第04讲 乘法原理与加法原理（知识清单+3题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版选择性必修第二册）数学高二重难点讲义与测试

第04讲 乘法原理与加法原理 知识清单 知识点01：分步乘法计数原理 知识点02：分类加法计数原理 知识点03：两个计数原理的区别与联系 题型讲解 （举三反三） 题型1：分步乘法计数原理及简单应用 题型2：判断事件计数的原理 题型3：分类加法计数原理 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 知识点02分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 知识点03 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 题型1：分步乘法计数原理及简单应用 【例1-1】（25-26高二上·上海·期末）四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队和排球队，每人限报其中的一支，那么不同的报名方法有（    ）种. A．12 B．16 C．81 D．256 【例1-2】（24-25高二上·上海·期末）乘积 (其中)的展开式中共有__________项． 【例1-3】（24-25高二上·上海·假期作业）若、是整数，且，，则以为坐标的不同的点共有多少个？ 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）将标有1、2、3、4的四个球放到标号为1、2、3、4的四个盒子里，每只盒子放一个球，则盒子的标号与球号均不相同的放法种数为（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有_____种． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·假期作业）六名同学报名参加三项体育比赛，每项限报一人，且每人至多参加一项，共有多少种不同的报名结果？ 题型2：判断事件计数的原理 【例2-1】将按一定顺序排列后，得到一个能被5整除的五位数，从最高位起，的前两位、前三位、前四位按原顺序组成的两位数、三位数、四位数分别能被2，3，4整除，则（   ） A．的最小值为5 B．的最大值为9 C．的最小值为24325 D．的最大值为54325 【变式2-1】现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 【变式2-2】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【变式2-3】电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问： （1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 题型3：分类加法计数原理 【例3-1】（24-25高三·上海·课堂例题）将一枚骰子向桌面先后抛掷次，将两次获得的点数相加求和一共有（   ）种不同结果． A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高三·上海·随堂练习）甲乙两地隔江相望，现今连接两岸的有4座大桥、3条公路隧道、1条观光隧道和2条摆渡航线，那么，两岸市民过江有_______种走法． 【例3-3】（24-25高三·上海·课堂例题）书架上层放4本不同的语文书，中层放5本不同的数学书，下层放6本不同的英语书． (1)如果从中任取一本书，有多少种不同的取法？ (2)如果从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ 【变式3-1】（24-25高三·上海·随堂练习）有红、黄、蓝的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，并且不同的顺序表示不同的信号，则可表示不同的信号种数为（    ）． A．6 B．12 C．14 D．15 【变式3-2】（24-25高三·上海·课堂例题）集合，从集合中取出4个元素构成集合，并且集合中任意两个元素、满足，则这样的集合的个数为__________个． 【变式3-3】（24-25高三·上海·课堂例题）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 一、填空题 1．（24-25高三·上海·课堂例题）已知，，，，将、、、两两连线，可得到__________条直线． 2．（24-25高二上·上海·假期作业）用，，，，，这个数字： （1）可以组成______________个数字不重复的三位数； （2）可以组成______________个数字允许重复的三位数． 3．（24-25高三·上海·随堂练习）三角形的三条边长均为整数，且最大边长为12，则这样的不同三角形共有_______个． 4．（24-25高三·上海·课堂例题）已知，，则可表示不同的值的个数是__________． 5．（24-25高三·上海·课堂例题）某学生有语文书5本、数学书4本、英语书3本，现各选1本送给同学，有__________种不同的送法． 6．（24-25高二上·上海奉贤·月考）正整数1224有________个不同的正约数. 7．（25-26高三上·上海·单元测试）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同投法有________种． 8．（24-25高三·上海·课堂例题）从上海开往南京的普通快车沿途停靠苏州、无锡、常州、镇江、南京站，则火车上3名乘客最多有__________种不同的下车方法． 9．设实数和均是集合中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为_____________. 10．（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有____个. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有______种摆法． 12．（2025高三·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 二、单选题 13．（24-25高三·上海·课堂例题）若、，则的不同值个数是（    ） A．2个 B．6个 C．9个 D．8个． 14． 2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 15．对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ）种． A．4 B．5 C．6 D．7 16．对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ） 种． A．5 B．6 C．7 D．8 三、解答题 17．（24-25高三·上海·课堂例题）360的不同正约数共有多少个？ 18．（24-25高三·上海·随堂练习）如题图所示，从A处到D处共有多少种不同的走法？    19．（24-25高三·上海·随堂练习）求证：展开式的项数是（m，n，k均为正整数）． 20．（24-25高三·上海·课堂例题）已知是次多项式，是次多项式，，且，那么展开后至多有多少项？整理合并同类项后至多有多少项？ 21．（24-25高二上·上海·假期作业）关于正整数2160，求： (1)它有多少个不同的正因数？ (2)它的所有正因数的和是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 乘法原理与加法原理 知识清单 知识点01：分步乘法计数原理 知识点02：分类加法计数原理 知识点03：两个计数原理的区别与联系 题型讲解 （举三反三） 题型1：分步乘法计数原理及简单应用 题型2：判断事件计数的原理 题型3：分类加法计数原理 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 知识点02分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 知识点03 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 题型1：分步乘法计数原理及简单应用 【例1-1】（25-26高二上·上海·期末）四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队和排球队，每人限报其中的一支，那么不同的报名方法有（    ）种. A．12 B．16 C．81 D．256 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意知，每名学生都有种报名情况， 由分步乘法计数原理可得，不同的报名方法有种. 故选：C. 【例1-2】（24-25高二上·上海·期末）乘积 (其中)的展开式中共有__________项． 【答案】12 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】从中取一项共有3种不同取法，从中取一项有4种不同取法， 由分步乘法计数原理知，该展开式共 (项). 故答案为：12. 【例1-3】（24-25高二上·上海·假期作业）若、是整数，且，，则以为坐标的不同的点共有多少个？ 【答案】195 【分析】以为坐标的点需要第一步取的值，第二步取的值，根据分步计数原理，用乘法计算即可. 【详解】先确定的取值，共有13个值，再确定的取值，共有15个值， 用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：个. 所以，以为坐标的不同的点共有195个. 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）将标有1、2、3、4的四个球放到标号为1、2、3、4的四个盒子里，每只盒子放一个球，则盒子的标号与球号均不相同的放法种数为（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】要得到盒子标号与球号均不同的一种放法，可分三个步骤： 第一步，先放1号球，从标号2、3、4的3个盒子中任选一个放入，有3种放法； 第二步，再放与1号球放入的盒子标号相同的球，有3种放法， 例如，第一步中1号球放入2号盒子；第二步则放2号球，可从1、3、4号盒子中任选一个放入； 第三步，最后放余下两球，只有1种放法. 由乘法原理得，不同的放法有种. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有_____种． 【答案】81 【分析】求出每名学生报名的种数，再利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，每名学生报名的种数是3，由分步乘法计数原理得不同的报名结果有种. 故答案为：81 【变式1-3】（24-25高二上·上海·假期作业）六名同学报名参加三项体育比赛，每项限报一人，且每人至多参加一项，共有多少种不同的报名结果？ 【答案】120 【分析】由项目找人，分三个步骤完成，根据分步乘法计数原理可求解； 【详解】每项限报一人，且每人至多参加一项． 因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为． 题型2：判断事件计数的原理 【例2-1】将按一定顺序排列后，得到一个能被5整除的五位数，从最高位起，的前两位、前三位、前四位按原顺序组成的两位数、三位数、四位数分别能被2，3，4整除，则（   ） A．的最小值为5 B．的最大值为9 C．的最小值为24325 D．的最大值为54325 【答案】C 【分析】由题可知五位数A的个位只能是0或5，十位和千位均为偶数，前三位上的各数字之和能被3整除，且前四位按原顺序组成的四位数能被4整除，进而分析判断各选项即可. 【详解】由题可知五位数A的个位只能是0或5，十位和千位均为偶数， 前三位上的各数字之和能被3整除，且前四位按原顺序组成的四位数能被4整除． 对于A项，若，可得可以为34520或54320或32405或34205， 故最小可以取到0，A错误； 对于B项，若，将2，3，4，5，9排序，得个位只能是5，且十位和千位是偶数， 则这个五位数的前三位上的数字之和为14或16， 因为14和16均不能被3整除，不满足题意，所以，B错误； 对于C项，将2，3，4，5，排序， ①当且为首位时，个位为5，此时没有满足题意的五位数，即； ②当首位是2，个位为5，要满足十位和千位均是偶数，此时百位只能是3， 要满足前三位上的各数字之和能被3整除，所以千位的最小值为4， 此时要满足前四位上的各数之和能被4整除，十位的最小值为2， 得，满足题意，所以的最小值为24325，C正确； 对于D项，将2，3，4，5，排序，由B项分析得， 故当且为首位时，个位为5，此时当且仅当千位为4，百位为3，十位为2时， 满足题意，取最大值84325，D错误． 故选：C. 【变式2-1】现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 【答案】A 【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案. 【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法. 则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：. 故选：A 【变式2-2】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【答案】C 【分析】根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到. 【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法， 根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法. 故选：C 【变式2-3】电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问： （1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 【答案】（1）256个；（2）2个. 【解析】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，根据分步乘法计数原理，即可得解； （2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，不够表示，继续利用分步相乘原理计算个字节可以表示的不同的字符，判断与的大小关系即可. 【详解】（1）一个字节共有位，每位上有种选择， 根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示个不同的字符； （2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，，一个字节不够； 根据分步乘法计数原理，个字节可以表示个不同的字符， ，所以每个汉字至少要用个字节表示. 【点睛】关键点点睛：本题考查分步乘法计数原理，熟练掌握分步计数原理的概念及计算公式是解题的关键，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于基础题. 题型3：分类加法计数原理 【例3-1】（24-25高三·上海·课堂例题）将一枚骰子向桌面先后抛掷次，将两次获得的点数相加求和一共有（   ）种不同结果． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法和分类加法原理求解即可. 【详解】抛掷次骰子，最小的两个点数是，最大的两个点数是， 实际上这些都有可能出现，只考虑点数之和不考虑其他的情况下可能是 ， ， 由分类加法原理，共有种不同的结果. 故选：B 【例3-2】（24-25高三·上海·随堂练习）甲乙两地隔江相望，现今连接两岸的有4座大桥、3条公路隧道、1条观光隧道和2条摆渡航线，那么，两岸市民过江有_______种走法． 【答案】10 【分析】由分类加法计数原理可得答案. 【详解】两岸市民过江有种走法． 故答案为：10. 【例3-3】（24-25高三·上海·课堂例题）书架上层放4本不同的语文书，中层放5本不同的数学书，下层放6本不同的英语书． (1)如果从中任取一本书，有多少种不同的取法？ (2)如果从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)15 (2)120 【分析】（1）根据分类相加原则计算即可； （2）根据分步乘法原则计算即可. 【详解】（1）书架上共有不同的书本， 所以从中任取一本书，共有15种不同的取法. （2）由题知从4本不同的语文书中任取一本，有4种取法； 从5本不同的数学书中任取一本，有5种取法； 从6本不同的英语书中任取一本，有6种取法. 根据分步乘法原则，， 所以从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有120种不同的取法. 【变式3-1】（24-25高三·上海·随堂练习）有红、黄、蓝的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，并且不同的顺序表示不同的信号，则可表示不同的信号种数为（    ）． A．6 B．12 C．14 D．15 【答案】D 【分析】利用分类加法、分步乘法计数原理可得答案. 【详解】挂一面旗时，有3种情况；挂两面旗时，有种； 挂三面旗时，有种， 所以共种． 故选：D. 【变式3-2】（24-25高三·上海·课堂例题）集合，从集合中取出4个元素构成集合，并且集合中任意两个元素、满足，则这样的集合的个数为__________个． 【答案】35 【分析】分类讨论元素的奇偶性，利用列举法结合分类加法计数原理运算求解. 【详解】因为集合中有5个奇数，5个偶数 若集合中的4个元素均为偶数，则有 ， 共5个； 同理可得：若集合中的4个元素均为奇数，则有共5个； 若集合中的4个元素有2个奇数、2个偶数，则有 ， 共9个； 若集合中的4个元素有1个奇数、3个偶数，则有 ， 共8个； 同理可知：若集合中的4个元素有3个奇数、1个偶数，则有8个； 综上所述：共有个. 故答案为：35. 【变式3-3】（24-25高三·上海·课堂例题）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 【答案】21种 【分析】由树状图直接表示. 【详解】解法1：由树形图可得，蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房先进入0号蜂房有13种爬法；蜜蜂先进入1号蜂房共有8种爬法． 所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房，共有种不同的爬法． 说明：图1所表示的图形叫树形图．用这种方式解决排列组合问题较为直观形象． 解法2：依题意，蜜蜂爬到0号蜂房有1种爬法；爬到1号蜂房有2种爬法； 爬到2号蜂房有种爬法（在爬到0号或1号蜂房后再爬到2号蜂房）； 同理，爬到3号蜂房有种爬法； 爬到4号蜂房有种爬法； 爬到5号蜂房有种爬法； 爬到6号蜂房有种爬法． 所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房共有21种不同的爬法． 一、填空题 1．（24-25高三·上海·课堂例题）已知，，，，将、、、两两连线，可得到__________条直线． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算即得. 【详解】点与中任意一点连线，可得3条直线， 点确定1条直线， 所以可得直线条数是4. 故答案为：4 2．（24-25高二上·上海·假期作业）用，，，，，这个数字： （1）可以组成______________个数字不重复的三位数； （2）可以组成______________个数字允许重复的三位数． 【答案】 100； 180. 【分析】（1）利用分步相乘计数原理分百位，十位，个位分类讨论. （2）利用分步相乘计数原理分百位，十位，个位分类讨论. 【详解】（1） （2） 故答案为：100；180. 3．（24-25高三·上海·随堂练习）三角形的三条边长均为整数，且最大边长为12，则这样的不同三角形共有_______个． 【答案】42 【分析】由分类加法计数原理可得答案. 【详解】设另外两条边分别为x，y，， 则第一类： 则第二类：，； 第三类：，，11，12； 第四类：，，10，11,12； 第五类：，，9，10，11,12； 第六类：，，8，9，10，11,12； 第七类：，，8，9，10，11,12； 第八类：，，9，10，11,12； 第九类：，，10，11,12； 第十类：，，11,12； 第十一类：，,12， 第十二类： 所以共个． 故答案为：42. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）已知，，则可表示不同的值的个数是__________． 【答案】11 【分析】由分步计数原理求值的个数，再运算比较不同的值即可得. 【详解】根据题意，，有3种选法；，有4种选法. 由分步计数原理知，求的值有种方法，但所得值可能相同. 列出如下求值表格： y x 4 5 6 7 1 4 5 6 7 2 8 10 12 14 3 12 15 18 21 其中取值相同，故可表示不同的值有个. 故答案为：11. 5．（24-25高三·上海·课堂例题）某学生有语文书5本、数学书4本、英语书3本，现各选1本送给同学，有__________种不同的送法． 【答案】60 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】从语文、数学、英语书中各选1本送给同学分3步： 第一步选语文书，有5种选法；第二步选数学书，有4 种选法；第三步选英语书，有3种选法， 由分步乘法计数原理可得，有种. 故答案为：60. 6．（24-25高二上·上海奉贤·月考）正整数1224有________个不同的正约数. 【答案】 【分析】将分解成若干个素数的积，再利用分步乘法计数原理即可得解. 【详解】因为， 所以正整数1224的正约数个数为. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·单元测试）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同投法有________种． 【答案】64 【分析】根据分步乘法原理计算即可. 【详解】每封信都有4种不同的投法，依据分步乘法原理，因此共有种不同的结果． 故答案为：64． 8．（24-25高三·上海·课堂例题）从上海开往南京的普通快车沿途停靠苏州、无锡、常州、镇江、南京站，则火车上3名乘客最多有__________种不同的下车方法． 【答案】125 【分析】由分步计数原理可得. 【详解】要得到一种下车方法，可分三步，分别确定每位乘客的下车方法，每位乘客最多有5种不同的下车方法. 故由分步乘法计数原理可得，3名乘客最多有种不同的下车方法. 故答案为：125. 9．设实数和均是集合中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为_____________. 【答案】 【分析】用分步乘法计数原理先列出a的情况，再列出b的情况，再相乘即可，注意考虑表示同一直线的情况. 【详解】第一步，给a赋值有4种选择， 第二步，给b赋值有3种选择，由分步乘法计数原理可得：(种). 其中没有表示同一直线的情况， 所以形成不同的直线的条数为. 故答案为： 10．（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有____个. 【答案】120 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】要得到一个这样的数，可以分为3个步骤： 第一步，从1、2、3、4、5、6中任选一个放在首位，有6种方法； 第二步，从余下5个数中任选一个放在万位，有5种方法； 第三步，从余下4个数中任选一个放在千位，有4种方法； 而其余数字定序，从小到大依次排在个、十、百位. 故由分步乘法计数原理可得，这样的六位数共有个. 故答案为：120. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有______种摆法． 【答案】260 【分析】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品，第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品，每一类中运用分步计数原理可求每一类的方法数，进而可求总的方法数. 【详解】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2，3区域有4种摆法， 第三步，第4区域有4种摆法，共计有种摆法； 第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2区域，有4种摆法， 第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法， 共计有5×4×3×3=180种摆法． 故共有80+180=260种摆法． 故答案为：260. 12．（2025高三·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【答案】420 【分析】应用千位数字分奇数和偶数两类，再分别应用分步乘法原理，最后应用加法原理计算即可. 【详解】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法． ②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法． 所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数． 故答案为：420. 二、单选题 13．（24-25高三·上海·课堂例题）若、，则的不同值个数是（    ） A．2个 B．6个 C．9个 D．8个． 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】求的值需要两步，取值有3种方法，再取值有3种方法， 由分步乘法计数原理得，而的每个取值与的每个取值的乘积都不相等， 所以的不同值个数是9. 故选：C 14． 2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 【答案】C 【分析】根据分步乘法原理求解即可． 【详解】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成， 根据分步乘法原理，不同的选法共有种. 故选：C． 15．对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ）种． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据条件通过列举法可得答案. 【详解】因为函数的定义域，值域为， 所以要满足“增函数”的定义，一定是； 元素2,3,4的取值情况有如下几种：①三个元素均与7对应，即，符合题意； ②三个元素中有2个元素与7对应，则有或，两种情况； ③三个元素中仅有一个元素与7对应，则有或或，三种情况； 综上可得共有6种情况. 故选：C. 16．对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ） 种． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由题意，，再根据列举法求解即可. 【详解】因为函数的定义域，值域为， 所以要满足“增函数”的定义，一定是，； 元素的取值情况有如下几种： ①三个元素均与7对应，即，符合题意； ②三个元素中有2个元素与7对应，则有，或，，两种情况； ③三个元素中仅有一个元素与7对应，则有，或，，或，，三种情况； 综上可得共有6种情况. 故选：B 三、解答题 17．（24-25高三·上海·课堂例题）360的不同正约数共有多少个？ 【答案】24 【分析】对360分解质因数，转化360的正约数的形式，结合参数的不同取值及分步乘法计数原理即可得解. 【详解】由题意，. 则可设360的正约数，正约数的个数即的不同取法数. 因为可取共种取法；可取共种取法；可取共种取法； 由分步计数原理可得，共有种不同的取法. 故有个不同的正约数. 18．（24-25高三·上海·随堂练习）如题图所示，从A处到D处共有多少种不同的走法？    【答案】10 【详解】走A—B—D路线时，由乘法原理，共有种不同的走法， 走A—C—D路线时，由乘法原理，共有种不同的走法， 直接A—D路线时，有两种不同的走法， 所以，由加法原理，共种不同的走法． 所以从A处到D处共有种不同的走法 19．（24-25高三·上海·随堂练习）求证：展开式的项数是（m，n，k均为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】利用分类加法、分步乘法计数原理可得答案. 【详解】展开式每一项由一个，一个，一个组成， 选的方法有m种，选的方法有n种， 选的方法有k种，故共有种不同选项的方法， 故项数为． 20．（24-25高三·上海·课堂例题）已知是次多项式，是次多项式，，且，那么展开后至多有多少项？整理合并同类项后至多有多少项？ 【答案】， 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】由，且，是次多项式，则多项式中至多项. 是次多项式，则多项式中至多项. 要得到展开式中的一项，即两多项式各取一项相乘，可分2个步骤： 第一步，从多项式中任选一项，至多有种选法； 第二步，从多项式中任选一项，至多有种选法； 由分步乘法原理得，展开后至多有项. 又多项式中最高次为，故整理合并同类项后至多有项. 展开后至多有项，整理合并同类项后至多有项. 21．（24-25高二上·上海·假期作业）关于正整数2160，求： (1)它有多少个不同的正因数？ (2)它的所有正因数的和是多少？ 【答案】(1)40个； (2)7440． 【分析】（1）对2160分解因数，转化2160的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解. （2）我们要求正整数2160正因数的和，我们可以根据式子的展开式就是40个正因数．展开求和，即可得到答案． 【详解】（1）由题意，， 则2160的正因数， 因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3； 所以2160有个不同的正因数. （2）式子的展开式就是40个正因数之和． 所以，正因数之和为. 即2160所有正因数的和是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $