026·湖北黄冈·一模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C错误； 对于D，数列的前项的和为， 所以 ，故D正确. （2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B．是等比数列 C． D． 【答案】BC 【详解】依题意，，故A错误； 因为，， 所以是以6为首项，2为公比的等比数列，故正确； 所以，所以， 所以，故C正确； ，故D错误． 【题型5：数列求和与不等式的恒成立】 【练方法】 解题方法 1适用场景：数列和式大于/小于某个常数恒成立求参数范围 2操作步骤： 先求数列前项和的表达式 分析的单调性（判断的符号） 确定的最值或极限值 根据恒成立条件列不等式求解参数范围 3常见技巧：放缩法（如裂项放缩等比放缩）先求和再放缩 （2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2.经典例题1例题 (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系，求出的通项公式；利用等比数列通项公式求出的通项公式，再结合错位相减法求； （2）将、的通项代入不等式，整理得到关于的恒成立问题，所以构造新数列，通过研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定的取值范围. 【详解】（1）已知：时，； 时，， 验证也满足，故. 是首项为1、公比为2的等比数列，故，. ，则：① 两边同乘得：②. ①-②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：. （2）不等式，对恒成立， 代入得：. 设，作差得： 时，； 时，； 时，， 故的最大值为，因此，即. （2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，．经典例题2例题 (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. （2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 （2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. （3）结合放缩法得到，再求和证明即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 也满足上式； 故. 当时，； 当时，， 也满足上式； 综上，. （2）， 故数列的前项和. （3）， 又对任意的：， 所以， 故. （25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知函数为无理数且小试牛刀3 (1)求在区间的最值； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)对于，证明：． 【答案】(1)． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过二次求导，确定在区间的单调性，即可求解； （2）通过讨论，说明使得 不符合题意，得到，再通过放缩，构造函数，通过二次求导确定单调性即可求解； （3）由（2）得到，推出，再结合，即可求证. 【详解】（1），可知， 令，则， 易得当时，，当时，， 即在单调递减，在上单调递增， ，则在单调递增， 所以． （2）构造函数， ， 易知，若， 则使得在上单调递减，，与题意矛盾， 则， 此时， 令，只需证在恒成立即可． ， 令，则， 恒成立，即在单调递增， 在单调递增，则恒成立， 所以的取值范围是. （3）由（2）可知在恒成立， 则有在恒成立， 令，则有恒成立， 所以， 又， 则. 【题型6：数列的插项与并项】 【练方法】 解题方法 1插项问题：在两个数列之间插入若干项构成新数列如等差中项等比中项 确定插入项的个数和公差/公比 利用原数列的项建立方程求解插入项的参数 2并项问题：将数列的相邻两项或多项合并为新项简化求和 观察相邻项的关系如和为定值积为定值 合并后转化为等差/等比数列或可裂项的数列求和 （2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，．经典例题1例题 (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． （2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列．经典例题2例题 (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【答案】(1) (2)1176 【分析】（1）根据等差中项的性质以及和的关系即可求解； （2）首先求出的通项公式，然后令，可得所有的都在中，最后根据去掉的项利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， 去掉的5个的和：， 因此. （2026·河南开封·二模）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________．小试牛刀1 【答案】1150 【分析】根据给定条件，确定不大于的集合中元素个数，不大于的集合中元素个数，再列出方程并确定其整数解，利用等差数列、等比数列前n项和公式求解. 【详解】依题意，，由，令，显然集合中小于的元素有个， 集合中不大于的元素有个，因此， 由，令， 同理，于是，， 令，则， 由，得，则， 又数列单调递增，而，因此， 当时，，解得；当时，，无整数解； 当时，，无整数解；当时，，无整数解， 则，， 集合中小于的元素有32个，它们的和为， 集合中不大于的元素有6个，它们的和为， 所以. （2026·四川达州·二模）已知数列为等差数列，且.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. 【答案】(1) (2)609 【分析】（1）列出关于的方程组，然后根据等差数列的通项公式即可求解； （2）首先求出到原数列第项为止插入的总项数，令得出，即得出插入510个1，然后利用分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得： ，，解得，， 故通项公式为 . （2）根据题意，在和之间插入个，设到原数列的第项为止， 则新数列的总项数， 令，代入验证得时，，刚好满足， 即包含原数列前9项和所有插入的1： 插入1的总个数为，插入部分和为， 原数列前9项和：， 因此： . （25-26高三上·天津·月考）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，．小试牛刀3 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 【答案】(1)， (2) (3)2646 【分析】（1）由等差数列的基本量运算求得，求得通项；进而求得，再根据等比数列的基本量运算求得答案； （2）由（1）易得，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解； （3）易得中截至共有项，再由时，有2016项，然后由求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，解得， 故； 所以，， 因为，所以数列为等比数列，设公比为， 则，得，又，所以， 所以. （2）由（1），可得， 设的前项和中，偶数项的和为，奇数项的和为， 所以，， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 所以. （3）， 截至共有项， 当时，， . 【题型7：分组求和法】 【练方法】 解题方法 一、分组类型归纳 1等差+等比型：其中为等差为等比 分别求等差数列和与等比数列和再相加 例： 2奇偶项不同型： 分奇偶项分组求和分别计算奇数项和与偶数项和 例： 3周期型数列：数列按一定周期重复如周期为2 3的数列 先求一个周期内的和再计算周期个数与剩余项的和 例：周期为4 4正负交替分组：相邻两项合并为一组 每两项合并转化为新数列求和 例：合并后为 5分母分组：通项为多个分式的和如 分别对分式部分和指数部分求和再相加 二、操作步骤 1观察通项结构确定分组方式 2按组分别求和利用等差/等比/裂项等方法计算每组的和 3合并各组的和得到前项和 （25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的首项，，则______．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】根据累加法结合余弦函数的周期性可求. 【详解】由题设有， 由累加法可得，， 即，， 故 ，， ，， 而的周期为，故是周期为的数列， 且， 故. 故答案为：. （2026·宁夏银川·模拟预测） 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.经典例题2例题 (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先用辅助角公式将函数化为一个角的三角函数，再根据正弦函数的单调递增区间可得； （2）先求得，再根据正弦函数的性质可得函数的值域； （3）先由函数解析式可得函数的零点，再根据所有零点排列的特征得数列的奇数项和偶数项均构成等差数列，再进行分组求和可得. 【详解】（1）因为 ， 因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，又，所以，所以， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为； （2）因为，，所以，，，， 所以在上的值域为. （3）因为，令，得， 所以或，，即或，， 所以所有的正零点需满足或，得为正整数. 所以数列是以为首项，π为公差的等差数列，所以数列是以为首项，π为公差的等差数列， 所以 . （2026·重庆九龙坡·一模）已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由辅助角公式化简，并利用的最小正周期求出，得到的解析式，令得到或，，确定奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】 ， 因为的最小正周期为，，所以，故， 所以，令，即， 即，所以或， 解得或，， 又所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列， 故令且，得到，，，，……， 显然，奇数项为首项为，公差为的等差数列， 偶数项为首项为，公差为的等差数列， 故数列的前12项和为. 故选：A （2026·云南昭通·模拟预测）记为数列的前n项和，已知数列满足，则______.小试牛刀2 【答案】 【分析】当 为奇数时，,当 为偶数时，,利用的周期性可求得的值. 【详解】当 为奇数时，,当 为偶数时，;     因此， . 故答案为：0. （2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，.小试牛刀3 (1)求，的通项公式； (2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可求出的通项公式，利用基本量法列出方程组可求的通项公式； （2）依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. （2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 【题型8：数列求和综合型】 【练方法】 解题方法 1核心思路：综合运用多种求和方法如错位相减+裂项相消分组求和+放缩 2操作步骤： 分析通项结构拆分出不同类型的部分 对不同部分选择合适的求和方法 合并各部分的和再处理不等式恒成立或最值问题 （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.经典例题1例题 【答案】 5 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．经典例题2例题 (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. （2026·河北衡水·二模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且.小试牛刀1 (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出双曲线渐近线，求出交点，坐标，结合，从而求出抛物线方程. （2）（i）设出直线，联立抛物线，根据题干信息结合韦达定理得到，再根据中点坐标公式表示点坐标，再利用换元的方式将问题转化为，借助对勾函数的图象和性质求出最终答案. （ii）根据抛物线的焦半径特点求出，从而得，当时，利用放缩法得，从而证得，当时，易得也成立. 【详解】（1）双曲线中，​，渐近线方程为， 联立渐近线与抛物线， 将代入抛物线得对应交点为， 则​，解得， 故抛物线的方程为. （2）（i）设直线，联立得，则， 弦长，故， 中点到轴距离为，代入得 ， 令，则，根据对勾函数图象和性质可知函数在上函数 单调递增， 最小值为，故到轴距离的最小值为. （ii）因为， 所以. 当时，， 所以 ，即； 当时，， 即成立. （2026·天津·一模）已知数列满足．小试牛刀2 (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. （2024·福建厦门·二模）对于函数，若，存在唯一的实数，使得，则称存在“数列”，其“数列”为，已知.小试牛刀3 (1)证明：存在“数列”. (2)若恒成立，求的取值范围. (3)记的“数列”为，证明：的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由函数单调性和值域结合“数列”定义即可证明； （2）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解； （3）由已知得，故，结合得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式即可. 【详解】（1）由，得， 则在区间上单调递减，又， 当且时，，则的值域为， 所以，令，可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数，使得， 即存在数列. （2）若恒成立，即恒成立. 令，即恒成立. 令，则， 令，， 则，当且仅当时取等号， 则在区间上单调递减， 得到，即，故在区间上单调递增， 可得，得到，即. （3）令，则， 可得在上单调递增，得到， 则，即， 可得，故， 而，可得，解得， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 真题模拟检测 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（   ） A．-16 B．-15 C．-12 D．-10 【答案】C 【分析】根据原数列可得，再结合取整函数的性质逐项求解并求和即可. 【详解】已知， 则，根据取整函数性质： 对任意整数，，因此. 由从到，依次计算得： 所以. 二、多选题 2．（2026·湖北宜昌·二模）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，依次判断ABC选项，找出它们相同的项，从而可求的前10项的和可判断D选项. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，故A正确； 由于，， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，即， 假设中存在连续三项成等比数列，设为：， 则， 化简得：，即等式无解； 所以中不存在连续三项成等比数列，故B错误； 由于，所以，故C正确； 数列的项在数列中对应的位置满足：， 即，即中被去掉的项为： ，，即第一项， ，，即第三项， ，，即第七项， ，，即第十五项， 所以,故D正确. 三、填空题 3．（25-26高二上·天津·月考）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 【答案】7893 【分析】先确定的前2025项中的项数，然后计算的前63项的和，然后计算插入的2的个数和总和，从而求得结果. 【详解】由于在和之间插入个形成一个新数列， 所以新数列中包含至的总项数由个项和个插入的2构成， 总项数为. 计算最大的，使得，当时，， 即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为项，为插入的2. 数列的前63项的和为，的前2016项中插入的2的个数为个， 从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为个，则插入的2的和为. 所以的前2025项的和为. 故答案为：7893. 四、解答题 4．（2026·安徽池州·二模）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系，结合递增数列的特点，根据等差数列的定义可证； （2）分别求出数列的通项公式，利用错位相减求和法求得的结果. 【详解】（1）令，得，所以； 由题意得， 所以当时， ，即， 所以或 所以或. 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知，所以. 令 则① 两边同乘以2，得② ②-①，得 所以. 5．（2026·云南昭通·二模）已知点在函数的图象上，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2)1013 【分析】（1）根据题意代入点解得，则，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解； （2）根据题意可得，令，可得当n为奇数时，，利用并项求和法运算求解. 【详解】（1）因为点在函数的图象上，则， 解得，即，则， 当时，则； 当时，则，可得； 且符合上式，所以. （2）因为，则， 令，数列的前n项和为， 当n为奇数时，， 可得， 所以数列的前2026项和为1013. 6．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 7．（2026·山西晋中·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中． (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入已知条件，计算即可解决问题； （2）利用三角函数的周期性，将数列进行分组，然后进行分组求和，先求出一个周期内的和，最后求出全部和. 【详解】（1）解：（1）， ，，． ，，，． （2）解：由（1）得，，， ． 又的周期，当时，； 当时，；当时，； 当时，，其中． 在一个周期内，，， ，， ， 数列的前20项为5个完整的周期，． 8．（2026·河南·模拟预测）已知数列满足，． (1)令，求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，若，求n的最大值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先应用累加法及等比数列求和公式计算得出通项公式； （2）应用分组求和及等比数列求和公式计算得出，最后应用指数函数单调性计算求解. 【详解】（1）由，可得，即， 当时，有， 累加，得 ， 又，所以， 验证可知也符合上式， 所以． （2）因为，且，所以， 所以， 则， 令，得，解得， 所以n的最大值为7． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 11．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)集合共有4个元素，求实数范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）用换递推公式中的，然后两式相减，化简得，利用等比数列通项公式可得，利用等差数列的通项公式可得； （2）代入和，裂项相消，可求和； （3）令，研究数列的单调性，要求 恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个 ， 使得 ，只需. 【详解】（1）当时，用替换得：， 将原式与 时的式子相减得： ， 两边乘以 得， ； 当 时，有，上式也成立， 故 是首项为 、公比为 的等比数列， 因此， 点 在直线 上， 所以， 故是首项为、公差为的等差数列， 因此， （2）由 (1) 知 ，，， 所以， 故. （3）由 (1) 知 ，，所以，该表达式对有意义， 令， 计算部分值：，，，，， 又 ， 当时， 故对恒成立， 在时单调递减，所以对恒成立. 集合的元素是满足的自然数（）， 要求恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个，即， 使得， 当时，均满足，至少有 5 个元素； 当 （即时， 满足， 而不满足，恰好 4 个元素； 当时，满足条件的 减少至 2 个或更少. 因此， 恰有 4 个元素当且仅当， 即. 12．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列. ①求数列的通项公式；②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】(1)根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. (2)①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②分为奇偶讨论求和即可. 【详解】（1）由题意知为等差数列且公差为， 所以由等差数列公式可得，又因，， 所以可得，为的前项和， 所以，而， 所以， 若，则可得，解不等式可得， 所以可得 （2）①因数列也是公差为的等差数列，所以可设， 又因， 所以可得， 两边同时平方可得对于任意的都成立， 所以可得且，解之可得， 所以 ②由①知，所以， 当,即为偶数时， ， 当，即为奇数时， ， 综上可得，即 13．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知数列是首项为1且公差不为零的等差数列，且成等比数列，数列的前项和为， 条件①，条件②，条件③， (1)求的通项公式； (2)选择三个条件中的一个，求的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由等差数列的基本量表示条件成等比数列求解； （2）从中任选一个递推公式，分和两种情况讨论求解； （3）裂项得，正负相消求和. 【详解】（1）设数列的公差为，则，因为成等比数列，， 所以，解得， 所以； （2）若选①，当时，， 当时，，又，所以； 若选②，当时，，又，所以，解得， 当时，，整理得， 即，所以是等比数列，公比为，又， 所以； 若选③，当时，，因为，所以， 又，所以， 当时，， 即当时，，又，所以是首项为公比为的等比数列， 所以； （3）由（1）（2），因为， 所以， 所以. 14．（2026·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且（为常数，且）. (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）当时，，当时，裂项得，相消求和即得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以， 由于，故，不适合， 综上，的通项公式为. （2）若，由（1）即，得， 所以，时，， 即， 所以，当时，，即， 当时，，即， 所以，当时，， 当时，， 所以， 当时，， 当时，也满足， 综上，. 15．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，且 (1)求的值，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，（或，答案不唯一） (2) 【分析】（1）直接求出，由求得.由，求得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求得数列的前项和． 【详解】（1）由条件知. 当为偶数时，； 当为奇数且时，也符合. 数列的通项公式为，（或，答案不唯一） （2）由题意可知： 当为奇数时，，，则； 当为偶数时，，，则. 综上可得，. 所以， 所以. 16．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若各项均为正数的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若正项等比数列，满足，求； (3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据项与和的关系，可得到数列的递推公式，由此判断数列是等差数列，从而求得其通项公式； （2）由题意求出等比数列的通项公式，根据错位相减求和法，求得； （3）分离参数，并构造新函数，通过分析新函数的最值情况，得到实数的取值范围． 【详解】（1）由，可得，且， 又，所以， 即， 因为，所以，所以，        所以是公差为的等差数列. 又，得，所以. （2）设的公比为，因为，所以， 即，解得舍或， 因为，所以，， 所以 ， ， 两式相减得: . 所以； （3）由（2）得不等式，可变为 当为奇数时，， 记，所以， ， 令，得，所以. 所以时，，即，即， 时，，即，即且取奇数时，单调递增， 此时，即； 当为偶数时，，所以， 时，，即， 时，，即，且取偶数时，单调递增. 此时，所以，即. 综上所述，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【数列核心考点02：数列的求和】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：倒序相加法】 【练方法】 解题方法 1适用场景：对称型数列即满足为定值的数列 2操作步骤： 写出原和式 写出倒序和式 两式相加利用对称项的和为定值求解 3典型模型：等差数列求和形如为定值的函数型数列求和 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列.经典例题1例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. （2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ）经典例题2例题 A．2026 B．2025 C．1013 D． （25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数的图象关于点对称，数列满足.小试牛刀1 (1)求实数a的值； (2)设，求数列的前n项和. （2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则_____.小试牛刀2 （25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________小试牛刀3 【题型2：错位相减法】 【练方法】 解题方法 1适用场景：等差×等比型数列求和通项 2操作步骤： 写出 两边同乘公比得到 两式相减中间项构成等比数列用等比数列求和公式计算 整理得到的表达式 3易错点：最后一项符号等比数列求和的项数公比的特殊情况 （2026·陕西榆林·模拟预测）在数列中，．经典例题1例题 (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：． （2026·河北衡水·模拟预测）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且.经典例题2例题 (1)求，的通项公式； (2)记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. （2026·云南曲靖·一模）数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______.小试牛刀1 （2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足．小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． （2026·甘肃兰州·二模）已知数列的前n项和为，且.小试牛刀3 (1)证明数列是等比数列并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型3：裂项相消法】 【练方法】 解题方法 一、分式型裂项 1基础等差裂项 常见形式： ： ： 延伸： 2差比裂项（分子含等差） 通过待定系数法拆分如： 3根式裂项 常见形式： ： ： 4高阶裂项（名师拓展） 5指数型裂项 二、操作步骤 1观察通项结构确定裂项形式 2待定系数法或直接套用公式将通项拆分为两项之差 3写出前几项和最后几项抵消中间项 4整理剩余项得到和式 （2020·全国·模拟预测）已知等差数列中，，.经典例题1例题 (1)求数列的通项公式. (2)记数列的前项和为，证明. （2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ）经典例题2例题 A．3 B．6 C．2 D．4 （2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且．小试牛刀1 (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． （2026·江西吉安·一模）已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·四川德阳·三模）已知数列中，．小试牛刀3 (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，求数列的前n项和． 【题型4：奇偶项求和】 【练方法】 解题方法 1适用场景：通项含或分段奇偶项的数列 2操作步骤： 分为奇数和偶数两种情况讨论 分别写出奇数项和偶数项的和式 若为偶数：前项和为个相邻两项的和合并为定值 若为奇数：前项和为前项（偶数项）和加上第项 3典型模型：如 （2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）．经典例题1例题 (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． （25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 经典例题2例题 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【多选题】（2026·江苏无锡·二模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．数列的前10项和为110 【多选题】（2026·湖北黄冈·一模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．数列的前20项和为110 （2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B．是等比数列 C． D． 【题型5：数列求和与不等式的恒成立】 【练方法】 解题方法 1适用场景：数列和式大于/小于某个常数恒成立求参数范围 2操作步骤： 先求数列前项和的表达式 分析的单调性（判断的符号） 确定的最值或极限值 根据恒成立条件列不等式求解参数范围 3常见技巧：放缩法（如裂项放缩等比放缩）先求和再放缩 （2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2.经典例题1例题 (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. （2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，．经典例题2例题 (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． （2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． （2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. （25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知函数为无理数且小试牛刀3 (1)求在区间的最值； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)对于，证明：． 【题型6：数列的插项与并项】 【练方法】 解题方法 1插项问题：在两个数列之间插入若干项构成新数列如等差中项等比中项 确定插入项的个数和公差/公比 利用原数列的项建立方程求解插入项的参数 2并项问题：将数列的相邻两项或多项合并为新项简化求和 观察相邻项的关系如和为定值积为定值 合并后转化为等差/等比数列或可裂项的数列求和 （2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，．经典例题1例题 (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． （2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列．经典例题2例题 (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． （2026·河南开封·二模）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________．小试牛刀1 （2026·四川达州·二模）已知数列为等差数列，且.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. （25-26高三上·天津·月考）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，．小试牛刀3 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 【题型7：分组求和法】 【练方法】 解题方法 一、分组类型归纳 1等差+等比型：其中为等差为等比 分别求等差数列和与等比数列和再相加 例： 2奇偶项不同型： 分奇偶项分组求和分别计算奇数项和与偶数项和 例： 3周期型数列：数列按一定周期重复如周期为2 3的数列 先求一个周期内的和再计算周期个数与剩余项的和 例：周期为4 4正负交替分组：相邻两项合并为一组 每两项合并转化为新数列求和 例：合并后为 5分母分组：通项为多个分式的和如 分别对分式部分和指数部分求和再相加 二、操作步骤 1观察通项结构确定分组方式 2按组分别求和利用等差/等比/裂项等方法计算每组的和 3合并各组的和得到前项和 （25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的首项，，则______．经典例题1例题 （2026·宁夏银川·模拟预测） 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.经典例题2例题 (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和. （2026·重庆九龙坡·一模）已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·云南昭通·模拟预测）记为数列的前n项和，已知数列满足，则______.小试牛刀2 （2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，.小试牛刀3 (1)求，的通项公式； (2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【题型8：数列求和综合型】 【练方法】 解题方法 1核心思路：综合运用多种求和方法如错位相减+裂项相消分组求和+放缩 2操作步骤： 分析通项结构拆分出不同类型的部分 对不同部分选择合适的求和方法 合并各部分的和再处理不等式恒成立或最值问题 （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.经典例题1例题 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．经典例题2例题 (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． （2026·河北衡水·二模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且.小试牛刀1 (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. （2026·天津·一模）已知数列满足．小试牛刀2 (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． （2024·福建厦门·二模）对于函数，若，存在唯一的实数，使得，则称存在“数列”，其“数列”为，已知.小试牛刀3 (1)证明：存在“数列”. (2)若恒成立，求的取值范围. (3)记的“数列”为，证明：的前项和. 真题模拟检测 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（   ） A．-16 B．-15 C．-12 D．-10 二、多选题 2．（2026·湖北宜昌·二模）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 三、填空题 3．（25-26高二上·天津·月考）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 四、解答题 4．（2026·安徽池州·二模）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 5．（2026·云南昭通·二模）已知点在函数的图象上，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 6．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 7．（2026·山西晋中·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中． (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 8．（2026·河南·模拟预测）已知数列满足，． (1)令，求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，若，求n的最大值． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 11．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)集合共有4个元素，求实数范围. 12．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列. ①求数列的通项公式；②求数列的前项和. 13．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知数列是首项为1且公差不为零的等差数列，且成等比数列，数列的前项和为， 条件①，条件②，条件③， (1)求的通项公式； (2)选择三个条件中的一个，求的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 14．（2026·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且（为常数，且）. (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 15．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，且 (1)求的值，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若各项均为正数的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若正项等比数列，满足，求； (3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $