解答题专练(16)概率与统计(一)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

高考试题逐题突破 n[-(e-1)+1>0, x 所以力(x)在区间(0,1)上单调递增， 则p(x)<p(1)=0,即g(x)<g(2-x), 所以g(2一x1)>g(x1)=g(x2), 又x1∈(0,1)，2-x1>1,x2>1,g(x)在区间(1，+o∞)上单调 递减， 所以2-x1<x2,即x1十x2>2, 又x1≠x2,所以x员十x经>2x1x2, 故2x+2x>x十x号十2x1x2=(x1十x2)2>4,所以x+x>2, 得证 法二： x -In x 则h'(x)= +lnx=lnx x2-1、 x2≥0， 所以h(x)在区间(0，十∞)上单调递增， 又A1)=0,所以hx,)=g,)g(）<0, 即g,)g(） 又8c,)=g红，所以g,8(, 又x>1, 1>1,g(x)在区间(1，+∞)上单调递减. 所以x,>1,即1x>1, 1 又x1≠x2,所以x十x>2x1x2>2,得证 数学解答题专练（十六） 1.解：(1)中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意 购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人， 愿意购买燃油车的中老年人数为50人， 青年共有250人， 愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍， 所以青年中愿意购买新能源车的人数为200人，愿意购买燃油 车的人数为50人， 得到如下2×2列联表： 购车意向 年龄段 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 零假设H。:消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄 无关， X2=400×(200×50-100X50) 250×150×300×100 ≈8.889>6.635=x0.01 根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄有关. (2)愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比 例为2：1， 所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老 年人， 记抽取的4人中，青年的人数为X,则X的可能取值为1,2,3， 4, P(X=1)=CC C 2i,P(X=2)=CC、5 C14 P(X=3)-C3C=1 C=21,P(X=4)= C 5 C42 ·34 所以X的分布列如下： 3 P 5 10 21 14 21 42 ,10 EX)=1X+2X+3X2+48 ，58 423 所以这4人中青年人数的期望为氵： 8 解：(1)易知P(AB)=P(A|B)P(B)= 1 2=1 又P(B)= 号所以PB=子 2 由全概率公式可得P(A)=P(B)·P(A|B)+P(B)· PAB)=号+PA1B)=号解得PAB)=号 (2)由题意知女生抽取24人，其中不低于170cm的4人；男生 抽取12人，其中不低于170cm的有8人， 完成列联表如下： 身高 性别 合计 低于170cm 不低于170cm 文 四 24 多 4 8 12 合计 24 12 36 零假设为H。:学生的性别与身高是否不低于1？0cm无关， 根据列联表中的数据，经计算得到X2= 36×(20×8-4×4)2 24×12×12×24 9>7.879=x0.005, 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为学生的性别与身高是否不低于170cm有关，此推断犯 错误的概率不大于0.005. 解：(1)选择模型①，理由如下： 根据残差图可以看出，模型①的残差点分布在x轴附近，模型 ②的残差点距离x轴较远， 所以模型②的残差明显比模型①大，所以模型①的拟合效果 相对较好. (2)由(1)可知y关于x的经验回归方程为y=x2+a, 令x=x2,则y=bz十a, 1 由所给的数据可得z=8(1+4+9+16+25+36+49+64)- 25.5, y=。(4+8+16+31+51+71+97+122)=50, 2(z:-之)(y:-y)6868 = 2(2:一z)2 3570≈1.92， 1= 则a=y-bz≈50-1.92×25.5=1.04， 所以y关于x的经验回归方程为y=1.92x2十1.04. (3)将x=9代入经验回归方程，可得y=1.92×92+1.04= 156.56≈157(L), 所以预测该气体第9天的生成量约为157L. 解：(1)已知y=cd,两边取常用对数可得lgy=lg(cd)= 1g c+xlg d, 设之=lgy,a=lgc,b=lgd,则回归方程变为交=a+bx. 先计算，2xi=1+2+32+4+5+6+7=1+4+9+ 16+25+36+49=140, 2=1+2+3+4+5+6+?=4 7 ·数学· 2:-7x 根据参考公式，方= =1 2x-1 ,将2x=50.95,≈ 1.57,x=140,z=4代入可得 6=50.95-7X4X1.57_6,9≈0.25. 140-7×42 28 a=-ix≈1.57-0.25X4=0.57. 则之=0.25x+0.57, 因为a=lgc,b=lgd,所以lgc≈0.57，则c≈10°.57，lgd≈ 0.25,则d≈100.25 所以y与x的回归方程为y=10.”·10.25x 即y=100.25x+0.57」 (2)全体学生身高的平均数X=30×171.5+20X161.5 30+20 8375=167.5. 50 根据方差公式 L[S+(区-X)]十n:[S+(风，-X)门（其中1，：为各 n1十n2 层人数，S,S为各层方差，X1,X2为各层平均数，X为总平 均数). 将n1=30,S=13.0,X1=171.5,n2=20,S2=27.0,X2= 161.5,X=167.5代入可得S2 30×[13.0+(171.5-167.5)] 30+20 20×[27.0+161.5-167.5]_2130=42.6, 30+20 50 则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6. 数学解答题专练（十七）】 1.解：(1)(1)由题意可知，两场比赛后结束，即甲或乙连续获得 两场胜利，有两种情况，P=0.6×0.6+0.4×0.6=0.6. (i)由题意可知，X=2,3,4, 所以P(X=2)=0.6×0.6+0.4×0.6=0.6, P(X=3)=0.6×0.4×0.4+0.4×0.4×0.4=0.16, P(X=4)=0.6×0.4×0.6+0.4×0.4×0.6=0.24, 所以三人总积分X的分布列为 X 2 3 4 P0.60.160.24 所以E(X)=0.6×2+0.16×3+0.24×4=2.64. (2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B为“第一局乙 对甲最终乙获胜”， C为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，其中A包含三种情况， 第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故P(A)=pg(1-p1)+p31(1-p2)p3+(1-p3)p2(1 卫1）p3· 同理可得P(B)=(1-p1)p3十(1-p1)(1-p3)p2(1-p:)+ p1(1-p2)p3(1-p1), P(C)=p2(1-p1)p3+(1-p2)p3(1-p1)=p3(1-p1). 显然P(B)-P(C)=(1-p1)(1-p3)p2(1-1)+p1(1 p2)p3(1-p1)>0, 故P(B)>P(C), P(A)-P(B)=[p3p1(1-p2)p3-p1(1-p2)ps(1-p1]+ [(1-p3)p2(1-p1)p3-(1-p)(1-p3)p2(1-p1)] =（p1+p3-1)p1(1-p2)p3+(p1+p3-1)(1-p3)p2(1- p1) =（p1+p3-1)[p1(1-p2)p3+(1-p3)p2(1-p1)], 由于p1+3<1,故P(A)-P(B)=(1+3-1)[p1(1 ·35 参考答案及解析 p2)p,+(1-p)p2(1-p1)]<0,所以P(B)>P(A),故乙的 最优指定策略是让乙和甲打第一局. 解：(1)设第1位顾客中“特等奖”为事件A,第2位顾客中“参 与奖”为事件B, P)-台x是-品pB-号x+xg- 3 故P(A|B)= P(AB)_105 P(B)3311' 50 所以在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等 奖”的概率为品 (2)由题意得n≠0，n个顾客参与后，后来的顾客不再有机会 中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前n一1位顾客中 有一位中“特等奖”， ()×号×()×++()×号x ×()×[1++(告)°++（告）] ，4 8×()-9×(), 故数列P.)的通项公式为卫.=子×(）广-号×()” (3)设第k个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大， 则概率P= 8×()广-9×()广=号[() ()门=-（告）门() 要使P最大，即使[1-（信）门(》最大， -()](》≥-（传门(）， -()](-(台)鬥](). -(》≥-(， 即 {《 （5 化简得 且k∈N, 又fx)=(号)月 在(0，十∞)上单调递减， k≥4：综上所述，k=4 所以k≤4， 解：(1)X的所有可能取值为0,1,2 P(X=0)= C -P(X=D-GC=3.P(X=2) C C3 Cg-10' 所以X的分布列为 0 P 3 10 10」鱼跃龙门卷 2025一2026学年度高考试题还题突破—解答题专练（十六） 数学·概率与统计（一） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2026年中国汽车总销售量将超过 3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关 性，某汽车APP采用问卷调查的形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年 人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源 车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 购车意向 年龄段 愿意购买新能源车 合计 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (1)完善2×2列联表，请根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油 车的购买意向与年龄是否有关； (2)采用分层随机抽样的方法从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽 取4人，求这4人中青年人数的期望， n(ad-bc)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d):n=a+b+c+d. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.63510.828 2.(15分)某学生兴趣小组在研究所在学校的学生性别与身高（身高分为低于170cm和不低于 170cm)的相关关系时，记事件A=“学生身高不低于170cm”,事件B=“学生为女生”.据该 校以往的统计结果显示，P(A)=3P(B)-号，P(A1B)= 61 (1)求P(AB),P(A|B); (2)若从该校的其中一个班随机抽取36名学生，依据该校以往的统计结果，完成下列列联表， 并依据小概率值α=0.005的独立性检验.分析学生的性别与身高是否不低于170cm 有关？ 身高 性别 合计 低于170cm 不低于170cm 女 男 合计 n(ad-bc)2 参考公式及数据：X= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d):n-a+b+c+d. a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 数学·解答题专练（十六）第1页（共2页） 3.(15分)下表是某工厂记录的一个反应器投料后，连续8天每天某种气体的生成量(L): 日期代码x12345678 生成的气体y(L)481631517197122 为了分析该气体生成量的变化趋势，工厂分别用两种模型：①y=bx2+a,②y=dx十c对变量 x和y的关系进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，残差图如下， 注：残差-5，经计算得2-)：-)=728，含x:-=2,含(： z)(y:-y)=6868,2(x,-2)2=3570,其中：=x,2 1》z 8i= (1)根据残差图，比较模型①，模型②的拟合效果，应 个残差 模型①--- 模型② 该选择哪个模型？并简要说明理由； 5 (2)根据(1)问选定的模型求出相应的经验回归方程 (系数均保留两位小数)； 天3---1 8 日期代码x -10 (3)若在第8天要根据(2)问求出的经验回归方程来 15 对该气体生成量做出预测，那么估计第9天该气体生成量是多少？（精确到个位）》 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为3 i=1 (x,-x)2 a=y-bx. 1 4.(15分)众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、 对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社. 以下是接下来7个星期（用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推）参加 活动的累计人数y(人)的统计数据. 1 2 3 4 5 6 7 y 6 14 20 37 74 108 203 (1)根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型y=cd,试建立y与x的回归方程（精 确到0.01)； (2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样 抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身 高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差. 参考数张y6,=1.57,.=2681,之，=5095，其中名=g-号2： 参考公式：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线)=a十乃u的斜率和截距 的最小二乘估计公式分别为户= 2u,0:一n -,a=U一Bu u,2-nu i=1 数学·解答题专练（十六）第2页（共2页）