第13讲 一元线性回归分析讲义（知识清单+6题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学沪教版选择性必修第二册

第13讲 一元线性回归分析 知识清单 知识点01：经验回归方程的求解法：最小二乘法 题型讲解 （举一反三） 题型1：解释回归直线方程的意义 题型2：用回归直线方程对总体进行估计 题型3：计算样本的中心点和根据样本中心点求参数 题型4：根据回归方程进行数据估计 题型5：求回归直线方程 题型6：最小二乘法的概念及辨析 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01经验回归方程的求解法：最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 题型1：解释回归直线方程的意义 【例1-1】（25-26高三下·上海浦东新·期中）某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（   ） A．表示x与y之间的函数关系 B．表示x与y之间的不确定关系 C．反映x与y之间的真实关系 D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 【答案】D 【详解】根据线性回归方程的概念可知，回归方程反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合. 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．经验回归直线至少经过点中的一个 C．一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D．若，，，则事件A与事件B相互独立 【答案】C 【分析】根据二项分布方差公式，求出二项分布方差，判断A的正误，根据回归直线性质，判断B的正误，根据第百分位数定义，求出第80百分位数，判断C的正误，根据独立事件的判定方法，判断D的正确. 【详解】对A，，故A错误； 对B，经验回归直线必过样本中心点，但不一定过样本点，故B错误； 对C，数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8，9个数据的平均数，即，故C正确； 对D，，，故，故事件与事件不相互独立，故D错误； 故选：C． 【变式1-2】（24-25高三·上海·课堂例题）下列有关线性回归的说法中，正确的是__________（填序号）. ①相关关系的两个变量不是因果关系； ②散点图能直观反映数据的相关程度； ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系； ④任意一组数据都有回归方程. 【答案】①②③ 【分析】对于①，根据具有相关关系的两个变量不一定是因果关系，即可判断；对于②，根据散点图能直观的反映数据的相关程度，即可判断；对于③和④，根据回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系，并不是任一组数据都有回归方程，即可判断. 【详解】具有相关关系的两个变量不一定是因果关系，故①正确； 散点图能直观的反应数据的相关程度，故②正确； 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系，故③正确； 并不是任一组数据都有回归方程，例如当一组数据的线性相关数很小时，这组数据就不会有回归方程，故④错误. 故答案为：①②③ 【变式1-3】某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示． 广告费x/万元 4 2 3 5 销售额y/万元 49 26 39 54 根据上表建立的回归方程中，．的实际意义是什么？ 【答案】广告费投入每增加1万元，销售额平均增加万元. 【分析】根据给定的回归方程，结合回归方程斜率的意义回答即可. 【详解】依题意，是指产品的广告费投入每增加1万元，销售额平均增加约为万元. 题型2：用回归直线方程对总体进行估计 【例2-1】（25-26高三上·上海·单元测试）下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据折线图中各阶段的数据，计算其样本中心纵坐标、极差，并结合数据的变化趋势画出近似回归直线，即可确定回归方程参数之间的大小关系. 【详解】根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，， ∴由图知：2010年至2014年数据为； 2015年至2019年数据为； 2010年至2019年数据为；均成递减趋势. 又，，，且极差分别为6、51、65， 三条回归方程的直线大致图象，如下图示： ∴回归方程的斜率大小关系为，且截距. 故选：C. 【变式2-1】若对具有线性相关关系的两个变量建立的回归方程为，则当时，的估计值为_____． 【答案】 【分析】 将代入回归直线方程可得结果. 【详解】将代入回归直线方程可得. 故答案为：. 【变式2-2】已知，则___________. 【答案】 【分析】根据求和符号的意义，准确运算，即可求解. 【详解】由题意知，则： . 故答案为：. 【变式2-3】假如女儿的身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的线性回归方程是，已知父亲身高为175cm，则估计女儿的身高为______cm．（结果精确到整数） 【答案】 【分析】根据回归方程代入数据计算即得. 【详解】因为女儿身高为(单位：)关于父亲身高(单位：)的经验回归方程是， 所以当父亲的身高为时，. 故答案为：. 题型3：计算样本的中心点和根据样本中心点求参数 【例3-1】（24-25高二下·上海·期中）下列有关线性回归分析的四个命题：① 线性回归直线必过样本数据的中心点；② 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数 时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于 1．其中真命题的个数为（    ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项A，B；根据相关系数的性质可判断C，D，进而可得正确选项. 【详解】对于①，线性回归直线一定过样本数据点的中心，故①正确； 对于②，回归直线在散点图中可能不经过任何一个样本数据点，故②错误； 对于③，当相关系数时，两个变量正相关，故③正确； 对于④，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于或，故④错误. 故真命题的个数为2. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）设某中学的女生体重（单位： kg ）与身高（单位： cm） 具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的经验回归方程为．若该中学女生的平均身高为160cm，则该中学女生的平均体重的估计值是__________kg． 【答案】47.69 【分析】根据经验回归方程的性质，过均值中心点，即，代入数值求平均体重的估计值. 【详解】由得， 故答案为：47.69. 【变式3-2】（25-26高二下·上海松江·期中）某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示： /万元 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9 /万件 3.8 5.4 7.0 10.35 12.2 根据表中的数据，可得回归直线方程，则______． 【答案】 【详解】由题意可得， ， 因为回归直线方程经过点， 所以. 【变式3-3】（24-25高三·上海·课堂例题）某机构为了解某大学中男生的体重（单位：kg）与身高（单位：cm）是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高（cm） 161 175 169 178 173 168 180 体重（kg） 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到关于的线性回归方程为，求. 【答案】 【分析】根据给定数表，求出样本的中心点，再由回归直线必过样本中心点即可得解. 【详解】依题意，， ，而， 所以. 题型4：根据回归方程进行数据估计 【例4-1】（24-25高二下·上海·期末）为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 10 13 销售额y万元 14 21 29 30 37 43 A．广告支出数据的极差为13 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强 【答案】D 【分析】对于A，由极差的定义验算即可；对于B，由百分位数的定义判断即可；对于CD，由线性回归方程的意义判断即可. 【详解】对于A，极差为，故A错误； 对于B，销售额数据按照从小到大的顺序排列为共个数据， 因为，所以销售额数据的第百分位数为，故B错误； 对于C，线性回归方程反应之间关系的一种拟合，不具有确定性，故C错误； 对于D，若去掉超市A这一组数据，因为超市的数据偏离其他数据较远，去掉后其他数据更集中，所以相关程度会更高，故D正确. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高三下·上海·月考）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（   ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A．当胸径时，树高y的预测值为14 B． C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D．当胸径时，树高y的离差为0.32 【答案】B 【分析】利用样本中心点求得，然后根据预测值、百分位数、离差的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意可知，，， 经验回归方程过点，，解，故B正确； 对于A，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为，A错误； 对于C，，表中的树高观测数据y的40%分位数为，C错误； 对于D，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为， 树高y离差为，D错误. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·上海·期末）某产品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表 广告费（单位：万元） 2 3 4 5 销售额（单位：万元） 26 39 49 54 根据上表可得回归方程中，据此模型可预测当广告费为6万元时，销售额约为_________万元． 【答案】 【分析】先根据表格计算出广告费与销售额的平均数，得到样本中心点；再将样本中心代入回归直线方程，求出得值，写出线性回归方程；最后将代入回归直线方程得出即可. 【详解】由表格可得：； . 因为回归方程为，， 所以，即，得， 则回归方程为. 当时，. 故答案为：. 【变式4-3】某人对一地区近几年的年人均可支配收入x（单位：千元）与年人均消费支出y（单位：千元）进行统计调查，发现y与x具有线性相关关系，且得到回归方程．若该地区去年的年人均消费支出为4万3千元，试估计该地区去年的年人均消费支出占人均可支配收入的百分比． 【答案】 【分析】根据回归直线方程求出人均可支配收入，即可求得百分比. 【详解】当时，，解得， 所以该地区去年的年人均消费支出占人均可支配收入的百分比为. 题型5：求回归直线方程 【例5-1】（25-26高三下·上海·月考）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（    ）. 广告费用 3 4 5 8 销售利润 4 5 7 8 A． B． C．直线必过点 D．直线必过点 【答案】C 【详解】由题意可得，，即样本中心为，所以直线必过点，D正确，C错误; 而，， 因此，，所以AB正确. 【变式5-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是_______ x 3 4 5 6 y 2.5 4 4.5 【答案】/ 【分析】先计算出样本的中心点坐标，将其代入中可求得m的值，再结合离差的定义求解即可. 【详解】因为，，且线性回归方程恒过， 所以，解得， 将代入回归方程得， 所以此回归方程在样本点处的离差是. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高三·上海·随堂练习）某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760千克，到第二期亩产810千克，第三期亩产860千克，第四期亩产1030千克．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩________千克． 附：用最小二乘法求得线性回归方程为，其中，． 【答案】1384 【分析】计算出，故代入公式得到，，得到，代入，预测第五期的产量. 【详解】设父代产量为，子代产量为， 则，， 所以， ， 所以，． 则线性回归方程为，当时，， 所以预测第五期的产量为每亩1384公斤． 故答案为：1384 【变式5-3】（24-25高二下·上海·月考）某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】(1)模型②； (2)（i）（ⅱ）27.1亿元 【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小得出结论； （2）（i）两边取自然对数，转化为线性回归方程求解，再转化为指数式即可； （ii）根据（i）的结论预测销售额y达到80亿元时研发投入即可得解. 【详解】（1）由题意表格数据得， 同理， ∵0.86<0.91，即， 则从相关系数的角度，选择模型②的拟合程度会更好. （2）（i）由（1）得，模型②，可建立关于x的线性回归方程， 则，又， ∴，∴， ∴，即. （ii）由（i）得， 要使下一年销售额达到80亿元，即，， ∴，解得， 故下一年销售额达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 题型6：最小二乘法的概念及辨析 【例6-1】（2024高二下·上海·专题练习）用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】根据最小二乘法的概念和求解过程，即可求解. 【详解】根据最小二乘法的概念和求解，可得回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小． 故选：D． 【变式6-1】用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的定义判断即可. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 即残差平方和最小. 故选：D 【变式6-2】对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的求解即可知. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 故选：D 【变式6-3】已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下： x 100 120 140 160 180 y 45 54 62 75 92 那么变量y关于x的线性回归方程只可能是(　　) A．y＝0.575x－14.9 B．y＝0.572x－13.9 C．y＝0.575x－12.9 D．y＝0.572x－14.9 【答案】A 【分析】线性回归方程必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程检验即可． 【详解】由表格易知，，根据线性回归方程必过样本中心点，代入检验只有适合，故选A. 【点睛】本题考查线性回归方程的性质，具有一定的计算量，属于基础题 一、填空题 1．（24-25高三·上海·课堂例题）根据年我国岁人口比重统计数据，拟合了与年份的回归方程为，试据此估计我国约从__________年开始16~59岁人口比重低于. 【答案】2029 【分析】令，运算求解即可. 【详解】令，解得， 所以估计我国约从2029年开始16~59岁人口比重低于. 故答案为：2029. 2．（25-26高三上·上海·单元测试）某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示： 4 5 6 7 8 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额为__________万元．（填整数） 【答案】132 【分析】由表格数据求样本中心，根据回归直线过样本中心点求，将代入方程求销售额估计值即可. 【详解】由表格数据知：，， ∴由回归方程，有：，即，故， ∴当万元时，万元. 故答案为：132. 3．（25-26高三上·上海·期末）贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地.某电商以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表.由表可知苗木长度与售价/元之间存在线性相关关系，回归方程为.当苗木长度为120cm时，估计价格为__________元. 10 20 30 40 50 60 /元 2 6 10 14 16 18 【答案】36.5 【分析】利用表格信息求出，由回归方程经过点求得，即得回归方程，代入的值即得价格估计值. 【详解】由表格可得，， 因回归方程必过， 则得，，解得，，即， 故当时，元. 故答案为：36.5. 4．（25-26高三上·上海·单元测试）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法中正确的是__________（填序号）． 2 3 4 5 6 19 25 ★ 38 44 ①看不清的数据★的值为34； ②回归直线必经过样本点； ③回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨； ④据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨． 【答案】①④ 【分析】回归直线方程必过样本点中心；根据回归直线方程过样本点中心去求解表中缺失数据，根据回归直线方程的理解和计算判断. 【详解】回归直线方程为一定过，根据表格可得， 代入可得，又，所以①正确；②错误； 根据回归直线，可知回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，③错误； 根据回归直线，当时，相应的生产能耗为吨．④正确； 故答案为：①④. 5．（24-25高三·上海·课堂例题）已知、的对应值表为： 0 1 3 4 5 6 且、线性相关，由于表格污损，的对应值看不到了，若，且线性回归直线方程为，则时，的预报值为__________. 【答案】6.1 【分析】求出，由线性回归方程必经过点即得，代入求解即可. 【详解】由表格知，由，得， 代入得，解得，则回归方程为， 当时，. 故答案为：6.1 6．（25-26高三上·上海·单元测试）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 1 2 3 4 销售额（万元） 2 3 现已知，且回归方程中的，据此模型预测广告费用为10万元时，销售额为__________万元． 【答案】35 【分析】由求解即可． 【详解】， 由，则，得， 所以， 当时，得． 故答案为：35 7．（24-25高三下·上海金山·月考）某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为__________，在样本点处的离差为__________． 3 4 5 6 2.5 3 4 【答案】 4.5 【分析】根据回归直线过样本中心点得出，再根据定义计算离差即可. 【详解】，， 当时，，则离差为． 故答案为：；. 8．（24-25高二下·上海·期末）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 【答案】36 【分析】根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值. 【详解】根据表中数据可知，， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得， 故答案为：36. 9．（25-26高三下·上海·月考）对具有线性相关关系的变量、有一组观测数据，其回归方程是，且，则实数的值为______. 【答案】/ 【详解】由得，， 所以，所以. 10．（25-26高二下·上海·期中）已知、取值如表所示，从散点图分析，与线性相关，且，则__________. 0 1 3 4 0.9 1.9 3.2 4.4 【答案】 【详解】，， 所以 11．为了研究小滑块在平面上的运动，测量得到如下一组数据： 时间（s） 1 2 3 4 5 6 7 位移（cm） 1.8 3.6 5.3 7.1 8.8 10.4 12.0 这组数据的线性回归方程经过点，则______． 【答案】7 【分析】根据线性回归方程过样本数据中心点求解. 【详解】因为， 所以线性回归方程经过的点为样本中心点， 所以， 故答案为：7 12．（25-26高三上·上海·单元测试）现调查得到本系列手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据，绘制如图所示的折线图，图中的，分别代表该手机上市的4月份，以及5月份，6月份，7月份，8月份，…．据此数据得出关于的回归方程为，用此方程预测该系列手机市场占有率的变化趋势，要使该系列手机的市场占有率超过0.5%，最早会在初次上市后的第__________个月． 【答案】13 【分析】先求出样本中心点，代入中，求得的值，再解不等式，即可． 【详解】，， 样本中心点为， 将其代入，得，解得， ， 当时，有，解得， 应取， 故答案为：13． 二、单选题 13．（24-25高三下·上海·月考）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（    ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据线性相关系数的定义直接得解. 【详解】由已知样本数据所对应的点均在直线上， 则，又，所以满足负相关， 即. 故选：A． 14．（24-25高三·上海·课堂例题）下列说法中正确的个数是（    ） ①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越弱； ②回归直线过样本点中心； ③拟合误差用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好. A．0 B．1 C．2 D．3. 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质即可求解①，根据回归直线的性质即可求解②，根据误差的性质即可求解③. 【详解】对于①，相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越强；故错误， 对于②，回归直线过样本点中心；故正确， 对于③，拟合误差用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好，故正确， 故选：C 15．（24-25高三·上海·课堂例题）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．离差和变小 B．相关系数变小 C．拟合误差变小 D．解释变量与反应变量的相关性变弱 【答案】C 【分析】根据离差和、相关系数、拟合误差、解释变量与反应变量的相关性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，离差和是每个数据点与均值差值的累计和，恒为0，故A错误； 对于B，因为点离其它点较远，去掉后，相关性变强，而且是正相关，所以相关系数变大，故B错误； 对于C，点离其它点较远，是一个异常值，拟合误差减小，故C正确 对于D，解释变量与反应变量的相关性变强，故D错误. 故选：C. 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（   ） A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm B．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642 C．花瓣长度和花萼长度负相关 D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系 【答案】A 【分析】根据散点图的特点及回归方程可判断ACD选项，根据相关系数的定义可以判断B选项. 【详解】当时，，故A正确， 部分数据的相关系数未必和总体相同，故B错误； 从散点图可以看出花瓣长度和花萼长度正相关，故C错误； 花瓣长度和花萼长度之间不存在函数关系，为相关关系，只是用一次函数近似拟合它们的关系， 故D错误． 故选：A. 三、解答题 17．（24-25高三上·上海·单元测试）现有某高新技术企业年研发费用投入（百万元）与企业年利润（百万元）之间具有线性相关关系，近5年的年研发费用和年利润的具体数据如表： 年研发费用（百万元） 1 2 3 4 5 年利润（百万元） 2 3 4 4 7 数据表明与之间有较强的线性关系． (1)求对的回归直线方程； (2)如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？ 【答案】(1) (2)9.5百万元 【分析】(1)由已知求得与的值，则线性回归方程可求得； (2)根据(1)的回归方程中，取求得值即可. 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 所以， 所以， 所以所求回归直线的方程为； （2）在（1）中的方程中，令，得， 故如果该企业某年研发费用投入百万元，预测该企业获得年利润为百万元． 18．（24-25高三·上海·课堂例题）如图，在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，培养基上细菌的最大承载量（达到稳定期时的细菌数量）与培养基质量具有线性相关关系.某实验室在培养细菌的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据： 培养基质量（g） 20 40 50 60 80 细菌的最大承载量（单位） 300 400 500 600 700 (1)建立关于的回归直线方程，并预测当培养基质量为100g时细菌的最大承载量； (2)研究发现，细菌的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量（单位）与细菌被植入培养基的时间近似满足函数关系，试估计在100g培养基上培养细菌时指数期的持续时间（精确到1小时）. 【答案】(1)，850（单位） (2)10小时 【分析】（1）根据表中的数据求出，，，，然后根据公式求出，从而可求出回归直线方程，把代入方程可求出培养基质量为100g时细菌的最大承载量； （2）由（1）可知，代入可求出的值. 【详解】（1）由题意可得， ，， ， ， 所以， 故， 所以关于的回归直线方程为， 当培养基质量为100克时细菌的最大承载量为（单位）； （2）在100g培养基上培养细菌时，由（1）可知最大承载量为850单位， 又， 即， 化简可得， 所以，则， 所以在100克培养基上培养细菌时指数期的持续时间为10小时. 19．（25-26高三上·上海·单元测试）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款/千亿元 5 6 7 8 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)用所求回归方程预测该地区2022年（）的人民币储蓄存款． 【答案】(1) (2)（千亿元） 【分析】（1）由已知，求出，，再求出，，则可求出，，即可求出关于的线性回归方程； （2）将代入回归方程，即可求出该地区2022年的人民币储蓄存款. 【详解】（1）根据题意得：，， ， ， ，， 所以关于的线性回归方程； （2）当时，（千亿元）， 即该地区2022年（）的人民币储蓄存款为12千亿元． 20．（25-26高三下·上海黄浦·月考）某地环境部门监测了16条河流的污染物（主要指磷和氨氮）浓度（单位：）和下游湿地某种水鸟的观测数量（单位：只）. 监测数据如下： 污染物浓度 0.012 0.015 0.018 0.020 0.021 0.023 0.025 0.026 水鸟数量 52 48 45 43 40 42 37 39 污染物浓度 0.028 0.030 0.031 0.032 0.035 0.037 0.038 0.040 水鸟数量 36 32 30 29 28 27 26 22 (1)已知III类河流的标准是污染物浓度不高于 ，估计这16条河流中III类河流的比重（用百分数表示，结果保留两位有效数字）; (2)已知关于的线性回归方程为，污染物浓度平均数，预测在下游湿地观测到33只水鸟时河流的污染物浓度（结果精确到）； (3)某摄影师在这16条河流中随机选取3条不同的河流，前往下游湿地拍摄水鸟照片，每次拍摄1张，求至少有2张照片中出现不少于30只水鸟的概率. 【答案】(1)25% (2)0.030 (3) 【分析】（1）根据表格数据得到III类河流的数量然后计算比重即可； （2）先计算出水鸟数量的平均数，代入回归方程得到参数，再利用方程预测时的值； （3）分析事件包含的情况，用组合数得到各种情况的数量，最后根据古典概型计算出概率. 【详解】（1）根据表格数据，16条河流中污染物浓度的有4条，比重为. （2）水鸟数量的平均数， 所以样本中心点为，代入回归方程得，解得， 即回归方程为，当观测到33只水鸟即时， 根据解得，即预测的污染物浓度为. （3）由表格可知，在这16条河流中，水鸟数量“不少于30只”的共有11条， 设“至少有2张照片中出现不少于30只水鸟”为事件， 则包含两种情况：恰好有2张照片中的水鸟不少于30只，有种情况； 3张照片中的水鸟均不少于30只，有种情况， 根据古典概型的概率计算公式有. 21．（25-26高二下·上海·期中）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为时，气体温度达到绝对零度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)用上表数据建立气体压强与气体温度的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差 (2)估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到） 【答案】(1)，回归方程是理想的 (2) 【详解】（1）， ， ， 将，即代入， 解得 回归方程为 ， , 因为 ，所以回归方程是理想的. （2）回归方程为， 令，解得（）， 预估该次实验下绝对零度的数值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一元线性回归分析 知识清单 知识点01：经验回归方程的求解法：最小二乘法 题型讲解 （举一反三） 题型1：解释回归直线方程的意义 题型2：用回归直线方程对总体进行估计 题型3：计算样本的中心点和根据样本中心点求参数 题型4：根据回归方程进行数据估计 题型5：求回归直线方程 题型6：最小二乘法的概念及辨析 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01经验回归方程的求解法：最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 题型1：解释回归直线方程的意义 【例1-1】（25-26高三下·上海浦东新·期中）某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（   ） A．表示x与y之间的函数关系 B．表示x与y之间的不确定关系 C．反映x与y之间的真实关系 D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．经验回归直线至少经过点中的一个 C．一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D．若，，，则事件A与事件B相互独立 【变式1-2】（24-25高三·上海·课堂例题）下列有关线性回归的说法中，正确的是__________（填序号）. ①相关关系的两个变量不是因果关系； ②散点图能直观反映数据的相关程度； ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系； ④任意一组数据都有回归方程. 【变式1-3】某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示． 广告费x/万元 4 2 3 5 销售额y/万元 49 26 39 54 根据上表建立的回归方程中，．的实际意义是什么？ 题型2：用回归直线方程对总体进行估计 【例2-1】（25-26高三上·上海·单元测试）下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】若对具有线性相关关系的两个变量建立的回归方程为，则当时，的估计值为_____． 【变式2-2】已知，则___________. 【变式2-3】假如女儿的身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的线性回归方程是，已知父亲身高为175cm，则估计女儿的身高为______cm．（结果精确到整数） 题型3：计算样本的中心点和根据样本中心点求参数 【例3-1】（24-25高二下·上海·期中）下列有关线性回归分析的四个命题：① 线性回归直线必过样本数据的中心点；② 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数 时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于 1．其中真命题的个数为（    ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式3-1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）设某中学的女生体重（单位： kg ）与身高（单位： cm） 具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的经验回归方程为．若该中学女生的平均身高为160cm，则该中学女生的平均体重的估计值是__________kg． 【变式3-2】（25-26高二下·上海松江·期中）某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示： /万元 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9 /万件 3.8 5.4 7.0 10.35 12.2 根据表中的数据，可得回归直线方程，则______． 【变式3-3】（24-25高三·上海·课堂例题）某机构为了解某大学中男生的体重（单位：kg）与身高（单位：cm）是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高（cm） 161 175 169 178 173 168 180 体重（kg） 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到关于的线性回归方程为，求. 题型4：根据回归方程进行数据估计 【例4-1】（24-25高二下·上海·期末）为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 10 13 销售额y万元 14 21 29 30 37 43 A．广告支出数据的极差为13 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强 【变式4-1】（24-25高三下·上海·月考）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（   ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A．当胸径时，树高y的预测值为14 B． C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D．当胸径时，树高y的离差为0.32 【变式4-2】（24-25高二下·上海·期末）某产品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表 广告费（单位：万元） 2 3 4 5 销售额（单位：万元） 26 39 49 54 根据上表可得回归方程中，据此模型可预测当广告费为6万元时，销售额约为_________万元． 【变式4-3】某人对一地区近几年的年人均可支配收入x（单位：千元）与年人均消费支出y（单位：千元）进行统计调查，发现y与x具有线性相关关系，且得到回归方程．若该地区去年的年人均消费支出为4万3千元，试估计该地区去年的年人均消费支出占人均可支配收入的百分比． 题型5：求回归直线方程 【例5-1】（25-26高三下·上海·月考）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（    ）. 广告费用 3 4 5 8 销售利润 4 5 7 8 A． B． C．直线必过点 D．直线必过点 【变式5-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是_______ x 3 4 5 6 y 2.5 4 4.5 【变式5-2】（24-25高三·上海·随堂练习）某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760千克，到第二期亩产810千克，第三期亩产860千克，第四期亩产1030千克．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩________千克． 附：用最小二乘法求得线性回归方程为，其中，． 【变式5-3】（24-25高二下·上海·月考）某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 题型6：最小二乘法的概念及辨析 【例6-1】（2024高二下·上海·专题练习）用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【变式6-1】用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【变式6-2】对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【变式6-3】已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下： x 100 120 140 160 180 y 45 54 62 75 92 那么变量y关于x的线性回归方程只可能是(　　) A．y＝0.575x－14.9 B．y＝0.572x－13.9 C．y＝0.575x－12.9 D．y＝0.572x－14.9 一、填空题 1．（24-25高三·上海·课堂例题）根据年我国岁人口比重统计数据，拟合了与年份的回归方程为，试据此估计我国约从__________年开始16~59岁人口比重低于. 2．（25-26高三上·上海·单元测试）某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示： 4 5 6 7 8 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额为__________万元．（填整数） 3．（25-26高三上·上海·期末）贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地.某电商以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表.由表可知苗木长度与售价/元之间存在线性相关关系，回归方程为.当苗木长度为120cm时，估计价格为__________元. 10 20 30 40 50 60 /元 2 6 10 14 16 18 4．（25-26高三上·上海·单元测试）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法中正确的是__________（填序号）． 2 3 4 5 6 19 25 ★ 38 44 ①看不清的数据★的值为34； ②回归直线必经过样本点； ③回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨； ④据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨． 5．（24-25高三·上海·课堂例题）已知、的对应值表为： 0 1 3 4 5 6 且、线性相关，由于表格污损，的对应值看不到了，若，且线性回归直线方程为，则时，的预报值为__________. 6．（25-26高三上·上海·单元测试）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 1 2 3 4 销售额（万元） 2 3 现已知，且回归方程中的，据此模型预测广告费用为10万元时，销售额为__________万元． 7．（24-25高三下·上海金山·月考）某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为__________，在样本点处的离差为__________． 3 4 5 6 2.5 3 4 8．（24-25高二下·上海·期末）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 9．（25-26高三下·上海·月考）对具有线性相关关系的变量、有一组观测数据，其回归方程是，且，则实数的值为______. 10．（25-26高二下·上海·期中）已知、取值如表所示，从散点图分析，与线性相关，且，则__________. 0 1 3 4 0.9 1.9 3.2 4.4 11．为了研究小滑块在平面上的运动，测量得到如下一组数据： 时间（s） 1 2 3 4 5 6 7 位移（cm） 1.8 3.6 5.3 7.1 8.8 10.4 12.0 这组数据的线性回归方程经过点，则______． 12．（25-26高三上·上海·单元测试）现调查得到本系列手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据，绘制如图所示的折线图，图中的，分别代表该手机上市的4月份，以及5月份，6月份，7月份，8月份，…．据此数据得出关于的回归方程为，用此方程预测该系列手机市场占有率的变化趋势，要使该系列手机的市场占有率超过0.5%，最早会在初次上市后的第__________个月． 二、单选题 13．（24-25高三下·上海·月考）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（    ） A． B．1 C． D．无法确定 14．（24-25高三·上海·课堂例题）下列说法中正确的个数是（    ） ①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越弱； ②回归直线过样本点中心； ③拟合误差用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好. A．0 B．1 C．2 D．3. 15．（24-25高三·上海·课堂例题）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．离差和变小 B．相关系数变小 C．拟合误差变小 D．解释变量与反应变量的相关性变弱 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（   ） A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm B．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642 C．花瓣长度和花萼长度负相关 D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系 三、解答题 17．（24-25高三上·上海·单元测试）现有某高新技术企业年研发费用投入（百万元）与企业年利润（百万元）之间具有线性相关关系，近5年的年研发费用和年利润的具体数据如表： 年研发费用（百万元） 1 2 3 4 5 年利润（百万元） 2 3 4 4 7 数据表明与之间有较强的线性关系． (1)求对的回归直线方程； (2)如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？ 18．（24-25高三·上海·课堂例题）如图，在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，培养基上细菌的最大承载量（达到稳定期时的细菌数量）与培养基质量具有线性相关关系.某实验室在培养细菌的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据： 培养基质量（g） 20 40 50 60 80 细菌的最大承载量（单位） 300 400 500 600 700 (1)建立关于的回归直线方程，并预测当培养基质量为100g时细菌的最大承载量； (2)研究发现，细菌的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量（单位）与细菌被植入培养基的时间近似满足函数关系，试估计在100g培养基上培养细菌时指数期的持续时间（精确到1小时）. 19．（25-26高三上·上海·单元测试）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款/千亿元 5 6 7 8 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)用所求回归方程预测该地区2022年（）的人民币储蓄存款． 20．（25-26高三下·上海黄浦·月考）某地环境部门监测了16条河流的污染物（主要指磷和氨氮）浓度（单位：）和下游湿地某种水鸟的观测数量（单位：只）. 监测数据如下： 污染物浓度 0.012 0.015 0.018 0.020 0.021 0.023 0.025 0.026 水鸟数量 52 48 45 43 40 42 37 39 污染物浓度 0.028 0.030 0.031 0.032 0.035 0.037 0.038 0.040 水鸟数量 36 32 30 29 28 27 26 22 (1)已知III类河流的标准是污染物浓度不高于 ，估计这16条河流中III类河流的比重（用百分数表示，结果保留两位有效数字）; (2)已知关于的线性回归方程为，污染物浓度平均数，预测在下游湿地观测到33只水鸟时河流的污染物浓度（结果精确到）； (3)某摄影师在这16条河流中随机选取3条不同的河流，前往下游湿地拍摄水鸟照片，每次拍摄1张，求至少有2张照片中出现不少于30只水鸟的概率. 21．（25-26高二下·上海·期中）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为时，气体温度达到绝对零度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)用上表数据建立气体压强与气体温度的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差 (2)估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到） 1 学科网（北京）股份有限公司 $