广东广州市铁一中学2025-2026学年高一下学期期中考数学复习卷2

姓名：___________班级：___________学号：_______ 2025-2026学年高一下学期期中考前数学复习卷2 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，，向量与向量的夹角为150°，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．已知直线、，平面、，给出下列命题： ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，且，则； ④若，，且，则． 其中正确的命题是（ ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 5．如图，中，，CD与BE交于F， 设，则为（ ） A． B． C． D． 6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度（ ） A． B． C．100 D．300 7．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称 C．函数关于点中心对称 D． 8．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9．设为复数，且，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列结论中，正确的结论有（     ） A．如果，那么的最小值是2 B．如果，，，那么的最大值为3 C．函数的最小值为2 D．如果,，且，那么的最小值为2 11．在中，下列结论正确的是（ ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，一定有 C．若a=8，，，则符合条件的只有1个 D．若且，则为等腰直角三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．=_________． 13．如图，某公园要在一块圆心角为，半径为的扇形草坪中修建一个 内接矩形文化景观区域，若，则文化景观区域面积的最大值为______． 14．已知函数，若当方程有四个不等实根（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知是关于x的实系数方程的一个复数根． （1）求实数，的值： （2）设方程的另一根为，复数，对应的向量分别是，，若向量与垂直，求实数的值． 16．已知锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求面积的取值范围． 17．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： （1）求四棱锥的体积. （2）求二面角的余弦值． （3）在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 18．已知函数 （1）化简的表达式． （2）若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域． （3）将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称．若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围． 19．设函数． （1）证明：函数在上是增函数； （2）若是否存在常数，使函数在上的值域为，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 2025—2026学年高一下学期期中考前 数学复习卷2 参考答案 1．A【详解】对于集合，有解得，且，所以且所以．故选：A 2．D【详解】向量在向量上的投影向量为． 3．B【详解】在区间上单调递减，，所以，，所以是最小的．．，即，所以． 4．C【详解】对于命题①，若，，且，则，该命题正确； 对于命题②，若，，且，则与平行或相交，该命题错误； 对于命题③，若，，且，则与平行、垂直或斜交，该命题错误 ； 对于命题④，若，，且，则，该命题正确． 故选：C． 5．A【详解】， ， 同理：， 所以，解得，所以，即为． 6．A【详解】如图由题意得：，， 在中，，在中，， 由正弦定理得：，即，解得：， 由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC， 则（m）． 7．C【详解】∵为偶函数，∴，∴，故即，∴函数的图象关于直线对称．∵为奇函数，∴，∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；由及知，，∴，∴，即，∴，故∴函数的周期为4，A错误，，故D错误． 故选：C． 8．C【详解】即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，即，解得． 9．BD【详解】对于A，若，，则，此时，A错误； 对于B，，，又，，即，B正确； 对于C，若，则，若为虚数，则，C错误； 对于D，设，，则， ，， ， ，，D正确．故选：BD． 10．BD【详解】对于A： 如果，那么，最小值是2不成立；对于B：如果，，，则，整理得，所以，当且仅当时取得最大值，所以的最大值为3，故B正确；对于C：函数，当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故C错误；对于D：如果，，且，那么，当且仅当时取得最小值，故D正确．故选：BD 11．BD【详解】A， ，又因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A不正确； B，在锐角中，，即，且，则，B正确； 对于C，由，，及正弦定理，得，即，又因为，则，由正弦函数图象和性质知，此时有两解，故C 不正确； 对于D，由两边同时平方，得，即，和分别为方向和方向的单位向量，由平行四边形法则可知，的方向为的角平分线方向，又因为，所以的方向也是上的高的方向，由三线合一知，，所以为等腰直角三角形，故D正确．故选：BD． 12．原式． 13．【详解】取中点，连结，交于点，交于点，连结， 设，则，， ， 文化景观区域面积： ， 当，即时，文化景观区域面积取得最大值为． 14．【详解】当时，，∴，如图： ∴､､､对应A、B、C、D的横坐标，由， 故，则，，∴，，， 由分离参数得：， 设，令，则，， 则，再令（）则， ∴（当且仅当时取“=”），∴，即，∴， 即实数的最小值为． 15．【详解】（1）解：（1）是关于的实系数方程的一个复数根，是关于的实系数方程的另一个复数根，由根与系数的关系可得，即；．，； （2）解：由（1）知，，，则，， 由与垂直，可得，解得． 16．【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得，因为，所以． （2）由（1）可知，，故， 因为，所以 因为，所以，故，所以，则． 所以，所以面积的取值范围是． 17．【详解】（1）取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故， 因为是等腰三角形，所以. 翻折后，因为平面平面，且平面平面， 根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高， 又因为，所以， 又因为， 所以四棱锥的体积. （2）在矩形中，，，，． 又平面平面，平面，平面平面,平面， 平面，，． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，，∴二面角的余弦值为． （3）存在．如图所示：连接、，设交于点， ，且，． 取的三等分点，使，连接、、，则． 又平面，平面，平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 18．【详解】（1）依题意，，． （2）由（1）知，，解得，则， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 由得：，由得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，，， 所以在上的值域为． （3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称， 则，解得：，又，即有， 于是得，由得：，，而函数的周期， 依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根， 则有，即，解得， 19．【详解】（1）令，设，且， ， ∵，∴，∴，∴，∴在上单调递增， 又∵在上单增，∴在上是增函数； （2）在上是增函数， ∴，∴，即，是方程的两根， 即， 当时，令，则， 若方程有两个大于零的不等实数根，即存在两个大于1的不等实根， ∵，，∴方程是有一个大于0和一个小于0的实根， ∴方程不存在两个大于1的不等实根，∴不存在常数，满足条件． 4 5 学科网（北京）股份有限公司 $