第21讲 随机事件与样本空间和随机事件的概率（知识清单+6题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测

第21讲 随机事件与样本空间和随机事件的概率 知识清单 知识点01：确定性现象、随机现象 知识点02：随机试验、样本点与样本空间 知识点03：随机事件、基本事件、必然事件及不可能事件 知识点04：事件的关系 知识点05：事件的运算 知识点06：如何列举样本空间中的样本点 知识点07：概率的性质 知识点08：古典概型 知识点09：随机事件的概率 知识点10：如何求古典概型的概率 知识点11：古典概型与其他知识的综合问题 题型讲解 （举一反三） 题型1：总体与样本 题型2：写出样本空间 题型3：判断事件是否是随机事件 题型4：确定性事件与随机事件的概率 题型5：用频率估计概率 题型6：计算古典概型问题的概率 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1、确定性现象、随机现象 1. 确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象. 2. 随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象. 知识点2、随机试验、样本点与样本空间 1. 随机试验：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验. 在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结果有多个，全部可能结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪一个结果. 2. 样本点：我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示. 3. 样本空间 所有样本点组成的集合称为样本空间，用Ω表示. 如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本空间. 知识点3、随机事件、基本事件、必然事件及不可能事件 1. 随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件. 事件一般用A，B，C等大写英文字母表示. 2. 基本事件：当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件. 3. 必然事件：Ω(全集)是必然事件. 4. 不可能事件： ⌀(空集)是不可能事件. 知识点4、事件的关系 1. 事件B发生必导致事件A发生，这时，我们称事件A包含事件B(或事件B包含于事件A). 如图. 知识点5、事件的运算 定义 符号表示 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和 C=A∪B (或C=A+B) 交事件 事件A与事件B同时发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积 C=A∩B (或C=AB) 知识点6、如何列举样本空间中的样本点 1. 探求样本空间中的样本点的方法 (1)枚举法：按一定次序把样本点一一列举出来. 此方法适用于“无序任取”的试验问题. (2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以较易弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数. 此方法适用于互不影响的两步试验问题. (3)树形图法：树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树形图法便于分析多步试验类的较复杂问题，可以作为一种分析问题的手段. 2. 列举样本点时要注意两个区别 (1)“无序”与“有序”的区别：“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述. (2)“有放回”与“无放回”的区别：“有放回”是指取出的元素可以重复，而“无放回”是指取出的元素不可以重复. 知识点7、概率的性质 1. 将事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率，则P(A)满足0≤P(A)≤1. 2. 对于必然事件Ω和不可能事件⌀，显然P(Ω)=1 ，P(⌀)= 0 . 知识点8、 古典概型 1. 等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件{ωk}(k=1，2，…，n)发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件. 2. 古典概型：如果一个随机试验满足：(1)样本空间Ω只含有有限个样本点；(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型. 3. 古典概型的概率：在古典概型中，如果样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k=1，2，…，n)发生的概率都是. 如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)= = 知识点9、随机事件的概率 1. 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定. 我们将频率的这个性质称为频率的稳定性. 因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)≈. 知识点10、如何求古典概型的概率 1. 求古典概型概率的关键是列举出试验的所有样本点和所求事件包含的样本点，列样本点的方法有枚举法、列表法和画树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择. 2. 解决古典概型实际问题的步骤 第一步：阅读题目，判断实验是不是古典概型，若满足有限性和等可能性，则进行下一步 第二步：通过列举或计算求出样本点总数n及题目要求的事件所包含的样本点数m 第三步：利用古典概型的概率公式求出事件的概率 知识点11、古典概型与其他知识的综合问题 1. 古典概型与方程、函数的综合问题的解题方法 　　涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点数. 首先应根据题意确定随机试验的结果，进而确定样本空间，然后根据所学知识把题中涉及方程、函数的条件转化为随机试验的结果所满足的条件，从而确定出所有满足条件的样本点，最后利用古典概型的概率公式求解即可. 2. 古典概型与频率直方图的综合问题的解题方法 求解古典概型与频率直方图相结合的问题关键是利用频率直方图的数据特征确定样本空间，并不重不漏地列出所有满足题意的样本点，进而利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率. 题型1：总体与样本 【例1-1】（2024高一·江苏·专题练习）为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（    ） A．总体是该市参加升学考试的全体学生 B．个体是抽查的1 000名学生中的每一名学生 C．样本量是1 000 D．样本是全体学生的数学成绩 【变式1-1】（24-25高一下·江苏·单元复习）从某公司600名员工中抽取20名进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　） A．600名员工是总体 B．每个被抽查的员工是个体 C．抽取的20名员工的体重是一个样本 D．抽取的20名员工的体重是样本容量 【变式1-2】为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽取了200名学生做调查.这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么?为什么我们一般要从总体中抽取样本，通过样本来研究总体? 【变式1-3】为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，回答下列问题： (1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？ 题型2：写出样本空间 【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，从集合中任取不相同的两个数作为复数的实部和虚部，则事件“复数为纯虚数”包含的样本点共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（    ） A．10个 B．8个 C．7个 D．6个 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课后作业）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个．【答案】3 【变式2-3】（25-26高一下·全国）甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 题型3：判断事件是否是随机事件 【例3-1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【变式3-1】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】下列现象中，是确定性现象的是____________． ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②打开电视机，正好在播新闻； ③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球； ④下周六是晴天． 【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 题型4：确定性事件与随机事件的概率 【例4-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【变式4-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的个数是（    ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【变式4-2】对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（    ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）下面给出四个事件：①某地2月3日将下雪；②函数（且）在定义域上是增函数；③实数都不为零，则；④，则.其中必然事件是_________；不可能事件是__________．（填序号） 题型5：用频率估计概率 【例5-1】（24-25高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【变式5-1】（24-25高一下·广东潮州·期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为___________颗． 【变式5-3】（24-25高一上·河南南阳·期末）近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 (1)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； (2)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； (3)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 题型6：计算古典概型问题的概率 【例6-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 【变式6-3】（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·甘肃武威·月考）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 3．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）天气预报预测未来三天每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用计算机产生出之间的整数随机数，指定0，1，2，3表示不下雨，4，5，6，7，8，9表示下雨．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为（   ） A．0.35 B．0.3 C．0.25 D．0.2 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河南焦作·期末）某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一上·全国·专题练习）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·安徽芜湖·月考）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数，为了使游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数之差的绝对值大于4时甲获胜，否则乙获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数时甲获胜，否则乙获胜 10．（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（   ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为32. 三、填空题 12．在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是______. 13．（2026高一·全国·专题练习）某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是______. 14．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 四、解答题 15．甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳. (1)写出样本空间； (2)用集合表示事件“甲赢”； (3)用集合表示事件“平局”. 16．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； (2)已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； (3)为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 17．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 18．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 19．（24-25高一下·江苏南通·期末）为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示． (1)求m的值； (2)用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩； (3)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 随机事件与样本空间和随机事件的概率 知识清单 知识点01：确定性现象、随机现象 知识点02：随机试验、样本点与样本空间 知识点03：随机事件、基本事件、必然事件及不可能事件 知识点04：事件的关系 知识点05：事件的运算 知识点06：如何列举样本空间中的样本点 知识点07：概率的性质 知识点08：古典概型 知识点09：随机事件的概率 知识点10：如何求古典概型的概率 知识点11：古典概型与其他知识的综合问题 题型讲解 （举一反三） 题型1：总体与样本 题型2：写出样本空间 题型3：判断事件是否是随机事件 题型4：确定性事件与随机事件的概率 题型5：用频率估计概率 题型6：计算古典概型问题的概率 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1、确定性现象、随机现象 1. 确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象. 2. 随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象. 知识点2、随机试验、样本点与样本空间 1. 随机试验：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验. 在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结果有多个，全部可能结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪一个结果. 2. 样本点：我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示. 3. 样本空间 所有样本点组成的集合称为样本空间，用Ω表示. 如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本空间. 知识点3、随机事件、基本事件、必然事件及不可能事件 1. 随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件. 事件一般用A，B，C等大写英文字母表示. 2. 基本事件：当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件. 3. 必然事件：Ω(全集)是必然事件. 4. 不可能事件： ⌀(空集)是不可能事件. 知识点4、事件的关系 1. 事件B发生必导致事件A发生，这时，我们称事件A包含事件B(或事件B包含于事件A). 如图. 知识点5、事件的运算 定义 符号表示 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和 C=A∪B (或C=A+B) 交事件 事件A与事件B同时发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积 C=A∩B (或C=AB) 知识点6、如何列举样本空间中的样本点 1. 探求样本空间中的样本点的方法 (1)枚举法：按一定次序把样本点一一列举出来. 此方法适用于“无序任取”的试验问题. (2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以较易弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数. 此方法适用于互不影响的两步试验问题. (3)树形图法：树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树形图法便于分析多步试验类的较复杂问题，可以作为一种分析问题的手段. 2. 列举样本点时要注意两个区别 (1)“无序”与“有序”的区别：“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述. (2)“有放回”与“无放回”的区别：“有放回”是指取出的元素可以重复，而“无放回”是指取出的元素不可以重复. 知识点7、概率的性质 1. 将事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率，则P(A)满足0≤P(A)≤1. 2. 对于必然事件Ω和不可能事件⌀，显然P(Ω)=1 ，P(⌀)= 0 . 知识点8、 古典概型 1. 等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件{ωk}(k=1，2，…，n)发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件. 2. 古典概型：如果一个随机试验满足：(1)样本空间Ω只含有有限个样本点；(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型. 3. 古典概型的概率：在古典概型中，如果样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k=1，2，…，n)发生的概率都是. 如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)= = 知识点9、随机事件的概率 1. 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定. 我们将频率的这个性质称为频率的稳定性. 因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)≈. 知识点10、如何求古典概型的概率 1. 求古典概型概率的关键是列举出试验的所有样本点和所求事件包含的样本点，列样本点的方法有枚举法、列表法和画树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择. 2. 解决古典概型实际问题的步骤 第一步：阅读题目，判断实验是不是古典概型，若满足有限性和等可能性，则进行下一步 第二步：通过列举或计算求出样本点总数n及题目要求的事件所包含的样本点数m 第三步：利用古典概型的概率公式求出事件的概率 知识点11、古典概型与其他知识的综合问题 1. 古典概型与方程、函数的综合问题的解题方法 　　涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点数. 首先应根据题意确定随机试验的结果，进而确定样本空间，然后根据所学知识把题中涉及方程、函数的条件转化为随机试验的结果所满足的条件，从而确定出所有满足条件的样本点，最后利用古典概型的概率公式求解即可. 2. 古典概型与频率直方图的综合问题的解题方法 求解古典概型与频率直方图相结合的问题关键是利用频率直方图的数据特征确定样本空间，并不重不漏地列出所有满足题意的样本点，进而利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率. 题型1：总体与样本 【例1-1】（2024高一·江苏·专题练习）为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（    ） A．总体是该市参加升学考试的全体学生 B．个体是抽查的1 000名学生中的每一名学生 C．样本量是1 000 D．样本是全体学生的数学成绩 【答案】D 【分析】从总体，个体，样本和样本容量的定义进行判断 【详解】总体是该市参加升学考试的全体学生，A正确， 个体是该市参加升学考试的每一名学生，B正确， 样本是抽查的1 000名学生，样本量是1 000，C正确，D错误. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·江苏·单元复习）从某公司600名员工中抽取20名进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　） A．600名员工是总体 B．每个被抽查的员工是个体 C．抽取的20名员工的体重是一个样本 D．抽取的20名员工的体重是样本容量 【答案】C 【分析】根据统计中样本，总体及样本容量的概念进行判断. 【详解】本题抽取的是20名员工的体重，因此600名员工的体重是总体， 每个员工的体重是个体，这20名员工的体重构成一个样本，样本容量为20. 故ABD错误，C正确； 故选：C. 【变式1-2】为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽取了200名学生做调查.这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么?为什么我们一般要从总体中抽取样本，通过样本来研究总体? 【答案】答案见解析 【分析】根据总体、个体、样本、总体容量、样本容量的定义求解. 【详解】①统计的总体是指该地10 000名高一学生的体重； 个体是指这10 000名高一学生中每一名学生的体重； 样本是指从这10 000名高一学生中抽取的200名学生的体重； 总体容量为10 000；样本容量为200. ②若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现， 一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体进行调查. 【变式1-3】为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，回答下列问题： (1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？ 【答案】(1)答案见解析 (2)第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法 【分析】（1）由随机抽样的相关概念作答； （2）由简单随机抽样和分层抽样法的相关特点作答. 【详解】（1）两种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩， 个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩. 第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20； 第二种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100. （2）第一种方式采用的是简单随机抽样法； 第二种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. 题型2：写出样本空间 【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，从集合中任取不相同的两个数作为复数的实部和虚部，则事件“复数为纯虚数”包含的样本点共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】根据复数为纯虚数的概念求解即可. 【详解】“复数z为纯虚数”包含的样本点的特征是，， 又中有个非零常数，则事件“复数为纯虚数”包含的样本点共有个. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（    ） A．10个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】由题意，确定满足条件的基本事件个数即可． 【详解】根据三角形任意两边之和大于第三边， 所以能组成三角形的有：2，3，4；2，4，5；2，5，6；3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6，共7个， 故选：C． 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课后作业）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 【答案】3 【分析】写出样本空间，由此确定结论. 【详解】试验的样本空间（红球，白球），（红球，黑球），（白球，黑球），样本点共有3个． 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高一下·全国）甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 【答案】(1)样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳） (2)（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布，布） (3)（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子） (4)（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子，布） 【分析】（1）根据题意直接写出样本空间即可； （2）根据“平局”写出样本点即可； （3）根据“甲赢”写出样本点即可； （4）根据“乙赢”写出样本点即可； 【详解】（1）样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳）． （2）“平局”包含（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布，布）三个样本点． （3）“甲赢”包含（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子）三个样本点． （4）“乙赢”包含（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子，布）三个样本点． 题型3：判断事件是否是随机事件 【例3-1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【分析】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可. 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B． 【变式3-2】下列现象中，是确定性现象的是____________． ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②打开电视机，正好在播新闻； ③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球； ④下周六是晴天． 【答案】① 【分析】根据确定事件以及不可能事件和随机事件的定义即可求解. 【详解】长度为3，4，5恰好构成勾股数，所以必然构成一个直角三角形，故①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象． 故答案为：① 【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)必然事件 (5)随机事件 (6)随机事件 【分析】利用随机事件、必然事件、不可能事件概念的内涵进行判断. 【详解】（1）3条射线可以交于不同的点，具有随机性.故事件“从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点.”为随机事件. （2）故事件“把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5”为必然事件. （3）当时，且，则事件“实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0”为不可能事件. （4）汽车排放尾气必然会污染环境，则事件“汽车排放尾气会污染环境”为必然事件. （5）明天早晨有雾与否具有不确定性. （6）某地明年7月28日的最高气温是否高于今年8月10日的最高气温具有不确定性．故事件“某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．”为随机事件. 题型4：确定性事件与随机事件的概率 【例4-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【答案】D 【分析】根据确定性事件和随机事件的定义判断. 【详解】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确． 选项B是必然事件，概率是1，正确． 选项D不是必然事件，概率不是1，D错误． 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的个数是（    ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件概率的取值范围，即可判断出命题①②③的真假，即可求解. 【详解】因为必然事件的概率等于，不可能事件的概率是，随机事件的概率取值范围为， 所以命题①③正确，命题②错误， 故选：C. 【变式4-2】对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（    ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 【答案】D 【分析】根据随机事件概率的意义，即可判断选项. 【详解】概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每一次发生都是随机的， 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生1次. 故选：D 【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）下面给出四个事件：①某地2月3日将下雪；②函数（且）在定义域上是增函数；③实数都不为零，则；④，则.其中必然事件是_________；不可能事件是__________．（填序号） 【答案】 ④ ③ 【分析】根据必然事件、不可能事件的定义可得正确答案. 【详解】对于①，某地2月3日将下雪是随机事件； 对于②，函数（且）在定义域上是增函数是随机事件； 对于③，若实数都不为零，则，故③是不可能事件； 对于④，若，则恒成立，是必然事件． 故答案为：④，③ 题型5：用频率估计概率 【例5-1】（24-25高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项. 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·广东潮州·期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【答案】C 【分析】根据频率和概率的关系即可判断. 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为___________颗． 【答案】300 【分析】可以利用频率估计总体概率，来估计总体分布. 【详解】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得， 解得， 即白色围棋子的数目大约有300颗． 故答案为：300. 【变式5-3】（24-25高一上·河南南阳·期末）近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 (1)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； (2)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； (3)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 【答案】(1) (2)平均数32，方差43.2 (3)乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由见解析 【分析】（1）计算出频率为，从而估计出概率为； （2）利用平均数和方差的计算公式进行求解即可； （3）计算出两公司的外卖骑手日单量的极差，得到答案. 【详解】（1）10名外卖骑手中有7人的日单量大于30，频率为， 因此估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率为. （2）平均数为. 方差为. （3）乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由如下： 甲公司的外卖骑手日单量的极差为， 乙公司的外卖骑手日单量的极差为， 由于，故乙公司的外卖骑手日单量的差异更大. 题型6：计算古典概型问题的概率 【例6-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子有种情况， 则两个点数相等的情况有6种， 所以两个点数相等的概率为. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 【变式6-2】某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可． 【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 【变式6-3】（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次， 出现的情况为：正正，正反，反正，反反共4种， 其中得到一次正面向上和一次反面向上的情况为正反，反正共2种， 所以得到一次正面向上和一次反面向上的概率为, 故选：A. 2．（25-26高一下·甘肃武威·月考）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 【答案】C 【详解】总体是指360名学生的数学成绩，个体是每一名学生的数学成绩，样本是36名学生的数学成绩，只有C正确. 3．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 【详解】由数据1，2，3，4，的平均数， 可得，所以，从这5个数中任取2个，结果有： 共10种， 这2个数字之积小于5的结果有：，共4种， 所以所求概率为. 故选：B 4．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）天气预报预测未来三天每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用计算机产生出之间的整数随机数，指定0，1，2，3表示不下雨，4，5，6，7，8，9表示下雨．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为（   ） A．0.35 B．0.3 C．0.25 D．0.2 【答案】C 【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共5组随机数，根据古典概型概率公式得到结果. 【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到： 907  925 683 257  537共5组随机数， 所以所求概率为. 故选：C 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举出样本空间，根据古典概率的计算公式求解. 【详解】设高一年级的3名学生为，高二年级的2名学生为， 则从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演包含的基本事件有： ，共计10个， 其中这2名学生来自不同年级有，计6个， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 6．（25-26高一上·河南焦作·期末）某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型概率公式直接求解即可. 【详解】先固定小蓝，则剩余8个空位， 若小黄选择除小蓝组的2个空位的其余6个空位，则小黄与小蓝不为一组； 若小黄选择小蓝所在组剩余的2个空位，则小黄与小蓝为一组， 故由古典概型计算可知小蓝和小黄不在一组的概率. 故选：D. 7．（2025高一上·全国·专题练习）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得． 【详解】由于甲、乙都非常聪明，所以他们获胜的关键要看裁判擦去哪个数． 注意2，3，4，…，2026中有1012个奇数，1013个偶数． 若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜．理由如下： 乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不是互质数，故乙胜． 若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜．理由如下： 设裁判擦去的是2m，则将余下的数配成1012对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成， 如，，…，，，…，， 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们为互质数， 故甲必获胜．所以甲获胜的概率为裁判擦去的是偶数的概率，即为． 故选：C 8．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【详解】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·安徽芜湖·月考）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数，为了使游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数之差的绝对值大于4时甲获胜，否则乙获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数时甲获胜，否则乙获胜 【答案】BD 【分析】根据题意，列出树状图，根据各项规则列出对应情况判断是否公平即可. 【详解】画树状图如下：    由树状图知，共有16种等可能的结果， 对于A，所确定的点在直线上的有，共4个样本点， 所确定的点在直线上的点有，共3个样本点， 因此两种情况下的样本点个数不一样，概率不一样，A错误； 对于B，两个数乘积大于15的有，共8个样本点， 则两个数乘积不大于15的也有8个样本点，因此两种情况下的样本点个数一样，概率一样，B正确； 对于C，取出的两个数之差的绝对值大于4的有，共6个样本点， 取出的两个数之差的绝对值不大于4的有10个样本点， 因此两种情况下的样本点个数不一样，概率不一样，C错误； 对于D，取出的两个数相加和为奇数的有，共8个样本点， 则取出的两个数相加和为偶数的有8种，因此两种情况下的样本点个数一样，概率一样，D正确. 10．（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（   ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【分析】根据古典概型求解概率即可比较求解. 【详解】A项，P(点数为奇数) P(点数为偶数)； B, 同时抛掷两枚硬币，共有4种情况：正正；正反；反正；正反. 则 P(恰有一枚正面向上)，P(两枚都正面向上)＝；概率不相等，故B错误， C项，P(牌色为红) P(牌色为黑) ； D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同) . 故选：ACD. 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为32. 【答案】AC 【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及百分位数的定义求解即可. 【详解】对于选项A，个体被抽到的概率为，故选项A正确； 对于选项B，，即，解得，这组数据的方差是，故选项B错误； 对于选项C，对27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排序后为12，14，15，17，19，23，27，30，因为，所以这组数据的第70百分位数是从小到大排序后的第6个数，即23，故选项C正确； 对于选项D，样本数据，，，的标准差为， 则数据，，，的标准差为，故选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是______. 【答案】/0.2 【分析】由列举法解决古典概型概率问题即可. 【详解】在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数， 则这两数之和可能是：，总共有15个数， 其中素数为：，共有3个数， 所以这两数之和仍为素数的概率是. 故答案为：. 13．（2026高一·全国·专题练习）某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是______. 【答案】 【分析】利用树状图表示出所有可能的结果，由此可得输入由组成的一个四位数字，恰是密码的概率，由对立事件概率公式可求得结果. 【详解】用事件表示“输入由组成的一个四位数字，但不是密码”， 则其对立事件为“输入由组成的一个四位数字，恰是密码”， 四个数字随机编排顺序，所有可能结果可用树状图表示，如图所示， 从树状图可以看出，将四个数字随机编排顺序，共有种可能的结果， 即样本空间共含有个样本点，且个样本点出现的结果是等可能的， ，则， 即登录时随机输入由组成的一个密码，该同学不能顺利登录的概率为. 14．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 【答案】/ 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15．甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳. (1)写出样本空间； (2)用集合表示事件“甲赢”； (3)用集合表示事件“平局”. 【答案】(1){(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)} (2){(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)} (3){(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)} 【分析】列举法得到样本空间和事件. 【详解】（1）＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}． （2）记“甲赢”为事件A，则{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}． （3）记“平局”为事件B，则{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}． 16．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； (2)已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； (3)为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 【答案】(1)75，180 (2)71 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图结合平均数和方差的计算公式即可依次计算求解； （2）由样本总平均成绩即可估计所有学生的平均成绩； （3）一一列举样本点，再由古典概型计算即可. 【详解】（1）由题估计所有男生的平均成绩为， 估计所有男生的方差为 所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180； （2）全体学生的平均数； （3）抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为， 事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生， 则样本空间， ， 所以，所以. 17．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】(1)，分位数为分； (2). 【分析】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【详解】（1）由题意知，解得，    设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. （2）由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 18．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1)样本空间见解析；； (2)第二次，第三次摸到红球的概率均为； (3)抽签中签的概率与抽签顺序无关 【分析】（1）依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； （2）由古典概型求得概率； （3）依据概率相同得到结论. 【详解】（1）将三个红球记为，一个黄球记为， 从中不放回地依次随机摸出个球，该实验的基本事件空间为： 共有个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第一次摸到红球的概率为. （2）设“第二次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第二次摸到红球的概率为. 设“第三次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第三次摸到红球的概率为. （3）因为，即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签中签的概率与抽签顺序无关. 19．（24-25高一下·江苏南通·期末）为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示． (1)求m的值； (2)用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩； (3)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据平均数的计算公式即可求解， （3）列举样本点，即可根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， （2）平均数为 （3），，的频率分别为，故之比为，因此从，，抽取5个人，则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1， 设的1个人为，的3个人为，的1一个人为, 故样本空间为,共有10个， 则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个， 故概率为， 1 学科网（北京）股份有限公司 $