解答题专练(1)解三角形(一)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

子鱼跃龙门卷 2025一2026学年度高考试题还题突破—解答题专练（一） 数学·解三角形（一） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)在锐角△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acsin C=(a2十c2一 b)sin B. (1)若C=,求A的大小， (2)若a≠6，求6的取值范围. 2.(15分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若2cosB+1= a (i)求证：B=2A; (1)求册合的取值范周： (2)若G是△ABC的重心且AG⊥BG,求cosC的取值范围. 数学·解答题专练（一）第1页（共2页） 3.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C-√3 asin C-b+c=0. (1)求A; ②若b=2,SAAC33M为BC边上的中点，求AM的长 4.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 请在①(a-b)sin(A+C)=(a-c)(sinA+sinC);@sin(g-C)cos(c+5)=子，这两个中 任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题、 (1)求C; ②)若△ABC的面积为10,3，tanA二53，点D在线段AB上，且2BD=AD,求CD的长 数学·解答题专练（一）第2页（共2页）高考试题逐题突破 1,+o)ax-la-1》<e-.者e>0.因为y-号， y=-e在1，十∞)上都单调递减，故v(x)=是-e在(1， +∞)上单调递减，当0<a≤e时，v'(x)<v'(1)≤0，故v(x) 在(1，十∞)上单调递减，同理可得Vx∈（1，十∞)，a(x lnx-1)<e-ex.若a>e,则v'(1)=a-e>0,v'(lna) a naa=a(n3。-1<0,故o(x)在1，+∞)上存在零点 x。且x∈(1，xo)时，'(x)>0,故(x)在(1，xo)上单调递 增，故v(x)>0(1)=0,即当x∈(1，xo)时，h'(x)>0,故 h(x)在(1，xo)上单调递增，故h(x)>h(1)=0,即廿x∈(1， xo),a(x-lnx-l)>e-ex,这与题设矛盾.综上，a的取值 范围为(-o∞，e]. 数学解答题专练（一） 1.解：(1)由acsin C=(a2+c2-b2)sinB, 可得sinC=a2+c2-62 sin B 2xa2+c2-6 =2c0sB, ac 2ac 所以2 sin Bcos B=sinC,即sin2B=sinC. 因为C=,可得s如2B- 2 又因为B∈(0，），可得2B∈(0，x),所以2B=平或2B= ,所以B=音或B=餐。 当B=否时，因为C=云，此时A=X-(B+C)=>否（合 去)； 当B-否时，因为C=至，此时A=元一(B+C)否，符合 题意， 综上可得，A的大小为3 81 (2)由(1)得sin2B=sinC,则2B=C或2B+C=π， 当2B+C=x时，B=A,与a≠b矛盾； 当C=2B时，A=π一B一C=π-3B, 0<2B<受， 又因为△ABC为锐角三角形，可得 0<π二3B<T,解得 B≠π-3B, 吾<B<子， 由正弦定理得后品吕如沿 =2cosB∈（√2，W3), sin B 所以6的取值范围为巨w3). 2.(①(1)证明：因为2cosB+1=合， 所以2 acos B十a=c,由正弦定理得2 sin Acos B十sinA= sin C, 因为A+B+C=π，所以sinC=sin(A+B), 原式等价于2 sin Acos B+sinA=sin(A+B)=sin Acos B+ sin Bcos A, sin Acos B-sin Bcos A=-sin A, 即sin(A-B)=sim(-A),又因为A∈(o,）,B∈(o,）, 所以A-B=-A,即B=2A. (ii)解：由(1)知B=2A,所以3A十C=π，所以sin3A= sin C, sin A 所以 sin A sin A sin C =sin 3A sin 2Acos A+sin Acos 2A ·14 sin A sin A 2sin Acos'A+sin Acos 2A 2sin Acos A+sin A(2cosA-1)' 所以sinA 1 "sin C 4cos2A-1' 因为△ABC为锐角三角形， 所以0<2A=B<受，0<x-3A=C<,得A∈（日，）， 所以4cos2A-1∈(1,2)， 所拟品色oA-一（合 (2)解：设AB中点为O, 则i=ci-成=ci-号i= 号×i+)-号试-， 3 同理可得G成=号成-}d试， 由AG⊥BG得GA·GB=0, 所以（号耐-函）·（号-试）=0， 所以号i.i-子-号+.成-0， 化简得号ab6asC-号8-号a=0用mC=2计2公 5ab ①， 由余弦定理可得c0sC=。十b-c2 ②， 2ab 联立①②得a2+b2=5c2. 因为△ABC为锐角三角形，所以cosA>0,cosB>0, 有bt+c之a'则56+a+b>5a, 则有a2+c2>b, 15a2+a2+b2>5b2, cos C= -+》 令f(t)=t+ 由对勾函数的性质可得2<f<56, 6, 所以cosC= 厂4√6) 6f)e5,3), 所以c0C的取位范周是[台，9）。 解：(1)因为acos C-√3 asin C-b+c=0, 由正弦定理得sin Acos C一√3 sin Asin C-sinB+sinC=0, 在△ABC中，sinB=sin(A+C), 则sin Acos C-√3 sin Asin C-sin Acos C-cos Asin C+ sin C=0, 得-√3 sin Asin C-cos Asin C+sinC=0, 因为C∈(0，x),sinC≠0， 所以5nA+sA=1,即2(A+若）-1，m(A+） 1 2’ 又A∈(0,0，则A+吾∈（后，召），则A+吾-，所以 A (2)因为6=2，A=2= 3 由Sa-名cs血A5所以号×2Xc×复35，解得 ·数学· c=3, 在△ABC中，由余弦定理得 d=6+e-2kmsA=4+9-2X2X3×(-合）=19， 则a=√i丽，又M为BC边上的中点，所以BM= 2 在△ABC中，由余弦定理得 则c0sB=。+c2-b2=19+9-44V19 2ac 2X√19×319， 在△ABM中，由余弦定理得 AM2-AB2+BM2-2AB·BM·cosB=9+4-2X3X 空×4S酒-子，所以AM- 19 2 4.解：(1)若选择①， 由(a-b)sin(A+C)=(a-c)(sinA十sinC)可得(a- b)sin B=(a-c)(sin A+sin C), 利用正弦定理可得(a一b)b=(a一c)(a十c),整理可得a2+ b2-c2=ab, 所以cosC-a+62-c2=a0=1 2ab-2ab=z,又C∈(0，x), 可得C=牙 若选择②， 由诱导公式可得sim(名-C)cos(c+)-sim(日 c)sn[-(c+)]=sm(后-c)= 由ceo,可得君-C∈(-，名)， 可得sm(-C）=合所以-C=一音c= 31 ()②如图所示，由△ABC的面积为10v5可得了C- 10√3，即ab=40, 又mA-语且蓝A十cA-1,所以 sin A=53 11 =14,cosA=14 又号esinA=105,可得c=56, 易知sinB=sin(A十C)=sin Acos C+-coAsin C=4y3 7 由2ac6inB=105,可得ac=35,即可得a=56=8,6=7。 由点D在线段AB上，且2BD=AD,可得市=号+ 号流 所以励-√（兮i+号 =√g++· /1 -√写×8+音x+音×8x5xs-2 1 3 3 即CD的长为2V6 3 数学解答题专练（二） 1解：1由5=合csmA=分，得e=inA=1x9-写 22 15 参考答案及解析 1 (2)由7 absin C=2c2得c2=absin C, a2+b+c2_a2+b2-c212c2 =2cos C+2sin C=22 sin(C+ ab ab ab ）,所以++的最大值为2， ab 此时C=云a2+6+e2=2厄ab,c2- 2a6, 396=0的6-ia6号.）=0，解得6 所以a2+62-3V2 反a会去)或6-盟， 从而c二号a,故△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三 角形 解：(1)在△ABC中，由正弦定理可得AB BC Fsin∠ACB sin∠BAC' 2 1 因为3AB=4BC,sin∠ACB=3,所以sin∠BAC=2, 因为ABLAD,所以0<∠BAC<受，所以∠BAC=若， 所以∠DAC--∠BAC=F (2)在△ACD中，DC=2, 由余弦定理可得DC2=4=AC2十AD2-2AC·AD· cos∠DAC=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC· AD≤4，当且仅当AC=AD=2时取等号， 所以SAm=子AD:AC·Sn∠DAC<}X4X9-B, 故△ACD的面积的最大值为√3. (因为a乙AC=5,房以AC-√-(-9， 所以sin∠ACD=sin(∠CAD+∠ADC)=sin∠CADcos∠ADC+ cos∠CADsin.∠ADC -5x5+号x5-3E+5 =2×3+2 3 6 DC AD 在△ACD中，由正弦定理可得sin∠DAC=sinZACD,即 2 AD 53w2+ ,所以AD=2W6+2 3 2 6 所以5am-7 X DCXADXin∠ADc=号×2X26+2× 1 3 5-62+23,所以△ADC的面积为62十25。 3 9 3. 解：(1)因为ccos A+(a-3b)cosC=0, 由正弦定理得sin Ccos A+(sinA-3sinB)cosC=0, 3sin Bcos C=sin Ccos A+cos Csin A=sin(A+C)= sin(π-B)=sinB, 因为B∈(0，x),则sinB>0,故cosC=3 1 1 (2)因为cosC=3,且C∈(0，)， 所以血C=-oc-(-29, 因为，Q 为sin A sin C=33,c=6E, 所以35=6V2 sinA2√2 解得sinA=】 Γ3 3