数学（北京卷02）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 1．【答案】B 【解析】因为集合，， 所以， 综合选项判断可得B正确. 故选：B. 2．在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.【答案】C 【解析】由题意， 对应的点坐标为，位于第三象限. 故选：C. 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3.【答案】C 【解析】由题意得，，则． 故选：C. 4．设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 4.【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 5．已知数列为等比数列，若，，则（ ） A． B．4 C． D．8 5.【答案】B 【解析】由等比数列通项公式将条件转化为和的等式，作除法即可求得，进而可求解. 【详解】由题意得，解得， 则. 故选：B. 6．已知的展开式中的系数为5，则（   ） A．4 B． C． D． 6.【答案】D 【解析】因为的展开式中的系数为5， 则，即，解得. 故选：D. 7．函数的值域为 A． B． C． D． 7.【答案】D 【解析】，所以.故选D. 8．已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（   ） A． B．2 C． D．3 8.【答案】B 【解析】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，， 当直线过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为， 当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 故选：B. 9．DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：，） A．3 B．4 C．5 D．6 9.【答案】D 【解析】由于，所以，可知，解得， 则，由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为6次． 故选：D. 10．已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 10.【答案】C 【解析】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【解析】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： 12．已知平面向量，，若与共线，则m的值为_____. 【答案】-1 【解析】由，可得： ，， 又因为与共线可得： ，解得. 故答案为：-1 13．已知，则__________. 【答案】 【解析】因为， 即， 所以，， 所以， 所以. 故答案为： 14．某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025年1月开始逐步将本地1000辆燃油公交车替换为新能源公交车.记第个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为（单位：辆），其中.从2025年2月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10辆，每月弃置的燃油公交车数量为上一个月的2倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0则不再弃置.则该地区截止3月底公交车总数量为__________辆；到第__________月月底时，公交车总数量超过1000台，且全部为新能源公交车. 【答案】 【解析】投入的新能源公交车数量构成等差数列， 首项，公差，故，， 前3项和为. 弃置的燃油公交车数量构成等比数列，首项，公比， 故，，前3项和为. 截止3月底公交车总数为. 设第月底满足条件，等差数列前项和为. 等比数列前项和为， 当时，，剩余燃油； 时弃置370辆，燃油全部弃置. 由，得， 解得，故. 故答案为：1110；11. 15．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】因为分别为的中点，所以， 又，所以， 又因为平面，平面， 所以平面，故①正确； 设点在平面的投影为， ，，，则， 所以， ， 所以， 而，解得， 又，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 故点轨迹的长度为，故②正确； 因为点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 圆在平面内， 故到直线的距离不为定值，即的面积不为定值， 而到平面的距离为定值， 故的体积不恒为定值，故③错误； 取中点分别为，连接， 六边形即为平面截正方体所得的截面， 六边形的各边均为，故为正六边形， 所以正六边形的面积为，故④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【解析】（1）由题可得，（2分） ，（4分） 令，， 解得，， 故单调递增区间为，；（6分） （2）由题意，函数在有两个不同的零点， 令，则在有两个不同的解，故，（9分） 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数，（11分） 且，故，则，即.（13分） 17．（14分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)若点为的中点，求证：. (2)求直线与平面所成的角的正弦值． (3)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，（2分） 则，则，， ，所以.（4分） （2）设平面的法向量为， ， 则，设，则，所以，（6分） 设与平面的夹角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为；（8分） （3）由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，， 故平面的一个法向量为，（11分） 同理，，设平面的一个法向量为， 则有，令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为（14分） 18．（13分） 在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，现对仓库中两种颜色的球，分别进行了简单随机抽样，所得结果统计如下： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率． (3)若仓库中红色球的个数是白色球的3倍，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题知，从所有红色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为；（4分） （2）由（1）可知，从仓库所有红色球中随机抽取1个得到木质球的概率， 从所有白色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为， 从所有白色球中随机抽取1个，得到木质球的概率为， 当所取4个球中塑料球的个数等于木质球的个数时即有两个塑料球和两个木质球， 当从红球中抽出2个塑料球，从白球中抽出2个木质球时对应的概率为：，（7分） 当从红球中抽出1个塑料球，1个木质球，从白球中抽出1个塑料球，1个木质球时对应的概率为：， 当从红球中抽出2个木质球，从白球中抽出2个塑料球时对应的概率为：， 故这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率为；（10分） （3）设红色球总数为，白色球总数为， 从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为， 从仓库中随机抽取1个球，该球为木质球的概率为， 所以.（13分） 19．（15分） 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【解析】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，，（1分） 又点在椭圆上，有，解得，（3分） 所以椭圆的标准方程为.（4分） （2）要证，即证， 设， 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立，（5分） 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为， 由得， ，（6分） 由得， ， 得，，（8分） ，，则有. 所以与等底等高，有.（9分） （3）由（2）可知，同理有， 由，可得，则有，（10分） 设直线的斜率为，直线方程为，设， 由得， ，（11分） ， ，（12分） 所以， 即，（14分） 化简得，即，由题意，所以， 所以.（15分） 20．（15分） 已知函数，. (1)当时，若斜率为1的直线与曲线相切于点，求的坐标； (2)若直线分别交曲线和于不同的两点，，且存在最小值， （i）求证：； （ii）设为坐标原点，当取得最小值时，记的面积为.若，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【解析】（1）当时，，, 令得，， 故.（3分） （2）（i）由于直线分别交曲线和于不同的两点，， 结合对数函数与二次函数图像性质可得恒在图像上方， 即，即恒成立，（5分） 设，则，（6分） 由于单调递减，且， 则存在使得，即，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，（8分） 代入得， 由于在时单调递减，且代入得， 故， 则成立. （10分） （ii）， 设，则单调递增且值域为， 则存在使得，即，（11分） 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则当时，最小，最小， ，（13分） 设，， 由于单调递减，，则， 设， 则单调递减，且， 则当时，，单调递减， 则，即.（15分） 21．（15分） 设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． (1)若为的覆盖数阵，求的值； (2)当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． (3)设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 【答案】(1)、、、、 (2)可为与 (3)证明见解析 【解析】（1）由题意可得，解得，（2分） 则且，故，， 综上，有、、、、；（4分） （2）由，则，， 故，（6分） 又， 故， 则有， 即，（8分） 由，则， 当时，，不符； 当时，，不符； 当时，，符合， 实际上，符合要求； 当时，，符合， 由（1）知，符合要求； 综上所述：时，可为与；（11分） （3）若为的覆盖数阵， 则有，， 则存在有序数阵， 有，满足条件②， ，满足条件①，（13分） 故也为的覆盖数阵， 假设，则有，又， 则有，， 由，则与需恒为偶数，显然不可能， 故，故覆盖数阵成对出现，即为偶数，即有.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列为等比数列，若，，则（ ） A． B．4 C． D．8 6．已知的展开式中的系数为5，则（   ） A．4 B． C． D． 7．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 8．（新情境）已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（   ） A． B．2 C． D．3 9．（热点）DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：，） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 12．已知平面向量，，若与共线，则m的值为_____. 13．已知，则__________. 14．某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025年1月开始逐步将本地1000辆燃油公交车替换为新能源公交车.记第个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为（单位：辆），其中.从2025年2月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10辆，每月弃置的燃油公交车数量为上一个月的2倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0则不再弃置.则该地区截止3月底公交车总数量为__________辆；到第__________月月底时，公交车总数量超过1000台，且全部为新能源公交车. 15．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 17．（14分）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)若点为的中点，求证：. (2)求直线与平面所成的角的正弦值． (3)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（13分）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，现对仓库中两种颜色的球，分别进行了简单随机抽样，所得结果统计如下： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率． (3)若仓库中红色球的个数是白色球的3倍，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 19．（15分）如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 20．（15分）已知函数，. (1)当时，若斜率为1的直线与曲线相切于点，求的坐标； (2)若直线分别交曲线和于不同的两点，，且存在最小值， （i）求证：； （ii）设为坐标原点，当取得最小值时，记的面积为.若，试比较与的大小.（结论不要求证明） 21．（15分）设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． (1)若为的覆盖数阵，求的值； (2)当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． (3)设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C D B D D B D C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12．-1 13． 14. 1110 ;11 15. ①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 【解析】（1）由题可得，（2分） ，（4分） 令，， 解得，， 故单调递增区间为，；（6分） （2）由题意，函数在有两个不同的零点， 令，则在有两个不同的解，故，（9分） 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数，（11分） 且，故，则，即.（13分） 17．（14分） 【解析】（1）分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，（2分） 则，则，， ，所以.（4分） （2）设平面的法向量为， ， 则，设，则，所以，（6分） 设与平面的夹角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为；（8分） （3）由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，， 故平面的一个法向量为，（11分） 同理，，设平面的一个法向量为， 则有，令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为（14分） 18．（13分） 【解析】（1）由题知，从所有红色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为；（4分） （2）由（1）可知，从仓库所有红色球中随机抽取1个得到木质球的概率， 从所有白色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为， 从所有白色球中随机抽取1个，得到木质球的概率为， 当所取4个球中塑料球的个数等于木质球的个数时即有两个塑料球和两个木质球， 当从红球中抽出2个塑料球，从白球中抽出2个木质球时对应的概率为：，（7分） 当从红球中抽出1个塑料球，1个木质球，从白球中抽出1个塑料球，1个木质球时对应的概率为：， 当从红球中抽出2个木质球，从白球中抽出2个塑料球时对应的概率为：， 故这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率为；（10分） （3）设红色球总数为，白色球总数为， 从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为， 从仓库中随机抽取1个球，该球为木质球的概率为， 所以.（13分） 19．（15分） 【解析】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，，（1分） 又点在椭圆上，有，解得，（3分） 所以椭圆的标准方程为.（4分） （2）要证，即证， 设， 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立，（5分） 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为， 由得， ，（6分） 由得， ， 得，，（8分） ，，则有. 所以与等底等高，有.（9分） （3）由（2）可知，同理有， 由，可得，则有，（10分） 设直线的斜率为，直线方程为，设， 由得， ，（11分） ， ，（12分） 所以， 即，（14分） 化简得，即，由题意，所以， 所以.（15分） 20．（15分） 【解析】（1）当时，，, 令得，， 故.（3分） （2）（i）由于直线分别交曲线和于不同的两点，， 结合对数函数与二次函数图像性质可得恒在图像上方， 即，即恒成立，（5分） 设，则，（6分） 由于单调递减，且， 则存在使得，即，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，（8分） 代入得， 由于在时单调递减，且代入得， 故， 则成立. （10分） （ii）， 设，则单调递增且值域为， 则存在使得，即，（11分） 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则当时，最小，最小， ，（13分） 设，， 由于单调递减，，则， 设， 则单调递减，且， 则当时，，单调递减， 则，即.（15分） 21．（15分） 【解析】（1）由题意可得，解得，（2分） 则且，故，， 综上，有、、、、；（4分） （2）由，则，， 故，（6分） 又， 故， 则有， 即，（8分） 由，则， 当时，，不符； 当时，，不符； 当时，，符合， 实际上，符合要求； 当时，，符合， 由（1）知，符合要求； 综上所述：时，可为与；（11分） （3）若为的覆盖数阵， 则有，， 则存在有序数阵， 有，满足条件②， ，满足条件①，（13分） 故也为的覆盖数阵， 假设，则有，又， 则有，， 由，则与需恒为偶数，显然不可能， 故，故覆盖数阵成对出现，即为偶数，即有.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A[B][C][D] 10[A[B][C][D] 口 杯 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13 14 15. 1 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) BL- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) H D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列为等比数列，若，，则（ ） A． B．4 C． D．8 6．已知的展开式中的系数为5，则（   ） A．4 B． C． D． 7．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 8．（新情境）已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（   ） A． B．2 C． D．3 9．（热点）DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：，） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 12．已知平面向量，，若与共线，则m的值为_____. 13．已知，则__________. 14．某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025年1月开始逐步将本地1000辆燃油公交车替换为新能源公交车.记第个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为（单位：辆），其中.从2025年2月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10辆，每月弃置的燃油公交车数量为上一个月的2倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0则不再弃置.则该地区截止3月底公交车总数量为__________辆；到第__________月月底时，公交车总数量超过1000台，且全部为新能源公交车. 15．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 17．（14分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)若点为的中点，求证：. (2)求直线与平面所成的角的正弦值． (3)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（13分） 在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，现对仓库中两种颜色的球，分别进行了简单随机抽样，所得结果统计如下： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率． (3)若仓库中红色球的个数是白色球的3倍，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 19．（15分） 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 20．（15分） 已知函数，. (1)当时，若斜率为1的直线与曲线相切于点，求的坐标； (2)若直线分别交曲线和于不同的两点，，且存在最小值， （i）求证：； （ii）设为坐标原点，当取得最小值时，记的面积为.若，试比较与的大小.（结论不要求证明） 21．（15分） 设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． (1)若为的覆盖数阵，求的值； (2)当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． (3)设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年高考考前最后一卷 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 o 第一部分（选择题共40分） : 一、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={-1,0,13,5},全集U=R和集合B.若(CB)OA={},则可能正确的是() A.B={dx>5} B.B={xx<5} C.B={x0<x<5} D.B={x-1<x<3} 2.（2i-3)(i+1)在复平面内所对应的点位于() O A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知双曲线 云=1（α>0,6>0）的一条渐近线方程为4-3y=0,则该双曲线的离心率为(） B D. 4 : 4.设a,b∈R,且a<b<0,则() : A.1<1 ab B b> a b : .: C.at 2≥V品 b+>2 D. a b : 5.已知数列{a}为等比数列，若4=1，a,=64,则a,=( : A.±4 B.4 C.±8 D.8 : 6.己知(1+)1+x)的展开式中x2的系数为5，则a=() A.4 B.-3 C.-2 p. -1 : 7.函数f(x)=sinx|+cos2x的值域为() 】 c.[o,1] 9 D 8 : 试题第1页（共4页） .: : ⊙学科网·学易金卷做赶德：就限彩是 8.(新情境)己知圆O:x2+y2=9,直线1：y=-1,将圆O在1下方的部分沿着1向上翻折，如图，若 直线x-y+=0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（) B 3 5 A. B.2 C.2 D.3 9.(熟点)DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优 化中，指数衰减的学习率模型为L=L,D可，其中乙表示每一轮优化时使用的学习率，L表示初始学习率， D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率 为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含 0.4)所需的训练迭代轮数至少为()（参考数据：g2≈0.3，g3≈0.477） A.3 B.4 C.5 D.6 10.已知平行四边形ABCD中，AB=4,BC-2反，∠B1D-年，点么Q在四边形ABCD所在平面上， 且满足BP=1，,2AO=QP,则DP.D0的最大值为() A.3 B.3 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 1山，与双曲线上1有相同渐近线，且经过点(3反，2)的双曲线的方程是 164 12.已知平面向量a=(1,2),b=(2,-1),若ma+b与ā-五共线，则m的值为一 13. 14.某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025年1月开始逐步将本地1000辆燃油公交车替换为新能源 公交车.记第个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为a,b.(单位：辆)，其中 4=50,b=10.从2025年2月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10辆，每月弃置 的燃油公交车数量为上一个月的2倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0则不再弃置.则该 地区截止3月底公交车总数量为 辆；到第 月月底时，公交车总数量超过1000台，且 全部为新能源公交车. 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做将卷：限是鲁普 15.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，E,F,G分别为棱AA,CD,CC1的中点，动点H在平面EFG 内，且DH=1,给出下列四个结论： D F A G E B ①AB1I平面EFG: ②点H轨迹的长度为π： ③三棱锥H-EDG的体积恒为定值： ④平面G截正方体所得的截面面积为3V5 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(13分)己知向量i=(sinx+cosx,2sinx),i=(sinx-cosx,√3cosx),f(x)=i-i. (1)求函数f(x)的单调递增区间： (②)若函数y=f)-a在区间0)上恰有2个零点，求实数a的取值范围 17.(14分)如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，AD=2, EA=AB=BC=1. ---D B C (I)若点H为EB的中点，求证：AH⊥EC (2)求直线BC与平面CDE所成的角的正弦值. (3)若点F在侧棱EC上，EF=2FC,求平面FAB与平面FAD夹角的余弦值. 18.(13分)在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中 又有塑料和木头两种材质，现对仓库中两种颜色的球，分别进行了简单随机抽样，所得结果统计如下： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 试题第3页（共4页） (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率： (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料 o 球的个数等于木质球的个数的概率. (3)若仓库中红色球的个数是白色球的3倍，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为？，该球为 木质球的概率为P,,比较P与？的大小关系（结论不要求证明） ☑ 19.（15分)如图，已知椭圆E: ￡+片=1a>b>0)与椭圆，+上=1有相同的离心率，点PV5,) a2b21 124 在椭圆E上.过点P的两条不重合直线，与椭圆E相交于Q,H两点，与椭圆E2相交于A,B和C,D四点. D (1)求椭圆E的标准方程： (2)求证：SA4PD=S△QD; 游 BO DP 3)诺DHBP叫 设直线l1,l2的倾斜角分别为α，B,求证：x+B为定值. 20.(15分)已知函数fx)=血x,8(x)=x2+m+1(a∈R) (1)当a=0时，若斜率为1的直线1与曲线y=8(x)相切于点A,求A的坐标： (2)若直线x=m分别交曲线y=f()和y=g(x)于不同的两点P,Q,且|PQ|存在最小值， 7 (i)求证：a>-3 (ii)设O为坐标原点，当|PQ|取得最小值时，记△POQ的面积为S(a).若4<4<-1，试比较S(a)与 S(a)的大小.（结论不要求证明） 世 21.(15分)设有序数阵T= 4,a2,,4,,0n 集合Cn={1,2,3,,2,(其中 bb2B8 i=1,2,3,,n,n∈N,n≥4)·若Tn满足：①{a,4,,a,,a}U{b,b2,,b,,b}=Cn;②a-b=i,则 称Tn为集合Cn的覆盖数阵 「8，b,4,e (1)若T4= 为C4的覆盖数阵，求a,b,c,d,e的值； a,c,d,2 (2)当n≤7时，写出所有的n的取值，使得T,= 4,a2,,0,…0a b,b2,…,b,…b 为Cn的覆盖数阵. (3)设有序数阵T的个数为T,若I为C的覆盖数阵，求证： eN, 2 试题第4页（共4页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,3,5},全集U=R和集合B.若(CB)⌒A={5},则可能正确的是() A.B={xx>5} B.B={dx<5} C.B={xl0<x<5} D.B={x-1<x<3} 2.(2i-3)(i+1)在复平面内所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知双曲线若茶-1a>0b>0)的一条斋近线方程为4-3y=0,则该双曲线的离心率为() 4 A3 c 4.设a,b∈R,且a<b<0,则() A.1 ab B.2 a a b a b,2 D. a b 5.已知数列{a}为等比数列，若a=1,4=64,则a,=() A.±4 B.4 C.±8 D.8 6.已知1+)1+x)的展开式中x2的系数为5，则a=() A.4 B.-3 C.-2 D.-1 1/7 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 7.函数f(x)sinx+cos2x的值域为( c.[o,1] [9 D.08 8. (新情境)己知圆O:x2+y2=9,直线1：y=-1,将圆O在1下方的部分沿着1向上翻折，如图，若 直线x-y+m=0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是() 3 A. 2 B.2 c. D.3 9.(热点)DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络 优化中，指数衰减的学习率模型为L=乙，D，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L表示初始学习 率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学 习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下 (不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为()（参考数据：1g2≈0.3，g3≈0.477) A.3 B.4 C.5 D.6 10.已知平行四边形ACD中，AB=4,BC=25,∠BD-行，点Q在四边形ABCD所在平面 上，且满足B=1,240=OP,则DPD0的最大值为() 19 B.3 D.3 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.与双曲线二-广=1有相同渐近线，且经过点(32,2的双曲线的方程是 164 12.已知平面向量ā=(12)，万=(2，-1)，若ma+6与a-五共线，则m的值为一 217 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 14.某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025年1月开始逐步将本地1000辆燃油公交车替换为新能源 公交车.记第个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为a,b,(单位：辆)，其 中4=50，b=10.从2025年2月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10辆，每月弃 置的燃油公交车数量为上一个月的2倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0则不再弃置.则 该地区截止3月底公交车总数量为 辆；到第 月月底时，公交车总数量超过1000 台，且全部为新能源公交车 15.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，E,F,G分别为棱A4,CD,CC1的中点，动点H在平面EFG 内，且DH=1.给出下列四个结论： D F A G E以 B ①AB/1平面EFG: ②点H轨迹的长度为π： ③三棱锥H-EDG的体积恒为定值： ④平面BG截正方体所得的截面面积为3V5 4 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(13分) 己知向量m=(sinx+cosx,2sinx),元=(sinx-cosx,V3cosx),f(x)=m元. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数y=f()-a在区间0，上恰有2个零点，求实数a的取值范围 2 317 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(14分) 如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，AD=2, EA=AB=BC=1. E ->D (I)若点H为EB的中点，求证：AH⊥EC (②)求直线BC与平面CDE所成的角的正弦值. (3)若点F在侧棱EC上，EF=2FC,求平面FAB与平面FAD夹角的余弦值. 18.(13分) 在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木 头两种材质，现对仓库中两种颜色的球，分别进行了简单随机抽样，所得结果统计如下： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率： (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料 球的个数等于木质球的个数的概率， (3)若仓库中红色球的个数是白色球的3倍，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为？，该球为 木质球的概率为卫，比较？与乃的大小关系（结论不要求证明） 417 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(15分) 如图，已知椭圆五：+少 方31a>b>0与椭圆E2+1有相同的离心率，点PV3,)在椭圆 上.过点P的两条不重合直线4,1，与椭圆E相交于Q,H两点，与椭圆E2相交于A,B和C,D四点. 0 H B D (1)求椭圆E的标准方程； (2)求证：SA4PD=S△QD: BO DP (3)若 设直线l1,l,的倾斜角分别为，B,求证：u+B为定值. DHBP 517 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(15分) 己知函数f(x)=hx,g(x)=x2+ax+l(a∈R) (1)当a=0时，若斜率为1的直线1与曲线y=g(x)相切于点A,求A的坐标； (2)若直线x=m分别交曲线y=f(x)和y=g(x)于不同的两点P,Q,且|PQ|存在最小值， (i)求证：a>3 7 (ii)设O为坐标原点，当|P2取得最小值时，记△P○2的面积为S(网.若a<a2<-1,试比较S(a)与 S(a)的大小.（结论不要求证明） 617 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(15分) 设有序数阵T= 4,42,,4,,an 集合Cn={1,2,3,,2m,（其中i=1,2,3,,n,n∈N,n≥4)·若Tn满 BBB 足：①{a,a2,,a,,a}Ub,b,,b,,b}=Cn；②a-b=i,则称In为集合Cn的覆盖数阵. (1)若T4= 8a,4e为C,的覆盖数阵，求ac,de的值： a,c,d,2 (2)当n≤7时，写出所有的n的取值，使得T.= 4,42,,4,…0 为C,的覆盖数阵。 b,b2,…,b,b」 (3)设有序数阵T的个数为T,若I为Cn的覆盖数阵，求证： CIeN. 2 717 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $