解答题专练(15)导数的应用(三)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

」鱼欧龙力卷 2025一2026学年度高考试题还题突破—解答题专练（十五） 数学·导数的应用（三） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)已知函数f(z)三2a.x2-(2a+1Dx+2nx(Q>0少 (1)求f(x)的单调区间； (2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)<g(x2),求实数 a的取值范围. 2.(15分)已知函数f(x)=1-a(2z-1)-b,其中a,b是实数. (1)若a=0,求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)不具有单调性，求实数a的取值范围； (3)若f(x)≤0恒成立，求a+b的最小值. 数学·解答题专练（十五）第1页（共2页） 3.(15分)设函数f(x)=asin2x十(a-1)(sinx十cosx),其中a∈R (1)当a=0时，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)记函数y=f(x)川在[-，0]上的最大值为M. (i)求M关于a的表达式； (I)证明：当a≥1时，f'(x)川≤3M在[-，0上恒成立. 4,(15分)已知函数f(x)=1士ln工，其中c为自然对数的底数. ax (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2. (i)求a的取值范围； (ii)证明：x+x2>2. 数学·解答题专练（十五）第2页（共2页）高考试题逐题突破 1 1--2lnx (2)知f'(x)=z-1)一， 令h(x)=1- 1 -2ln 则=是 -xx2 当x∈(0，）时k'(x)>0, 当xe(号)时k'x)0, 所以(x)在(0，)上单调递增，在（分，1）上单调递诚， 则(x)=h(）=2n2-1>0, 又n(）-1-4-2h是-4h2-3<0,a①)-0， 则h(x)在(0,1)上有且仅有一个零点，设该零点为xo, 则当x∈(0，xo)时，h(x)<0,即f'(x)>0, 当x∈(xo,1)时，h(x)>0,即f(x)<0, 则f(x)在(0，xo)上单调递增，在(xo,1)上单调递减， 则x。为f(x)的极大值点， 故函数f(x)在(0,1)上有一个极值点 4.(1)解：当a=0时，f(x)=1nx-x,且f(x)=1-1= x 1-x 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，十∞)时，f'(x)<0,f(x)在(1，十∞)上单调递减， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1， +∞). (2)证明：因为a=l,所以f(x)=e1十lnx-2x,且f'(x)= e1+1-2, x 要证函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，即证f(x)≥0在(0， 十∞)上恒成立， 设gx)=e1+1-2,x>0,则g(x)=e1-1 x t2, 1 因为y=e-1,y=一 在(0，十∞)上均单调递增， 故g'(x)在(0，十∞)上单调递增，且g'(1)=0, 则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， g(x)≥g(1)=0,即f'(x)≥0，因此函数f(x)在(0，十∞)上 单调递增. (3)解：由f'(x)=ae-1+1 -a-1,有f'(1)=0, 令)-ae1+2-a-1,有k)=ae1】 20 @当a≤0时，h'(x)=ae-1-1<0在(0，十o)上恒成立， 因此f'(x)在(0，+∞)上单调递减， 又f'(1)=0,故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减 区间为(1，十∞)， 此时x=1是函数f(x)的极大值点； 0时，y=ae1与y=二立在(0，+o∞)] 增，故h'(x)在(0，十∞)上单调递增， 又h'(1)=a一1，若h'(1)<0,即0<a<1,此时存在n∈(1， +∞)，使h'(n)=0, 因此f'(x)在(0，n)上单调递减，在(n,+∞)上单调递增，又 知f'(1)=0, 则f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，n)上单调递减，此时x=1 为函数f(x)的极大值点， ·32 若h'(1)>0,即a>1,此时存在m∈(0,1)，使h'(m)=0, 因此f'(x)在(0，m)上单调递减.在(m,十∞)上单调递增，又 知f'(1)=0, 则f(x)在(m,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 此时x=1为函数f(x)的极小值点，不符合题意. 当a=1时，由(2)可知f(x)单调递增，因此x=1非极大值 点，不符合题意，综上所述，实数a的取值范围为(-∞，1). 数学解答题专练（十五） 解：1)由f(x)=zax2-(2a+1Dx+2hx, 得(x)=ax-(2a+1)+2=ax2-(2a+1)x+2_ x (ax-1)(x-2) x 又a>0,所以令f'(x)=0,解得x1=,x2=2, 当0<a<2,即2>2时， 当x∈(0,2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增x∈(2，。）时，当 了()<0，f✉)单调递减：当x∈（日+）时，fx)>0, f(x)单调递增. 当a-号即日-2时，f'()≥0恒成立，f()在0，十∞)上 a 单调递增。 当a>分，即0<日<2时， a 当x∈(0，)时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈（日2） 时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(2，十∞)时，f(x)>0, f(x)单调递增. 综上所述，当0<a<号时，f(x)的单润递增区间为(0,2)和 (合十一)，单润递废区间为(2，)： 当a-号时，f(x)的单调递增区间为(0，十6∞)，无单调递减 区间： 当a> 2时，fx)的单调递增区问为(0，)和(2，+o∞)，单 调递减区间为（日2）. (2)由已知对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得 f(x1)<g(x2),即可转化为f(x)mx<g(x)mx, 又g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈(0,2]， 当x=2时g(x)取得最大值，为0， 由(1)得，当0<a≤2时，f(x)在(0,2]上单调递增， 即当x=2时，f(x)取得最大值，为f(2)=2a-(2a十1)×2十 21n2=-2a-2+2ln2, 所以-2a-2+2n2<0,解得a>lh2-1,即0<a≤2； 当a>号时，x)在(0，)上单调递增，在（日2）上单调 递减， 1 即当=时，f)取得最大值，为f(日)=去-(2a十1)： 设a)-六-2-aa>则a)-京- ·数学· <0，故(a)在（分，十∞）上单调递减， 2a2 所以e)=六-2-2ha<✉（分）=-1-2-2h号 1 -3+21n2<0, 即f(x)max<0,成立，综上所述，a>0. 2.解：1)当a=0时，f(x)=-6,则f'(x)=2 e 令f'(x)>0,解得x<2,令f'(x)<0,解得x>2, 所以f(x)在（一∞，2）上单调递增，在(2，十∞)上单调递减 (2)因为函数f(x)的图象是连续的，且不具有单调性， 所以f'(x)=2一-2a在定义域内有正有负（有异号零点）， 记g(x)=f'(x)=22-2a,则g'(x)=-3, e er 在x∈(-∞，3)上，g'(x)<0,在x∈(3，十∞)上，g'(x)>0, 则f'(x)在（一∞，3）上单调递减，在(3，十∞)上单调递增， 若f(x)不具有单调性， 只需f'(x=fr(8=-吉-2a<0,即e>2忌 1 (3)由题知，≤a(2x-1)十6对任意工都成立，当x=1 e 时，b十a≥0， 下证：6=一a能成立，即证：存在a,使得。≤a(2x一2)恒 成立， 记F(x)=x- -a(2x一2)，且F(1)=0,故F'(1)=0, 面F)=2。-a则 1 -2a=0,解得a=2e' 只若证：)-。1-之（2z-2)S0i成立 F'(x)=2-x1 。，由(2)知，其在(-∞，3)上单调递减，(3， 十∞)上单调递增， 所以F'(x)在（一∞，1）上为正，在(1,3)上为负，在(3，+∞)上 为负， 即F(x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， F(x)≤F(1)=0,得证. 综上，b十a的最小值为0. 3.(1)解：当a=0时，f(x)=-(sinx+cosx)=-√2sinx+ ),所以f(x)的最小正周期T=2元 令2x+2<x+至<2kx+经，k∈Z,可得2x+年<r< 2x+k∈Z, 所以fx)的单调递增区间为(2kx+子，2km+买），k∈乙 (2)(i)解：令t=sinx+cosx=巨sin(x+于)，则x∈ [-至0可得-1,1 所以f(x)=a(t2-1)+(a-1)t=at+(a-1)t-a. 令g(t)=at2+(a-1)t-a,t∈[-1，l], 当a=0时，g(t)=-t∈[-1,1]，故M=1=1-a. 当a≠0时，4=(a-1)2+4a2>0,对称轴t时=2， 2a,g(1) a-1,g(-1)=1-a. ①当a<-1时t∈(-1,2）g-1>0g0, ·33 参考答案及解析 所以M= s(器川-a(2）=5去a三， Aa ②当-1≤a<0时，t对≤-1，故g(t)在[-1,1]上单调递减， 所以M=|1-a|=1-a; ®当0<a<行时，g≥1，故g0在[-1，门上单调递减。 所以M=|1-a=1-a; @当。>号时n∈(-日)故g0在(-1,22）上单润 递减，在(。2，)小上单调递增， 所以M= ga川=-(2）=aa+出 Aa -5a2+2a-1,a<-1, 综上，M=1-a,-1≤a≤3： 1 5a2-2a+1、1 Aa 2,a>3 (1)证明：f'(x)=2acos2x+(a-1)(cosx-sinx), 所以|f'(x)l=|2acos2x+(a-1)(cosx-sinx)|≤2a+ √2|a-1, 当a≥1时，2a+√2|a-1=(2十√2)a-√2， 3w-15+8-号+号+品号≥号+。， 4a 2 号+。32+原a-, 所以|f'(x)川≤3M. (1解：由悬意得f)-中三E0,十0.则了x) 二，由f'(x)=0,解得x=1, 当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x>1时，f'(x)<0, f(x)单调递减， 综上，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，十∞)上单调 递减. （2(1)解：由1+1nx=1,得1+1nx=a, ax x 设g(x)=1+n二，由(1)得g(x)在区间(0,1D上单调递增，在 区间(1，十∞)上单调递减， 又g(日）=0，g1)=1,当x>1时，gx)>0,且当x→+∞ 时，g(x)→0， 所以当0<4<1时，方程+l血工=4有两个不同的根，即方程 x 1十lnx=1有两个不同的根， ax 故a的取值范围是(0,1). （)证明：不妨设x<,则0<x,<1<2,且血+1- In z2+1 法一： 当x2∈[2，十∞)时，结合(1)知x号+x>x≥4>2，即x+ x2>2; 当x2∈(1,2)时，2-x2∈(0,1). 设p(x)=g(x)-g(2-x)=血x+1_血(2-z)-1 x 2-x 一2-x1 0<x<1, 则p(x)=-lh产-ln(2-z) 2)≥一n2-n2—x2 高考试题逐题突破 n[-(e-1)+1>0, x 所以力(x)在区间(0,1)上单调递增， 则p(x)<p(1)=0,即g(x)<g(2-x), 所以g(2一x1)>g(x1)=g(x2), 又x1∈(0,1)，2-x1>1,x2>1,g(x)在区间(1，+o∞)上单调 递减， 所以2-x1<x2,即x1十x2>2, 又x1≠x2,所以x员十x经>2x1x2, 故2x+2x>x十x号十2x1x2=(x1十x2)2>4,所以x+x>2, 得证 法二： x -In x 则h'(x)= +lnx=lnx x2-1、 x2≥0， 所以h(x)在区间(0，十∞)上单调递增， 又A1)=0,所以hx,)=g,)g(）<0, 即g,)g(） 又8c,)=g红，所以g,8(, 又x>1, 1>1,g(x)在区间(1，+∞)上单调递减. 所以x,>1,即1x>1, 1 又x1≠x2,所以x十x>2x1x2>2,得证 数学解答题专练（十六） 1.解：(1)中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意 购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人， 愿意购买燃油车的中老年人数为50人， 青年共有250人， 愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍， 所以青年中愿意购买新能源车的人数为200人，愿意购买燃油 车的人数为50人， 得到如下2×2列联表： 购车意向 年龄段 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 零假设H。:消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄 无关， X2=400×(200×50-100X50) 250×150×300×100 ≈8.889>6.635=x0.01 根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄有关. (2)愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比 例为2：1， 所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老 年人， 记抽取的4人中，青年的人数为X,则X的可能取值为1,2,3， 4, P(X=1)=CC C 2i,P(X=2)=CC、5 C14 P(X=3)-C3C=1 C=21,P(X=4)= C 5 C42 ·34 所以X的分布列如下： 3 P 5 10 21 14 21 42 ,10 EX)=1X+2X+3X2+48 ，58 423 所以这4人中青年人数的期望为氵： 8 解：(1)易知P(AB)=P(A|B)P(B)= 1 2=1 又P(B)= 号所以PB=子 2 由全概率公式可得P(A)=P(B)·P(A|B)+P(B)· PAB)=号+PA1B)=号解得PAB)=号 (2)由题意知女生抽取24人，其中不低于170cm的4人；男生 抽取12人，其中不低于170cm的有8人， 完成列联表如下： 身高 性别 合计 低于170cm 不低于170cm 文 四 24 多 4 8 12 合计 24 12 36 零假设为H。:学生的性别与身高是否不低于1？0cm无关， 根据列联表中的数据，经计算得到X2= 36×(20×8-4×4)2 24×12×12×24 9>7.879=x0.005, 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为学生的性别与身高是否不低于170cm有关，此推断犯 错误的概率不大于0.005. 解：(1)选择模型①，理由如下： 根据残差图可以看出，模型①的残差点分布在x轴附近，模型 ②的残差点距离x轴较远， 所以模型②的残差明显比模型①大，所以模型①的拟合效果 相对较好. (2)由(1)可知y关于x的经验回归方程为y=x2+a, 令x=x2,则y=bz十a, 1 由所给的数据可得z=8(1+4+9+16+25+36+49+64)- 25.5, y=。(4+8+16+31+51+71+97+122)=50, 2(z:-之)(y:-y)6868 = 2(2:一z)2 3570≈1.92， 1= 则a=y-bz≈50-1.92×25.5=1.04， 所以y关于x的经验回归方程为y=1.92x2十1.04. (3)将x=9代入经验回归方程，可得y=1.92×92+1.04= 156.56≈157(L), 所以预测该气体第9天的生成量约为157L. 解：(1)已知y=cd,两边取常用对数可得lgy=lg(cd)= 1g c+xlg d, 设之=lgy,a=lgc,b=lgd,则回归方程变为交=a+bx. 先计算，2xi=1+2+32+4+5+6+7=1+4+9+ 16+25+36+49=140, 2=1+2+3+4+5+6+?=4 7