解答题专练(4)数列(一)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

」鱼欧龙门卷 2025一2026学年度高考试题逐题突破—解答题专练（四） 数学·数列（一） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)记数列{an}的前n项和为Sm,Sm=1一am· (1)求证a.=(号)”； (2)记Tm=S+S+…十S%,求Tm 2.《(15分)尼知数列.满足a,=01e,=201-1,令6，=a,-1 1求证：数列为等老数列： (2)设cn-a中，求证：数列{c的前n项和T.<n+3 an 数学·解答题专练（四）第1页（共2页） 3.(15分)已知数列{am}的前n项和为Sn,a1=1,满足2Sm=nam+1· (1)求数列{am}的通项公式； (2)若bn=3”·am,求数列{bn}的前n项和Tm 4.15分)已知数列1a,满足受+学+2学 P3十·士夏”=n(n∈N),数列{bm》满足b一、 am十250： (1)求数列{am}的通项公式； (2)求b1+b2+…+bg9 数学·解答题专练（四）第2页（共2页）·数学· AC AD 由正弦定理得sn∠ADC一sin/ACD1 即、AC sin105=sin30,所以AC=22sin105°， √2 因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45 ×号+×-6 4 所以AC=22×6+E-5+1, 4 (2)因为BC⊥CD,∠ACD=30°，所以∠ACB=60°， 所以∠BAC=120°-B, 因为△ABC为锐角三角形，所以Q二∠BAC<90, 0°<B<90°， 即0120B<90°，解得30<B<90, 0°<B<90°， 在△ABC中，由正弦定理得BC AC Fsin∠BAC sin B' 则BC=ACsin∠BAC_W3+1)sin(120°-B sin B sin B _(W3+1)(sin120°cosB-cos120°sinB) sin B 5+(停B+日血 sin B (品+. 所以SAm=号AC·BCsn∠ACB=号X(5+1)X 8(g+am-少×号(+) 4 2+(a+ 4 因为30<B<90,所以tanB>tan30°= 3 断以0CB<i,所以1长B+1<, 所以2+32+（盟+<2g+3. 4 即25+3<S6A<25+3. 4 4.(1)解：由题意可知∠BPC=2 ,BC=2, BC 所以△PBC的外接圆的半径R2mBC一？=2喝 2 1 (2)证明：若0=石，则S=SaPa+SAFAC十SaPc= 2c· APsin 0+1 a·BPsin0+b,CPsin9-2sn0(a·BP+ c:AP+bCP)=子a~BP+c·AP+b.CP), 所以a·BP+c·AP+b·CP=4S, 在△ABP,△PBC,△PAC中， 分别由余弦定理得BP2=c2+AP2-2c·APcos0,CP2= a2+BP2-2a·BPcos0,AP2=b2+CP2-2b·CPcos0, 三式相加整理得2cos0(a·BP+c·AP+b·CP)=a2+b2+ c2,因为0=石，所以a2+62+c2=45s. (3)证明：由(2)得Sc=之血8a·BP+c·AP+b·CP, ·17 参考答案及解析 所以a·BP+c·AP+b·CP 2S△ABC sin 0' 由2cos0(a·BP+c·AP+b·CP)=a2+b2+c2, 所以a2+b2+c2=2cos0· 2SA4=2os0.6cs2 sin 0 sin 0 4bccos20, 又由余弦定理可得b2+c2=a2十2 bccos A=a2+2bc(cos20- sin20), 所以2a2+2bc(cos20-sin20)=4 bc cos20, 所以a2=bc(cos20+sin28),所以a2=bc, 由正弦定理可得sinA=sin Bsin C. 数学解答题专练（四） (1)证明：因为Sn=1一am, 当n≥2时，可得Sn-1=1-aw-1, 两式相减得a,=a-1一a,即2a,=a,1,所以a1= a-12 1 令n=1,可得S1=1-a1=a1,解得a1=2 所以数列{a,}构成首项为2，公比为。的等比数列， 所以a,的通项公式为。，=名·（号）=（分）门： (2)解：由1蜘a.-(2)广，可得s.-1-(）广八， 所以s-[1-(号]°=1-2·（号）”+(2）”=1 ()+()广， 1-(2) 则Tn=S+S号+…十S=(1十1+…十1) 1一2 -】-( 1- 证明：(1)由题意知aw=2- ,所以am-1=1- a元+1 am十1 a11,所以1= an+1 am-1a+1-1' 则1-1=1 1 1 an+1 61,6、a+11a,a1a,1=-1, 11 6a1-1=-2, 所以数列公}是首项为-2，公差为-1的等差复列 (2)由(1)可知， =-2+(n-1)(-1)=-n-1, 所以bn=一 十代人得a,=6.+1=1- 1 1 n+1 所以c= aa+1=n+2_(n十1)2 an n n(n+2) n+1 =1+十1+2（日中） 从而有T,=c1+c+…+c.=2+a+…+a=[1+ al a2 a元 -+[1+(合】++[1+号（日 】=a+(1+日-中)=+ 11 高考试题逐题突破 (+)m+ 3.解：(1)2Sn=am+1,当n≥2时，2Sa-1=(n-1)an, 两式作差得2am=nam+1一(n-1)a。, 即(n+1)a,=a+1,所以中=n+ an 所以a,×…X名×号×a,-, 当n=1时也成立，所以an=n. (2)由(1)得bn=n·3, 所以Sm=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)·3”-1+ n·3m①， 所以3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)·3"+n· 3m+1②， ①-@得一2Sn=3+32+33+34+…+3”-n·3+1= 3(1-3") 1-3 -8n=名+×g1:3: 所以5。=33+”3是-②”二3+ 2 4 4 4.解：(1)当n=1时，a1=2; 当≥2时号+2+会+…+经-n0. ++学++器 十2=n-1②， ①-②得2：=1， 所以am=2",当n=1时，a1=2,符合上式，即am=2". 1 (2)因为6.=2+20 1 1 1 2 所以6.+bm.=2+2十2w+22”+2十2m+20·2 1 2" 250+2m .1 20+20+02*+20)20=(2°+20)2020， 1 1 所以6+b,+b,++b。一2+20十2+2十…+20+2 ①， 1 1 bg+b8+bg,+…+6:+b,=20+20+20+20+…十 2+20 ②， 1 又因为6，十b10=20,所以①+@得2(6，十b,十6：十…+ ba)-2器所以6十6十…十bw-盟. 99 数学解答题专练（五）】 1.(1)解：由3a2+2a3=a4得3a2+2a2q=a2q2,则q2-2g 3=0,因为am>0,则q>0,q=3, 又S。=13a,十4，即11-3） 1-3 =13a1·9+4,则a1=1, 所以a,=3-1 (2)由题设及(1)得b1=1,且当3-1≤m<3”时，bm=n,即 b1=b2=1,b3=b4=…=bg=2,bg=b10=…=b26=3, b27=b28=…=b80=4,b81=b82=…=b100=5, 所以T100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384 2.解：(1)由S=an(Sm-1), 可得S分-(5。-5S,-10即发--1且号 -1,所以数列号}是等差数列，其首项为1，公差为1， 所以-1+a-D-,所以S.-子 n ·18 S.=1og,n+2, (2)由（①），可得b,=1og2S.2 n 所以.=1b89+be兰+ke:号++16e十 3 n n (n+1)(n+2) 2 由T.≥6可得1og,m+1),m+2》≥6， 2 即(n+1)(n+2)≥2，即n2+3n-126≥0. 令0)=+3x-126-(x+2)》°-51， 4 可得函数f(x)在[1，十∞)上单调递增， 又f(9)=-18<0,f(10)=4>0, 所以n≥10，故满足Tn≥6的最小正整数n是10. 解：1)由a,=1及：-a.1得e:=a,=1+ 1 an 因为数列a)是等差数列，所以受=2+士解得X=, 所以a2=2,所以公差d=1,所以an=1十(n-1)=n. (2②由a知6.-导-会 1,2,3 0 所以时+导++…++品@ ①-，得号不.=号+京+号+…+-= 1 1 1 号(1-) 12n+3 1 1一 3m=22:30, 所以工-号红是 由-T,-0<公相42g+》<1设d.-2g+》, 3 3 则d+1= n+1)(2n+5) 30+1 因为dn+1一dn= -4n2-2n十5<0，所以d+1<d,即数列 3+1 {dn}为递减数列. 又a,-g>1d,-5>1d=1, 所以当n≥4时，恒有d.<1,故kmn=4. 证明：(1)因为4S。-2an=2,所以4Sw-1-2am-1=2”-1(n≥2)， 两式相减得4(Sn一Sm-1)-2an十2aa-1=2-2"-1,即an十 aw-1=2-2(n≥2). a_1 26 206 因为 0-1_1 2"-6 2m-6 1 -2(n≥2). 当n=1时，4S1-2a1=2,即a1=1. 又因为号-日号0，所以会-君}是以号为首项，-日 为公比的等比数列。 ②)由1)得会-言=言×(-号)广，所以， -号x-0r+日×2，