江西抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年下学期高二年级第二次阶段性数学学科作业

**基本信息** 高二数学期中试卷聚焦数列、导数、概率等核心知识，以大衍数列文化情境、餐厅就餐概率模型等设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配阶段性能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等比数列运算、函数求导|基础概念辨析，如第1题等比数列基本量计算| |多选题|3/18|导数几何意义、大衍数列|文化传承与易错点辨析，如第11题大衍数列性质判断| |填空题|3/15|数列求和、等比数列公比|简洁性与综合性，如第13题等比数列前n项和求公比| |解答题|5/77|导数应用、数列错位相减、概率递推|分层设计，如第18题餐厅就餐概率模型（数学建模）、第19题导数分类讨论与证明（逻辑推理）|

崇仁一中2026年春季学期高二年级第二次阶段性数学学科作业参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D C B C D AD ACD 题号 11 答案 AC 7．C 【分析】利用“均倒数”定义求出后，代入求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由“均倒数”定义，得：， 前项和， 整理得： 当时，， 代入得： ：，满足， 因此对所有，成立； 由，代入得：， ， . 8．D 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 9．AD 【详解】对于A，是常数，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．ACD 【分析】由题意得是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案 【详解】由题可知为二次函数，可知函数的极大值点为，极小值点为，可得简图，可得，且两根分别是和，所以存在极小值，不存在极大值，对称轴，单调递减区间为，单调递增区间为，所以选项A、C、D正确，选项B错误. 故选：ACD 11．AC 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与即可得B；由题意可得，结合累加法与等差数列求和公式计算可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 由，则， 故 ，故D错误. 12． 【详解】当时，； 当时，； 又不适合上式， 所以. 13．2 【分析】根据等比数列前项和的定义可得，，结合等比数列性质运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，， 可得，即， 所以数列的公比为2. 14． 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 15．(1) (2) 【分析】（1）借助平均变化率定义计算即可得； （2）借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】（1）； （2）， 则， ，， 则函数在点处的切线方程为， 整理得. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为0的性质代入求解，并验证该点是极值点，得到的取值； （2）代入后化简原不等式，将问题转化为证明时恒成立，通过构造函数求下确界完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为是的极值点，所以，即，解得， 验证：当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即是的极值点，故. （2）当时，，原不等式为 ，即只需证明. 构造函数， ，当时，，故， 因此在上单调递增，所以 即，原不等式得证. 17．(1), (2) 【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质可得； （2）根据（1）得到数列的表达式，采用错位相减法即可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，且， 因为，且，，成等比数列， 所以，即，解得(舍)， 所以； 数列的前n项和满足①， 所以当时，， 当时，②， 所以由①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得， 所以③， ④， 由③④得 ， . 18．(1) (2)，； (3)，. 【分析】（1）由题可得第一天在任意餐厅就餐的概率均为，利用全概率公式可得第二天在B餐厅就餐的概率； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为，第天在餐厅就餐的概率为，利用全概率公式可得，由此可得数列的递推公式，构造等比数列 ，可得的表达式. （3）利用分组求和法求即可. 【详解】（1）（1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B餐厅就餐的概率为 于是：； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为,，第天在餐厅就餐的概率为则： 当时， 即，即， 所以 是以为公比，为首项的等比数列； 所以，于是，； （3）依题意： ， . 19．(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【详解】（1）， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. （2）， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3）由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $裳仁一中2026年春季学期高二年级第二次阶段性数学学科作业 命题人：杨志铭 审题人：邹森杨鹏 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.等比数列b}中b,=1,b,=4,则b=（) A.2 B.±2 C.-2 D.±√2 2.已知函数f()=￥-2nr,则1mf+3f0-A9-(） △x A.11 B.8 C.5 D.3 3.记Sn是等差数列{a}的前n项和，S,=4,S。=12,则4=( A.4 B.s C. D.8 4.已知数列{a}满足a=1,a+1-an=2”，则4。=( ) A.511 B.2047 C.1024 D.1023 5.已知数列a}满足4=5，a=1-1m≥2)，则as=( a A.1 B. C.5 D片 6.若函数f(x)=x2-+nx在区间(1，e)上单调递增，则实数a的取值范围是( A.(-w,2V2 B.（-0,3] c.[3,e2+1] D.(-m,e2+1] 7.定义 P+P2+…+卫m 为n个正数p,P2…,pn的“均倒数”.若数列{a}的前n项的“均倒数” 为、 3m-7’又6=9+1 3，则， 11 1 三( b.b2 b,b3 bub2 器 B.8 c贵 8.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)的导函数为f(x),若f'(x)<2x,且f(5)=3,则不等式 f(2x-1)+4x>4x2-21的解集是（ A.(-0,3) B.(3,+) C.(0,3) .3 试卷第1页，共4页 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)》 9.下列求导运算错误的有( A.（π206）=2026元202 B C.cos(4x-5)=-4sin(4x-5) D.（xlog2x）=3x21og2x+x2lh2 10.如图为定义在R上的函数f(x)=ax+bx2+cx+d(a≠0)的图象，则关于它的导函数y=f'(x) 的说法正确的是( A.f（x)存在对称轴 B.∫'(x)存在极大值 C.f"(x)在(1，+∞)上单调递增 D.f”(x)的单调递减区间为-o,- 11.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用.已知大衍 an+n+1,n为奇数 数列{a}满足a=0,an+1= an+n,n为偶数 ，则正确的有( A.a=24 B.a2m+1=a2m-1+n C.an =2n2 D.数列(-1)”an}的前10项和为110 三、填空题（本题共③小题，每小题5分，共15分） 12.设数列{a}的前n项和为S,且Sn=21-3n-3(neN),则a。=一 13.设Sn为等比数列{a}的前n项和，若S,=2,S6=18,则数列{a}的公比为 14.己知函数f)=,g()=lh(x+)-a,若e电.d,3e(0,叫使得f)>g()成立， 则实数a的取值范围是 试卷第2页，共4页 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)已知函数f(x)=xe. (1)当自变量x从0变到1时，求函数f(x)的平均变化率 Ar ②)设函数8(=寸(29+山，求函数8在点38) 处的切线方程. 16.(15分)己知函数f(x)=ahx+x+a(aeR). (1)设，是函数f(x)的极值点，求a的值： (2)当a=1时，证明：f(x)<二+lnx+e2. 17.(15分)在公差不为零的等差数列{an}中，4=1，且a,4,a成等比数列，数列b}的 前n项和S.满足S。=2b,-2. (1)求数列{a}和b}的通项公式： (2)设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和T.. 试卷第3页，共4页 18.（17分)大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有A,B, c三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅 就餐，若他在4餐厅就餐，则下一天在4，，C三个餐厅就餐的概率分别为分，高·高：若 他在8餐行就餐，则下一大在4,5，Q三个餐厅就餐的餐率分州为宁，专高：若他在C餐 厅t餐，则他下天到4，，（三个餐厅就餐的概车分别为言古 (1)求小丁同学第2天在B餐厅就餐的概率； (2)求小丁同学第n(neN)天在B餐厅就餐的概率； (3)若小丁同学前n(n∈N)天到B餐厅就餐的天数为X,求数学期望E(X). (若小丁第0-12m天到：餐厅就餐的天数为X,则X)=E匀x-卫BK)) 19.(17分)已知函数f)-日n】 (1)当k=1时，求f(x)的最小值； (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)存在极小值，且极小值等于-(nk),求证：k+nk>2e. 试卷第4页，共4页 《2026年4月22日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 6 6 8 9 10 答案 A B D B D AD ACD 题号 11 答案 AC 7.C 【分析】利用均倒数定义求出4后，代入b=0'求出b,的通项公式，再利用裂项相消 3 法求和即可 1 【详解】由均倒数定义，得： 4+a2+..+a,3n-1 前n项和Sn=a+a2+..+an, 整理得：Sn=n(31-1)=3m2-n 当n≥2时，an=Sn-Sn1, 代入得：a,=(3m2-m)-3(n-)°-(n-)=6n-4 n=1:4=S,=3×12-1=2,满足a=6x1-4=2, 因此对所有n∈N,4,=6n-4成立： 由4-8，代入a得：么=60-1-2n, 3 1 1 1(11 bbn1(21-1)(21+1)221-121+1, bb2 8.D 【分析】根据f'(x)<2x可构造函数g(x)=(x)-x2(x>0),将f(2x-1)+4x>4x2-21转 化为8(x)的函数值间的大小比较，根据导数研究8(x)的单调性，进而可得关于x的不等式， 解不等式即可. 【详解】设8(x)=(x)-x2(x>0),则g'(x)=f'(x)-2x. 因为f'(x)<2x,所以f(x)-2x<0,即g'(x)<0,所以8(x)在(0，+o)上单调递减 答案第1页，共10页 不等式f(2x-1)+4x>4x2-21等价于不等式f(2x-1)-(2x-1)2>-22,即8(2x-1)>-22 因为f(5)=3,所以g(5)=f(5)-52=-22,所以8(2x-1)>g(5). 因为()在(0，+）)上单调递减，所以0<2x-1<5,解得<<3. 9.AD 【详解】对于A,元2026是常数，（π2026）=0，故A错误： 对于B, 怎)eO。,B (e) 对于C,[cos(4x-5]=-sin4x-5）4x-5)=4sin4x-5),故C正确： 对于Dg,=(je+-ogj3s,+r·2+,故D错 误。 10.ACD 【分析】由题意得'(x)是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案 【详解】由题可知y=∫'(x)为二次函数，可知函数y=∫(x)的极大值点为-2，极小值点为 1,可得y='(x)简图，可得a>0,且两根分别是-2和1，所以'(x)存在极小值，不存在 极大值，对称轴x=一1， 单道区间为(单调间为+ 所以选项 A、C、D正确，选项B错误 故选：ACD 11.AC 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到4mH与an即可得B;由题意可得 42=41+(2+2)，结合累加法与等差数列求和公式计算可得C;并项求和结合等差数 答案第2页，共10页 列求和公式可得D. 【详解】对于A,由题意可得4=4+1+1=2,4=4+2=2+2=4， a4=4+3+1=8,4=4,+4=8+4=12,46=a+5+1=12+6=18,4=a46+6=18+6=24, 故A正确； 对于B,因为2n为偶数，所以a=a2m+21, 因为2n-1为奇数，所以a2n=a2m-1+(2n-1)+1=am-1+2n, 所以4+1=4-1+2+21=42-1+4n,故B错误； 对于C,因为2n为偶数，所以am1=a2m+2n, 又因为2n+1为奇数，am+2=4m+1+(2n+1)+1=凸2n1+(2n+2), 所以a42m+2=4n+4n+2，所以凸2m+2-4n=4n+2, 所以a2n=a2+(a4-42)+(as-a4)++(a2n-a2m-2) =2+(4+2)+(8+2)+.+[4(n-1)+2] =4×0-10+n-1少2m=2,故C正确； 2 对于D,设数列{(-1)an}的前10项的和为S。, 由a2n=a-1+2n,则a2m-41=21, 故S。=-4+4-4+4--4+4o=乌2-4H6-4+。-4) =2x1+2×2+2×3++25=2+105=30,故D错误 2 「-2，n=1 12. 2-3,n≥2 【详解】当n=1时，4=S=2-3×1-3=-2: 当n≥2时，a=S。-Sn1=2+-3n-3-「2"-+1-3(-1)-3=2+-2”-3=2"-3； 又4=-2不适合上式， [-2,n=1 所以a.= 2-3,n≥21 答案第3页，共10页 13.2 【分析】根据等比数列前n项和的定义可得4+4+4，a+a+a,结合等比数列性质运 算求解 【详解】设等比数列{a}的公比为q≠0， 因为S=2,S%=18,则4+a42+4=2,a4+a+4,=S6-S3=16, 可得g=8十0+投=8，即g=2, 4+42+4 所以数列{a}的公比为2. 14.(n2,+0) 【分析】借助导数计算可得f(:)=0,则可得g(x)<0在(0,1上有解，参变分离可得 n(+山在Q上有解，构造数)血(+，利用号数求出该函数在(O上的最 a> x2 x2 小值即可得解. 1 【详解】f)= .x-Ix 1-mnx, x2 则当x∈[Le]时，了'()1一nx之0，即f()在[Le]上单调递增， x2 则f()=f)=1=0: 1 由x∈[1，e],x2∈(0,1]使得f(s)>g(x)成立， 则g(y<0在0,1上有解，即an(+在(0.叫上有解， x2 令)=血(+，x∈(0，l, x2 1,x2-ln(x+1)-2xx-(2x+2)lh(x+ 则H(因)=x+ x (x+1)x3 令m(x)=x-(2x+2)n(x+1),x∈(0,1]， 则m()=1-2h(+1-(2x+2中=1-2nx+1k0 故(x)在(0，]上单调递减，则(x)<(0)=0-2h1=0, 故h(x)在(o,上单调递减，则a>hL= n+-n2, 12 答案第4页，共10页 即实数a的取值范围是(n2,+o). 15.(1)e (2)3ex-y-e+1=0 【分析】(1)借助平均变化率定义计算即可得： (2)借助导数的几何意义计算即可得。 【详解11)Ay-四-f0)_ke0xee: △x1-0 1 (2)g(x)=f(2x)+1=x.2.e2x+1=2e2+1, 则8'(x)=4re2+2x2e2.2=4xe2x1+x), g9)4}e)2e+1-1. 函数()在点[后)处的切线方程为（侣+x-】 整理得3er-y-e+1=0. 16.(1)a=2 (2)证明见解析 【分析】(1)先对函数f()求导，利用极值点处导数为0的性质代入x=】求解a,并验证 2 该点是极值点，得到a的取值； (2)代入a=1后化简原不等式，将问题转化为证明x>0时e2x>x恒成立，通过构造函数求 下确界完成证明. 【详解】1）面数f)的定义减为Q+),()+1-冬。 因为5是f()的极值点，所以J付-0，即2a+1-4a-0,解得a- 验：当a=时，f女1-2412-+， 2x2 2x2 2x2 当0<<方时，了)<0，f)单润递藏，当x>时，∫)>0，fy单调递增， 即是f(的极值点，放a=号 (2)当a=1时，fs)=hx+x+},原不等式为nx+x++nx+e,即只需证明 xx 答案第5页，共10页 x<e2r(x>0). 构造函数g(x)=e2x-x,g'(x)=2e2x-1,当x>0时，e2x>1,故g'(x)>2x1-1=1>0, 因此g(x)在(0，+o)上单调递增，所以g(x)>g(0)=1>0即e2>x,原不等式得证 17.(1)a=21-1,bn=2” (2)Tn=6+(21-3)·2 【分析】(1)利用数列的递推关系和等比数列的性质可得： (2)根据(1)得到数列{C}的表达式，采用错位相减法即可得 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,且d≠0， 因为4=1，且a,4,43成等比数列， 所以aG=4·a,即(1+2d)2=1+12d,解得d=2或d=0(舍)， 所以an=2n-1; 数列地}的前n项和Sn满足S=2b,-2①， 所以当n=1时，b=2, 当n≥2时，Sn1=2b1-2②， 所以由①~②得b。=2b。-2b1,即 bm=2, b 所以数列b}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以b,=2”; (2)由(1)可得cn=4bn=(21-1)2”, 所以T=12+3.22+5.2+…+(2n-1)2”③， 2T=1.22+3.23+5.24++(2n-1）2+1④， 由③-④得-Tn=2+2.22+2·2++2.2”-(2n-1)2 =2+2(22+2+.+2）-(2n-1)2m+1 答案第6页，共10页 =2+2 22(1-2- -(2-1)21 1-2 =-6+(3-2m)2, T=6+(2n-3)21 180话 -1 3)E(X)= 20 363 neN. 【分析】(1)由思可得第一天在任意餐厅就餐的概率均为，利用全概率公式可得第二天在 B餐厅就餐的概率； (2)设小丁第n天在B餐厅就餐的概率为P,第n天在A餐厅就餐的概率为O.,利用全概 率公式可得卫，由此可得数列{P}的递推公式，构造等比数列 可得P的表达式. (3)利用分组求和法求E(X)即可. 【详解】(1)(1)依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为了，设第二天在B餐厅就餐的 概率为乃 于：月=品品 (2)设小丁第加天在：餐厅球餐的：率为儿，R号，第川天在A餐厅就餐的概率为Q则： 当m2时见=Q+5+02,Q片P,=+品 1 3 11.1 3101 P-111 所心-引是以。为会比，及音青品品为首医的等比爱列： 答案第7页，共10页 (1 (3)依题意： (x-立P品 331-（10 1 11+ -] 20, 363 neN'. 1*0 19.(1)e-1 (2)当k≤1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增：当1<k<e时，f(x)在(lnk,1) 上单调递减，在(0，hk)、(1,+o)上单调递增；当k=e时，则f(x)在(0，+o)上单调递增； 当>e时，则f(x)在(1，nk)上单调递减，在(0,1)、(lnk,+o)上单调递增 (3)证明见解析 【分析】(1)利用导数分析函数f(x)的单调性，可得出函数f(x)的最小值： (2)求得了)=任-仁-k>0):对实数k的取值进行分类讨论，分析号数的符号变 x 化，即可得出函数∫(x)的增区间和减区间； (3)分析可知k>c,结合题意得出f血)=k1n(血)=-血，可得出血（血_血k, Ink k X-x2<+, 令1hk,则1>Lk6,则是如明对数平均不等式h2， 其中书>x>0,令血t_ne t=e=a0,即 ee,变形得出。，再利用 Int=at In e+Int e+t 对数等式以及基本不等式可证得结论成立， 【详解1)因-区-e+上-e-少（x0: x2+ x2 当x>0时，e*-1>0, 由'(x)<0可得0<x<1,由'(x)>0可得x>1, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 当x=1时，f(x)的最小值为e-1. 2>0) 当k≤1时，则e-k>0对任意的x>0恒成立， 答案第8页，共10页 由'(x)<0可得0<x<1,由f'(x)>0可得x>1, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增： 当k>1时，令f"(x)=0,则x=1或x2=nk>0, ①当0<nk<l时，即1<k<e时， 由f'(x)>0可得0<x<lnk或x>1,由f'(x)<0可得nk<x<1, 所以函数f(x)在(hk,l)上单调递减，在(0，lnk)、(1,+o)上单调递增： ②当nk=1时，即k=e时，对任意的x>0,f'(x)≥0， 此时f(x)在(0，+o)上单调递增； ③当nk>1时，即k>e时， 由f'(x)>0可得0<x<1或x>lnk,由f'"(x)<0可得1<x<lnk, 此时f(x)在(1，lnk)上单调递减，在(0,1)、(nk,+o）上单调递增. 综上所述：当k≤1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增： 当1<k<e时，f(x)在(nk,1)上单调递减，在(0，nk)、(1,+o)上单调递增； 当k=e时，则f(x)在(0，+o)上单调递增； 当k>e时，则f(x)在(1，nk)上单调递减，在(0,1)、(lnk,+o)上单调递增. (3)由题意可知k>0,由(2)可知，当0<k≤1时， 函数∫(x)的极小值为f(1)=e-k=-(nk),此时k-(nk)=e, 因为hnk≤0，则(nk)2≥0，此时k-(nk)2≤1，等式k-(nk)=e不成立： 当l<k<e时，函数f(x)的极小值为f(1)=e-k=-(nk),此时k-(lnk)=e, 因为1<k<e,则0<hk<1,则-1<-(nk)2<0, 由不等式的性质可得0<k-(nk)<e,等式k-(nk)=e不成立： 当k=e时，函数f(x)在(0，+o)上单调递增，函数f(x)无极值； 当k>时，西数八因的极小省为)点品+（如肉】 1 =-kln府=（血g, 答案第9页，共10页 可得血血_nk,令i=hk,则1>L,且k=e,则-血e Ink k t ee 先证明不等式出.关0 2生-1 即证n生，2-_3， x2++1 X, 今t在>1，g)=t-,其中t>1,则80=f+1+>0, t+1 所以，函数g(t)在(1，+∞)上为增函数，当t>1时，8(t)>8(1)=0, 所以，当名>名≥0时，nX-nx2 ,出x2<+ 设血tme Int=at Ine-Int =a(e'-t) -=a>0,即 te' lne'=ae'所以 Ine+Int=a(e+t) 上述两个等式相除得nc-nte-t Ine'+Int e+t 所以e+1,e-1,e+t,所以1 1 Ine'+Int Ine'-Int 2 ne+nt2,则lne+lnt>2, 即ln(te)>2,可得te>e2, 由基本不等式可得k+k=e'+t>2vfe'>2e,故原不等式得证. 答案第10页，共10页崇仁一中2026年春季学期高二年级第二次阶殷性数学学科作业参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 月 ⊙ A D Q D AD ACD 题号 11 答案 AC 7.C 【分析】利用均倒数定义求出口，后，代入b=a求出b,的通项公式，再利用裂项相消法求和即可。 3 1 【详解】由“均倒数定义，得： a+a2+..+g,3n-1 前n项和Sn=4+42+.…+a, 整理得：S。=n(3n-1)=3n2-n 当n≥2时，an=Sn-Sn1, 代入得：a,=(3m-川-3(n-12(n-)=61-4 n=1:4=S=3×12-1=2,满足a=6×1-4=2, 因此对所有neN,a.=6-4成立： 2号，代入a得：6-6-到1-2m-L, 由6，-8+1 3 h"Gr er 煎。引附动位到 8.D 【分析】根据f"(x)<2x可构造函数g(x)=f(x)-x2(x>0),将f(2x-1)+4x>4x2-21转化为g(x)的函 数值间的大小比较，根据导数研究g(x)的单调性，进而可得关于x的不等式，解不等式即可 【详解】设g(x)=f(x)-x2(x>0),则g'(x)=f'(x)-2x 因为f'(x)<2x,所以f'(x)-2x<0,即g'(x)<0,所以g(x)在(0，+o)上单调递减 不等式f(2x-1)+4x>4x2-21等价于不等式f(2x-1)-(2x-1)2>-22,即8(2x-1)>-22 因为f(5)=3,所以g(5)=f(5)-52=-22,所以g(2x-1)>8(5) 答案第1页，共9页 因为g()在(0，+0)上单调递减，所以0<2x-1<5,解得<x<3。 9.AD 【详解】对于A,π2026是常数，（π2026）=0，故A错误； 对于B, Xe】-,故B正确) (e)月 对于C,「cos(4x-5)]=-sin(4x-5)4x-5)=4sim4x-5),故C正确： 时于D,(gogx+Xog3og:x+r·高3xig,r+,放D现 xIn2 10.ACD 【分析】由题意得∫'(x)是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案 【详解】由题可知y=∫'(x)为二次函数，可知函数y=∫(x)的极大值点为-2，极小值点为1，可得y=∫'(x) 简图，可得a>0,且两根分别是-2和1，所以广（✉）存在极小值，不存在极大值，对称轴x=号单调递 减区间为 -00,一1 单调增区为+， 所以选项A、C、D正确，选项B错误。 故选：ACD 11.AC 【分析】利用所给数列关系式计算可得A;得到a2m+1与a2.即可得B;由题意可得a+2=a2+1+(2n+2), 结合累加法与等差数列求和公式计算可得C:并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A,由题意可得a2=4+1+1=2,4=a2+2=2+2=4, a,=4+3+1=8,a=4,+4=8+4=12,a,=4,+5+1=12+6=18,a=a+6=18+6=24,故A正确： 对于B,因为2n为偶数，所以am+1=a2n+2n,， 因为2n-1为奇数，所以a2m=a2m-1+(2n-1)+1=a2m-1+2n, 所以4m+1=a2m1+2n+2n=a2m1+4n,故B错误； 对于C,因为2n为偶数，所以a4m+1=a2m+2n, 又因为21+1为奇数，a2w+2=a2m1+(2n+1)+1=a2m1+(2n+2), 答案第2页，共9页 所以4m+2=4m+4n+2，所以42+2-a2n=4+2,， 所以a2m=a2+(a4-42)+(a6-a4)++(a2m-a2m-2) =2+(4+2)+(8+2)+.+[4(n-1)+2] =4xm-10+n-1 +2作22，故C正确： 2 对于D,设数列{(-1)an}的前10项的和为S。, 由42n=a2m-1+2n,则4n-421=21， 故S0=-4+42-43+4,--4,+4。=2-4片色-43并+自。-4） =2x1+2x2+2x3++2x5=2+10)x5 30,故D错误 2 「-2，n=1 12. 2”-3,n≥2 【详解】当n=1时，4=S=241-3×1-3=-2; 当n≥2时，a=S。-S1=21-3n-3-[2-11-3(n-1)-3=2+1-2”-3=2”-3: 又4=-2不适合上式， [-2,n=1 所以4= 2-3,n≥2 13.2 【分析】根据等比数列前项和的定义可得4+4+4，a+a+a,结合等比数列性质运算求解. 【详解】设等比数列{a}的公比为q≠0， 因为S3=2,S6=18,则4+a42+a4=2,4+4+a。=S6-S3=16, 可得=4十4十8=8，即q=2, 4+4+43 所以数列{an}的公比为2. 14.(lh2,+o) 【分析】借助导数计算可得f(:)m=0,则可得g(r)<0在(0，上有解，参变分离可得a> n(+在(0，刂 x2 上有解，构造函数h(x)= h(x+1) 利用导数求出该函数在(0，]上的最小值即可得解 答案第3页，共9页 【详解】(x)= 1.x-Inx 1-mx, x2 x2 则当x∈[山，e]时，f'(s)=1n≥0，即f)在[e]上单调递增， x2 则-j0-1-0: 由x∈[L,e],x2∈(0,1]使得f(x)>g(x2)成立， 则g(d<0在o1上有解，即a>血（任+在o,1上有解， x2 令时=血(x+,xe(0.1, x 12-n(x+1)2xx-(2x+2n+1, 则Hx)=+ +Y (x+1x 令(x)=x-(2x+2)h(x+1),xe(0,1], 则网-12)-(2+2本12h(+<0 故(x)在(0,1]上单调递减，则(x)<m(0)=0-2ln1=0, 故(y)在(0上单调递减，则a>h0=血1+h2, 12 即实数a的取值范围是(ln2,+o). 15.(1)e (2)3ex-y-e+1=0 【分析】(1)借助平均变化率定义计算即可得； (2)借助导数的几何意义计算即可得. 【详解1(1)y-f四-f0_1xe-0xc-e: △x1-0 1 (2)8(x)=xf(2x)+1=x.2e2x+1=22e2x+1, 则8(x)=4xe2x+2x2e2.2=4xe21+x), g)4),[)2e11 则腰数8()在点行》处的切发方程为（台刂甜》】 整理得3x-y-e+1=0 16.(4)a=2 1 (2)证明见解析 答案第4页，共9页 【分析】(1)先对函数()求导，利用极值点处导数为0的性质代入X=号求解a,并验证该点是极值点， 得到a的取值： (2)代入a=1后化简原不等式，将问题转化为证明x>0时e2>x恒成立，通过构造函数求下确界完成证 明. 【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+o),f"(x)=+1- x2 因为号是国的极值点，所似了付-0，即2a+1-4a=0,解得a=方 验证：当a=号时了太1-+12-x+。 27= 2r2 2X2 当0<<时，了)0。f)单词递减，当x>号时，f>0,寸)单调遥增， 即号是f的极值点，敌a=号 (2)当a=1时，f)=nx+x+,原不等式为nx+x+<+nx+e2,即只需证明r<e2(x>0). 构造函数g(x)=e2x-x,g(x)=2e2-1,当x>0时，e2r>1,故g'(x)>2x1-1=1>0, 因此g(x)在(0，+o)上单调递增，所以g(x)>g(0)=1>0即e2x>x,原不等式得证. 17.(1)4。=2n-1,b,=24 (2)T=6+(2n-3)2+ 【分析】(1)利用数列的递推关系和等比数列的性质可得： (2)根据(1)得到数列{Cn}的表达式，采用错位相减法即可得. 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,且d≠0， 因为4=1，且a1,4,4成等比数列， 所以G=443,即(1+2d)=1+12d,解得d=2或d=0(舍)， 所以4.=2n-1: 数列b}的前n项和S满足Sn=2b。-2①， 所以当n=1时，b=2, 当n≥2时，Sn1=2bn-1-2②， 所以由①-②得b。=2bn-2bn-1,即 b=2, 所以数列b}是以2为首项，2为公比的等比数列， 答案第5页，共9页 所以bn=2”: (2)由(1)可得cn=a·b.=(21-1)2”, 所以Tn=12+3.2+5.2++(2n-1)2”③， 2T=1·22+3.23+5.24++(2n-1)2m④， 由③-④得-Tn=2+22+223++2.2”-(2-1)21 =2+2(22+23++2)-(21-1)2” 22(1-2-） =2+2 -（2n-1）-2+ 1-2 =-6+(3-2m)2m+, Tn=6+(21-3)21 18.(Q)15 neN'. 【分析】(1)由题可得第一天在任意餐厅就餐的概率均为；，利用全概率公式可得第二天在B餐厅就餐的 概率： (2)设小丁第n天在B餐厅就餐的概率为卫，第n天在A餐厅就餐的概率为2，利用全概率公式可得卫， 由此可得数列加)的递推公式，构造等比数列卫 3 可得Pn的表达式. (3)利用分组求和法求E(X)即可. ，1 【详解】(1)(1)依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为3，设第二天在B餐厅就餐的概率为B 于：月-有品品- (2②)设小丁第”天在B餐厅就餐的概率为上，R=兮：第m天在A餐厅就餐的概率为0，则： 当a2时g高Q号：+￡，0.归R=品 答案第6页，共9页 即音即 3=10 P一11 所以2品足以后为公比，月音背音名为时项的等北数 (3)依题意： B(0=2=3+ n+ 11 1 1+ 19.(1)e-1 (2)当k≤1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增；当1<k<e时，f(x)在(nk,1)上单调递减， 在(0，ln)、(L,+o)上单调递增；当k=e时，则f(x)在(0，+o)上单调递增：当k>e时，则f(x)在(L,lnk) 上单调递减，在(0,1)、(hk,+∞)上单调递增. (3)证明见解析 【分析】(1)利用导数分析函数f(x)的单调性，可得出函数f(x)的最小值； (2)求得了)-怎-1e-k>0,对实数k的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出 函数f(x)的增区间和减区间： (3)分析可知k>c,结合题意得出f(hk)=-knm)=-(nk,可得出血_nk,令1=hk,则 1>1,且k=,则号心证明对微平均不等式5生，其中光>0，令 te'e' Int Ine' Int=at te' a>0,即 ne=ae,变形得出ne-ltC- Ine+Int e+t ,再利用对数等式以及基本不等式可证得结 论成立 【详解】1)fg--e1-e-（x0 x2+ x2x x2 当x>0时，e-1>0, 由(x)<0可得0<x<1,由f'(x)>0可得x>1, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 当x=1时，f(x)的最小值为e-1. 答案第7页，共9页 w-ef中}-训ee 当k≤1时，则e-k>0对任意的x>0恒成立， 由f(x)<0可得0<x<1,由'(x)>0可得x>1, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增： 当k>1时，令f'(x)=0,则x=1或x2=lnk>0, ①当0<lnk<1时，即1<k<e时， 由f(x)>0可得0<x<lnk或x>1,由f(x)<0可得nk<x<1, 所以函数f(x)在(nk,1)上单调递减，在(0，lnk)、(1,+o)上单调递增： ②当lnk=1时，即k=e时，对任意的x>0,'(x)≥0， 此时f(x)在(0，+o)上单调递增： ③当lnk>l时，即k>e时， 由f'(x)>0可得0<x<1或x>lnk,由f'(x)<0可得1<x<lnk, 此时f(x)在(1，lnk)上单调递减，在(0,1)、(lnk,+o)上单调递增 综上所述：当k≤1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增： 当1<k<e时，f(x)在(lnk,1)上单调递减，在(0，hk)、(1,+o)上单调递增： 当k=e时，则f(x)在(0，+o)上单调递增； 当k>e时，则f(x)在(1，nk)上单调递减，在(0,1)、(nk,+o)上单调递增. (3)由题意可知k>0,由(2)可知，当0<k≤1时， 函数f(x)的极小值为f(1)=e-k=-(lnk),此时k-(lnk)'=e, 因为nk≤0，则(nk)2≥0，此时k-(nk)≤1，等式k-(nk)=e不成立： 当1<k<e时，函数f(x)的极小值为f(I)=e-k=-(nk),此时k-(nk)'=e, 因为1<k<e,则0<lnk<1,则-1<-(nk)2<0, 由不等式的性质可得0<k-(Ink)<e,等式k-(nk)'=e不成立： 当k=e时，函数f(x)在(O,+o)上单调递增，函数f(x)无极值； 答案第8页，共9页 当k:时，函数f的极小值为血)点。一品+h刘=-h血)=-e, 可得n血_k,令1=nk,则t>l,且k=c,则t=是-血e， Ink k 、出-2一<+， 先证明不等式nX-nx 2 其中x>x2>0, 2-1 即证n玉、2(-)_x +1 ®>L.g0=f-2,其中>1，则80=i+>0 t+1 所以，函数g(t)在(1，+∞)上为增函数，当t>1时，g(t)>g(1)=0, 所以，当x1>x2>0时， 一2<+ Inx-Inx,2 设nt_nc=a>0,即 (Int=at Ine'-Int=a(e-t) ne'=ae,所以 血e+lht=a(e+t) 上述两个等式相除得lnc-lnte-t Ine'+Int e+t 所以ng-i号，所以ne片ue+br2 即n(te)>2,可得te>e2, 由基本不等式可得k+lnk=e+t>2vfe>2e,故原不等式得证. 答案第9页，共9页 崇仁一中2026年春季学期高二年级第二次阶段性数学学科作业 命题人：杨志铭 审题人：邹森 杨鹏 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．等比数列中，，则（   ） A．2 B． C． D． 2．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．记是等差数列的前项和，，则（   ） A．4 B． C． D．8 4．已知数列满足，，则（   ） A．511 B．2047 C．1024 D．1023 5．已知数列满足，则（   ） A．1 B． C．5 D． 6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．定义为n个正数的“均倒数”．若数列的前n项的“均倒数”为，又，则＝（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列求导运算错误的有（   ） A． B． C． D． 10．如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（    ） A．存在对称轴 B．存在极大值 C．在上单调递增 D．的单调递减区间为 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前10项和为110 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设数列的前项和为，且，则______． 13．设为等比数列的前项和，若，，则数列的公比为________． 14．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数． (1)当自变量从0变到1时，求函数的平均变化率； (2)设函数，求函数在点处的切线方程． 16．（15分）已知函数． (1)设是函数的极值点，求a的值； (2)当时，证明：． 17．（15分）在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 18．（17分）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，. (1)求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率； (2)求小丁同学第天在餐厅就餐的概率； (3)若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望. （若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ） 19．（17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月22日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D C B C D AD ACD 题号 11 答案 AC 7．C 【分析】利用“均倒数”定义求出后，代入求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由“均倒数”定义，得：， 前项和， 整理得： 当时，， 代入得： ：，满足， 因此对所有，成立； 由，代入得：， ， . 8．D 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 9．AD 【详解】对于A，是常数，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．ACD 【分析】由题意得是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案 【详解】由题可知为二次函数，可知函数的极大值点为，极小值点为，可得简图，可得，且两根分别是和，所以存在极小值，不存在极大值，对称轴，单调递减区间为，单调递增区间为，所以选项A、C、D正确，选项B错误. 故选：ACD 11．AC 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与即可得B；由题意可得，结合累加法与等差数列求和公式计算可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 由，则， 故 ，故D错误. 12． 【详解】当时，； 当时，； 又不适合上式， 所以. 13．2 【分析】根据等比数列前项和的定义可得，，结合等比数列性质运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，， 可得，即， 所以数列的公比为2. 14． 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 15．(1) (2) 【分析】（1）借助平均变化率定义计算即可得； （2）借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】（1）； （2）， 则， ，， 则函数在点处的切线方程为， 整理得. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为0的性质代入求解，并验证该点是极值点，得到的取值； （2）代入后化简原不等式，将问题转化为证明时恒成立，通过构造函数求下确界完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为是的极值点，所以，即，解得， 验证：当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即是的极值点，故. （2）当时，，原不等式为 ，即只需证明. 构造函数， ，当时，，故， 因此在上单调递增，所以 即，原不等式得证. 17．(1), (2) 【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质可得； （2）根据（1）得到数列的表达式，采用错位相减法即可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，且， 因为，且，，成等比数列， 所以，即，解得(舍)， 所以； 数列的前n项和满足①， 所以当时，， 当时，②， 所以由①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得， 所以③， ④， 由③④得 ， . 18．(1) (2)，； (3)，. 【分析】（1）由题可得第一天在任意餐厅就餐的概率均为，利用全概率公式可得第二天在B餐厅就餐的概率； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为，第天在餐厅就餐的概率为，利用全概率公式可得，由此可得数列的递推公式，构造等比数列 ，可得的表达式. （3）利用分组求和法求即可. 【详解】（1）（1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B餐厅就餐的概率为 于是：； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为,，第天在餐厅就餐的概率为则： 当时， 即，即， 所以 是以为公比，为首项的等比数列； 所以，于是，； （3）依题意： ， . 19．(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【详解】（1）， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. （2）， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3）由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $