解答题专练(3)解三角形(三)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

高考试题逐题突破 因为a<c,所以A<C,A∈(0，)， 所以4--m不--（）- 所以sin2A=2 sin AcosA=2X5×6_22 33-3 1 22 (3)因为SaAc=2 absin C=立X ab=4√2，所以 3 ab=12, 由余弦定理得2 abcos C=a2+b2-c2, 所以(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2ab(cosC+1)=2X 12x(号+1)-32， 又a+b=√3c,所以3c2-c2=32,则c=4, 所以a+b=√3c=45, 于是△ABC的周长L=a十b+c=4√3+4. 4.解：(1)因为tanC=3tanB, 所以sinS=3sinB,则sin Ccos B=3 sin Beos C. 因为a=2b,由正弦定理可得， sin A=2sin B=sin(B++C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 4 sin Bcos C,所以2sinB=4 sin Bcos C, 由B为三角形内角，故sinB≠0， 所以cosC=7又0<C<,故C= 3· (2)法一：由(1)知，sin Ccos B=3 sin Bcos C, sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=4sin Bcos C, 由正弦定理可得a=4 bcos C, 由a=6,且cosC=a+b2-c2_6+b2- 2ab -,代入a=4cosC可 2√6b 得后-4×c二+6，化简得c2-62-3,联立6十c-3, 2√6 解得c=2,b=1, 又由a=4 C-6可得cosC-5 4， 则sinC=V1-cosc=0 4 故SaA=7 absin C=×5x-压 4 法二：由tanC=3tanB可知，B,C均为锐角， 且tanC>tanB,所以0<B<C<2, 如图，在△ABC中，过点A作边BC上 的高AD,垂足为D, 由mC=nB可得，光-部则 有BD=3DC, 4,DC=6 由a=BC-6=BD+DC=4DC,可得BD=35, 设AD=,则c=AB=V屋+BD=,√R+ 8 6=AC=+DC-√层+系， 81 由6十=3可得++瓜+ 83, 解得A-，即= 4,故高AD=0 4 所以△ABC的面积为2BC·AD-}×5×-压 4 41 ·16 数学解答题专练（三） 1.解：(1)因为4sinA-bsin B=csin(A-B)=c(sin Acos B- cos Asin B), 由正弦定理可得4a一b2=c(acos B-bcos A)=accos B一 cbcos A, 由余弦定理知accos B= 2(a2+c2-62),cbcos A- b2-a2), 可得4a-b2=c(acos B-bcos A)=a2-b2, 则4a=a2,由a>0,解得a=4. (2)在△ABC中，由余弦定理知b2十c2-a2=2 bccos A,又在 △ABC中，有S=2sinA, 所以号csmA=6+c2-a)- 1 4 2 bccos A,化简得 tanA=√3， 因为A∈0，)，所以A=子 又a=4,由正弦定理得b=8·sinB,c=8·sinC, V3 6+c=8 [sin B+sin(B)]-8sin(). 3 因为在△ABc中，A=号0<B<经所以号<h(B+若）) ≤1， 所以4<b十c≤8，当A=B=C时，等号成立， 所以△ABC周长的取值范围是(8,12]. 解：(1)在△ADC中，∠ADC=号，由余弦定理得AC- √+4-2x1x2x7=5, 则AC+AD-4-DC,所以∠DAC-,∠ACD-音， 由△ABC为等边三角形，得BC=3,∠ACB=3,于是 ∠DcB=8+-, 所以△BCD的面积SAn=}×2X厅=厅(km)。 (2不纺设∠ADC=0,∠ACD=a,0∈(3x)a∈(o,）, 在△BCD中，SAn=号·DC·BC·sim(a+）=号BC· (sina+√3cosa), 在△ACD中，由余弦定理得AC2=22+12-2X2X1Xcos0= 5-4cos0, 又1=AC+4-2AC·2se,则csa-AC+3_名-cos0, 4AC AC 在△ACD中，由正弦定理得sin日sina'ha一。 AC,又 AC=BC, 因此Sm=号BC·(2+5×28）= AC）=2sin0- 名os0+5=sin(0-子）+5≤1+5， 又0（行），当且仅当0-音-至即0=后时取等号， 所以S△cD最大值为(1+√5)km2. 解：(1)在△ACD中，∠ACD=30°，∠CAD=45°， 则∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=180°-30°-45°=105°， ·数学· AC AD 由正弦定理得sn∠ADC一sin/ACD1 即、AC sin105=sin30,所以AC=22sin105°， √2 因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45 ×号+×-6 4 所以AC=22×6+E-5+1, 4 (2)因为BC⊥CD,∠ACD=30°，所以∠ACB=60°， 所以∠BAC=120°-B, 因为△ABC为锐角三角形，所以Q二∠BAC<90, 0°<B<90°， 即0120B<90°，解得30<B<90, 0°<B<90°， 在△ABC中，由正弦定理得BC AC Fsin∠BAC sin B' 则BC=ACsin∠BAC_W3+1)sin(120°-B sin B sin B _(W3+1)(sin120°cosB-cos120°sinB) sin B 5+(停B+日血 sin B (品+. 所以SAm=号AC·BCsn∠ACB=号X(5+1)X 8(g+am-少×号(+) 4 2+(a+ 4 因为30<B<90,所以tanB>tan30°= 3 断以0CB<i,所以1长B+1<, 所以2+32+（盟+<2g+3. 4 即25+3<S6A<25+3. 4 4.(1)解：由题意可知∠BPC=2 ,BC=2, BC 所以△PBC的外接圆的半径R2mBC一？=2喝 2 1 (2)证明：若0=石，则S=SaPa+SAFAC十SaPc= 2c· APsin 0+1 a·BPsin0+b,CPsin9-2sn0(a·BP+ c:AP+bCP)=子a~BP+c·AP+b.CP), 所以a·BP+c·AP+b·CP=4S, 在△ABP,△PBC,△PAC中， 分别由余弦定理得BP2=c2+AP2-2c·APcos0,CP2= a2+BP2-2a·BPcos0,AP2=b2+CP2-2b·CPcos0, 三式相加整理得2cos0(a·BP+c·AP+b·CP)=a2+b2+ c2,因为0=石，所以a2+62+c2=45s. (3)证明：由(2)得Sc=之血8a·BP+c·AP+b·CP, ·17 参考答案及解析 所以a·BP+c·AP+b·CP 2S△ABC sin 0' 由2cos0(a·BP+c·AP+b·CP)=a2+b2+c2, 所以a2+b2+c2=2cos0· 2SA4=2os0.6cs2 sin 0 sin 0 4bccos20, 又由余弦定理可得b2+c2=a2十2 bccos A=a2+2bc(cos20- sin20), 所以2a2+2bc(cos20-sin20)=4 bc cos20, 所以a2=bc(cos20+sin28),所以a2=bc, 由正弦定理可得sinA=sin Bsin C. 数学解答题专练（四） (1)证明：因为Sn=1一am, 当n≥2时，可得Sn-1=1-aw-1, 两式相减得a,=a-1一a,即2a,=a,1,所以a1= a-12 1 令n=1,可得S1=1-a1=a1,解得a1=2 所以数列{a,}构成首项为2，公比为。的等比数列， 所以a,的通项公式为。，=名·（号）=（分）门： (2)解：由1蜘a.-(2)广，可得s.-1-(）广八， 所以s-[1-(号]°=1-2·（号）”+(2）”=1 ()+()广， 1-(2) 则Tn=S+S号+…十S=(1十1+…十1) 1一2 -】-( 1- 证明：(1)由题意知aw=2- ,所以am-1=1- a元+1 am十1 a11,所以1= an+1 am-1a+1-1' 则1-1=1 1 1 an+1 61,6、a+11a,a1a,1=-1, 11 6a1-1=-2, 所以数列公}是首项为-2，公差为-1的等差复列 (2)由(1)可知， =-2+(n-1)(-1)=-n-1, 所以bn=一 十代人得a,=6.+1=1- 1 1 n+1 所以c= aa+1=n+2_(n十1)2 an n n(n+2) n+1 =1+十1+2（日中） 从而有T,=c1+c+…+c.=2+a+…+a=[1+ al a2 a元 -+[1+(合】++[1+号（日 】=a+(1+日-中)=+ 11子鱼欧龙门卷 2025一2026学年度高考试题逐题突破—解答题专练（三） 数学·解三角形（三） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4sinA一bsin B=csin(A一B). (1)求a的值； (2)已知△ABC的面积为(6+c-a),求△ABC周长的取值范围. 4 2.(15分)沂河岸边欲修建一个形状为平面凸四边形ABCD的休闲观光、生态保护的主题公园， 如图，其中DC=2km,DA=1km,△ABC为正三角形.建成后△BCD将作为人们旅游观光、 休闲娱乐的区域，△ABD将作为生态保护的功能区域. (I)当∠ADC=时，求△BCD的面积； (2)求△BCD面积的最大值. 数学·解答题专练（三）第1页（共2页） 3.(15分)在平面四边形ABCD中，BC⊥CD,AD=√2，∠ACD=30°，∠CAD=45°. (1)求AC的长； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. 4.(15分)如图，若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA,则称P为△ABC的布罗 卡尔点.若∠PAB=∠PBC=∠PCA=0,则称0为布罗卡尔角 (1)若△ABC是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是△ABC的内心（内心是三角形三条 内角平分线的交点)，求△PBC的外接圆的半径； (2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,△ABC的布罗卡尔 角为0，且0=石证明：a2+b2+c2=43S; (3)在△ABC中，记△ABC的布罗卡尔角为0，若A=20,证明：sinA=sin Bsin C. P 数学·解答题专练（三）第2页（共2页）