解答题专练(6)数列(三)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

子鱼跃龙门卷 2025一2026学年度高考试题逐题突破——解答题专练（六） 数学·数列（三） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)已知等比数列{am}的首项a1=2015,数列{am}的前n项和记为Sm. a若S,=65,求等比数列a}的公比g: (2)数列{am}的前n项积记为Tn,在(1)的条件下判断Tm与|Tn+1的大小，并求n为何值 时，Tm取得最大值. 2.(15分)已知递增数列{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列，且a1=3b1,a4=2b2,a7=b3, a1+b2=6. (1)求{an}和{bn}的通项公式； _na,证明c1c2…c.≤n+ (2)若cn=1nba 1 数学·解答题专练（六）第1页（共2页） 3.(15分)记数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,am+1=Sm十n. (1)写出a2,a3,a4的值，并求{an}的通项公式； 1 (2)正项等差数列{6，}的前n项和为T。,且T,=9,并满足a1十b1a2十b2,a十2b,成等比 数列. (i)求数列{bm}的通项公式； (1设，十+…试确定，与的大小关系，并给让明 4(15分)已知数列1a清足：e1=-91十a1十a十…十a,一Xa1=0(其中X≠0且入≠-1， n∈N*),Sm为数列{an}的前n项和. (1)若a=a1·a3,求入的值； (2)求{an}的通项公式； (3)当入=时，数列{@，}中是否存在三项构成等差数列？若存在，请求出此三项：若不存在， 请说明理由. 数学·解答题专练（六）第2页（共2页）·数学· 令6.-6a,+3(-1D-2-(-1)1 X2 3 则b1+ba=2n1+1十2-1=2n1+2a1- 2 3 2a-1=41 不等式左边的前2n项和T<+是十…十 ×(1-) <1 1- 又b>0,所以T.<T+1<…<Tm-1<Tn<1,所以原不等 式得证 数学解答题专练（六） 1.解：(1)由等比数列通项公式及题意可得S,=a1十a1q十 a1g2=2015(1+g+g)=6045, 4 化简可得g2+g十4=0，解得g=一2· (2)由(1)及题意可知T.=a1·(a1q)·(a1q2)…(a1q"-1) aiql+3+m+(-D-aiq -2015(-2) m-1 (n-1 所以1T.1=2015·(分) 2015()0 2015 2015"（2) |Tm+1 所以当1区n≤10时，>1，T+>T., IT+ 当n≥11时，T.T <1,|T+1<|Tm, 所以当n=11时，Tm|最大. 又因为Tg>0,T1o<0,T11<0,T12>0, >1,所以T>T,所以当n=12时，T,最大. T。 2.(1)解：设等差数列{am}的公差为d,等比数列{b.}的公比 为q, a1=3b1, 由题意可得 侣十：数两式化商后 a1+b1q=6, 3a1=b1, 有 1 3 2a1+2d=b19, 由上述式子可得了1a,+6d)=(分0+号d), 化简得(a1十9d)(a1-3d)=0,则a1=-9d或a1=3d, 若a1=-9d,可得b1=b2=bg=-3d,数列{bn}为常数列，故 舍去； 若a1=3d,代入得g=3,又由a1+b1g=6,解得d=1,a1=3, b1=1, 则数列{an)的通项公式为an=n十2，数列{bn}的通项公式为 bm=3-1 (2)证明：由题可得c,一nb。 In dslolog() ·19 参考答案及解析 由于n∈N时，3”-(3-1+2)=2(3"-1-1)≥0， 则3"≥3”-1+2（当且仅当n=1时取等号）， 所以c.=og1(g*1+2)≤og3=n开7 5号×号×…X（组仅当=1时 1 则c1c:…c≤2X3 取等号). 1 所以c1c2…cm≤n+1 解：(1)a2=3,a3=7,a4=15, 由am+1=Sn十n,得an=S.a-1十(n-1)(n≥2)， 所以am+1=2an十1(n≥2)， am+1+1=2(am+1)(n≥2)， 所以当n≥2时，{am十1}是首项为a2+1=4,公比为2的等比 数列，即an十1=4·2-2=2”， 所以am=2”一1. 故{a,的通项公式为a.=2”-1,m≥2. 2,n=1, (2)(1)因为{bn}为等差数列，且T=9,所以b2=3, 设{bm}的公差为d,则b1=3一d,b3=3十d, 因为a1=2,a2=3,a3=7,所以a1+b1=5-d,a2+b2=6, 因为a+b1a:十6：a十2b,成等比数列， 所以(5-d)(17+d)=72,解得d=1或d=一13（不合题意， 舍去)，所以bm=n十1. (1)因为 1 =0k+1)<k+1)2-=(6+2)= 1/11 2（一k+2, 1 n+2 +市中-)是 解：1)因为2，=-号，1十a1+a:+…+a,-a1=0, 所以1+a1-02=0,即1-号-a:=0, 即a2一7x 同理可求ag 入+1 712 因为a=aa所以证=(-)·法解得- 6 (2)由题意可知1十a1十a2十…十an一an+1=0①， 1+a1十a2十…十an十am+1-an+2=0②， 由②-①得(1十入)an+1一入an+2=0, 又A≠0，λ≠一1，n∈N*, 入+1 所以am+2=入a+1” 故数列{an}从第二项开始为等比数列，又a2=7元' 所以≥2时a,员（）， (6 所以数列{an}的通项为an= 7n=1, 1/1+入)-2 7λλ ,n≥2. 高考试题逐题突破 6 (3)因为入= 7n=1, 3,所以a, 3·4m-2 7,n≥2， 假设存在任意三项am,at,a。成等差数列. ①不妨设m>k>p≥2， 当n≥2时，数列{an}单调递增， 所以2a=am十ap, 所以2号·华=号·+ 3 3 7 ·4-2, 整理得2X4-p=4m一p十1， 由上式知，左边=偶数卡右边=奇数，所以当n≥2时，数列 {am}不存在三项成等差数列. ②假设存在成等差数列的三项中包含a1,不妨设m=1,k> p≥2且a>ap, 因为当n≥2时，am>a1,所以2ap=a1十a&, 所以2号4=一号+号 整理得2·40-2=一2十40-8，所以220-3=22-4-2. 因为>p≥2，当且仅当=3，p=2时成立， 故数列{an}存在a1,a2,a3或a3,a2,a1成等差数列。 数学解答题专练（七） 1.(1)证明：在平面ABD内过O作Oy⊥AB,而SO⊥平面 ABD,以O为原点，直线OA,Oy,OS分别为x,y,z轴建立空 间直角坐标系，如图， 则A(号，，0，c(0小 B(-号0.0，s00,3,5=(0 -3）,设CD=(a,b,0), 设平面SCD的法向量为n1=(x1,y1, 21）, n1·CD=ax1+by1=0, 则 m,·st=5 x1-3x1=0, 令x1=12b,得n1=（12b, -12a,5b), 而平面SAB的一个法向量为n=(0,1,0),又平面SAB⊥平 面SCD,则n·n1=-12a=0,解得a=0, 于是CD=(0,b,0),而AB=(-5,0,0),则CD·AB=0,所 以CD⊥AB. (2解：设点P,0).显然+2=空∈[-号，]， O5=(0,0,3),OP-(t,5,0), 设平面SOP的法向量为n2=（x2,y2,z2）, 则m:·0=3z=0, n2·OP=tx2十sy2=0, 令x2=s,得n2=(s,-t,0), 由(1)知，平面SCD的一个法向量为n1=(12,0,5), 设平面SCD与平面SOP所成的角为0， 12s 于是cos0=os(mn:=nn3:主家习 24e[o: 65 所以平面SCD与平面SOP所成角的余弦值的取值范围为 [ 2.(1)证明：以A为原点，直线AB,AC,AA1分别为x,y,之轴建 立如图所示的空间直角坐标系， A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(1,0,2),C1(0,1,2), A1(0,0,2),M(1,1,0),N(1,0,0), ·20 所以BB1=(-1,0,2),AM=(1,1,0),AC=(0,1,2), 设平面C1MA的一个法向量为n= (x,y,之)， 则n·A=x+y=0, B n·AC1=y+2x=0, 令之=1，得x=2,y=-2,新以n= (2,-2,1), 因为BB:·n=O,所以BB1⊥n, 又因为BB,丈平面C1MA,所以B,B平面C1MA. (2)解：AC1=(0,1,2),C1M=(1,0,-2),NM=(0,1,0), 设平面C1MN的一个法向量为m=(a,b,c), 则m·成-6=0， m·C1M-a-2c=0, 令c=1,得m=(2,0,1),设直线AC1与平面C1MN所成角为 0, AC,·m 2 sin 0=Icos (AC1,m)I= ACm5' 所以直线AC,与平面C,MN所成角的正弦值为。 (3)AA1=(0,0,2),平面C1MA的法向量为n=(2,-2,1), 设点A到平面C,MA的距离为d,则d=AA:·n=2 n 3 又AM=√2，AC1=5,C1M=√5， 所以5=××√5-()=多，所以 1 V三装5，M子SAca·d=37 (1)证明：连接AC交BE于O,连接 OF,EC,如图， 因为AE∥BC,AE=BC,所以四边形 ABCE为平行四边形， 则O为AC中点，又因为F为PC中 点，则FO为△APC的中位线， 则FO∥AP.又因为AP￠平面EFB,FOC平面EFB, 所以AP平面EFB. (2)解：由题意知，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD,DC⊥ DA,BC=CD=1, AD=2,E为AD的中点，则DE=BC=CD=1, 综上，四边形BCDE为正方形，故BE⊥AE: 又四边形ABCE是平行四边形，则AB∥EC, 所以∠PCE=45°， 因为PA=PD,E为AD中点，所以PE⊥AD,又PE⊥CD, AD∩CD=D, ADC平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD, 所以PE⊥CE,则PE=EC=√2， 以E为原点，以EA所在直线为x轴，EB所在直线为y轴， EP所在直线为之轴，建立空间直角坐标系，如图， 则B(0,1,0),C(一1,1,0)，E(0,0,0), p0o2.r(-9）, 故EB=(0,1,0),EF (2》 设平面BEF的法向量为n=(x,y,之)， |EB·n=y=0, 则g帝·n=一2x十23y+V2 1 2=0, 令x=1,则n=(W2,0,1), 又平面BEC的一个法向量为m=(0,0,1),