专练21 列方程的基本方法(二)&专练22 一元一次方程的实际应用(一)-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

5-m=6,解得：m=3,n=2. -(3x2-x+2)=2x2-3x-3 (2)原多项式为：-5x2y+xy-3x2+x-2=-x2-2x-5,则A 3x3-6,将该多项式按x的降幂重一B=(3x2一x十2)一（一x2一2x 新排列为：-3x3一5x2y+xy2一6. -5)=3x2-x+2+x2+2x+5= 知能检测 4x2+x+7. 1.(1)由题意，得2a-1=7,b+2=(2)由题意，得x=一1，则原式=4 4,解得a=4,b=2,a=4=16. ×(-1)2-1+7=4-1+7=10. (2)由题意，得|a|=3,a-3≠ 专练13与整式有关的说理题 0,b+2=0, 典例导练 ∴.a=-3,b=-2,a2-3ab+b2 (1)35+53=88,88÷11=8 =(-3)2-3×(-3)×(-2)+ (2)10a+ba+10b10a+b+a (-2)2=-5. +10b=11a+11b,(11a+11b)÷ 2.(1)6m-14n+2 11=a+b (2)由题意，得6m-1=0,4n+ (3)能 2=0,.m= 6,n= 2 ,∴.3m 知能检测 +2n=一2 1.375 2.(1)由已知得所挡住的式子为： 专练12 整式的化简与求值 3(x-2)-(x2+9x-7)=3x 典例导练 6-x2-9x+7=-x2-6x+1, 示范题1 即所捂的二次三项式是一x2一 原式=5x2-2y-8.xy+2y2-5x2= 6x+1. -8xy,1x+g+0y-12=0, (2)当x=- 号时，-父-6x+1 x=-8y-1,当x=-8y=1 =-(-)°-6×(-3)+1 时，原式=一8×(-日)×1=1. =41 · 示范题2 专练14整式的加减 x3+a,x2+2x-3-bx-5x2=x3 +(a-5)x2+(2-b)x-3,由题 绝对值的化简 意，得a-5=0,2-b=0,解得：a 典例导练 =5,b=2, (1)<>> .3(a2-2b2+3)-2(a2-3b2+ (2)原式=b-c+2c+2-a-c=b ab-4)=3a2-6b2+9-2a2+6b2 -a+2. -2ab+8=a2-2ab+17=52-2 知能检测 ×5×2+17=22. 1.(1)> 知能检测 (2).'a<-1,0<b<1,.a+1 (1)根据题意知，B=2x2一3x-3 <0,-b+1>0,b-a>0, 70 |a+1|-|-b+1|+|b-al, 专练16整式加减的综合应用 =-1-a-(-b+1)十b-a=典例导练 2b-2a-2. (1)由题意得：到甲图书店购买的 2.(1)5 费用为：0.7×(100×15+8x)= (2)令x一5=0，x十2=0，解得(5.6x十1050)元；到乙图书店购 x=5,x=-2,①当x<-2时，买的费用为：100×15十8(x-50) |x-5|+|x+2|=-x+5-x -200=(8x+900)元. -2=-2x+3;②-2≤x≤5(2)还需要科学类图书：1500X1.5 时，|x-5+|x+2=-x+5+x 2000=250(本)，则增订国学类 +2=7;③x>5时，|x-5+z 图书100本，科学类图书150本， +2=x-5十x十2=2x-3; 即x=150.到甲图书店购买的费 所以|x-5|+|x+2|= 用为：5.6×150+1050=1890< -2x+3(x<-2) 2000,到乙图书店购买的费用为： 8×150+900=2100>2000,所以 7(-2≤x≤5) 这批经费够，应在甲书店采购、 2x-3(x>5) 专练17运用方程的解求字母系数 专练15整式加减的实际应用 典例导练 典例导练 示范题1 （1)房的地面总面积为：(14一1 设■为a,将x=一3代入原方程得： 4)x+(4+1)(x-2)+4(y+2)+ 2-[a-(-3)]=-2,a+3=4,a= 3y=9x+5x-10+4y+8+3y= 1,.“■”处被墨盖住的数为1. (14x+7y-2)(m2). 示范题2 (2)当x=4,y=3时，14x十7y-2 将x=一1代入方程得：一8一4一 =14×4+7×3-2=56+21-2 十9=0，解得：k=一3，当=-3 =75(m2),80×75=6000(元)，即 时，3k2-15k-95=27+45-95= 铺地砖的总费用是6000元. -23 知能检测 知能检测 1.4a-8b 1.C2.C 2.(1)2[(a+c)+(a-c)]=2(a+ 3.x=3不是方程2ax-5=3x c+a-c)=4a(m). 4a的解，理由为：把x=2代入 (2)2[(a+a+c)+(a+a-c)]= 得：2a-4=0,解得：a=2,将a 2(a+a+c+a+a-c)=8a(m). =2代入方程2ax一5=3x- (3)当a=25,c=10时，所以长 4a,得4x-5=3x-8,将x=3 为2a十c=60(m),宽为2a-c 代入该方程左边，则左边=7， =40(m),所以面积=60×40= 代入右边，则右边=1，左边≠ 2400(m2). 右边，所以x=3不是方程4x 5=3x一8的解。 71 专练18等式的性质及其运用 (5)x= 29 (6)x=2 7 10 典例导练 专练20列方程的基本方法（一）】 示范题1 部分量之和等于总和 由题意，可得4a-2b十1=6，.4a 典例导练 -2b=5,∴.-8a+4b=-2(4a 2b)=-2×5=-10. 设每辆A型汽车的售价为x万元， 则每辆B型汽车的售价为(x十8)万 示范题2 当x=0时，y=3,即c=3,当x= 元，依题意，得：x十3(x+8)=96,解 得：x=18,∴.x+8=26. -1时，y=5,即-a-b十c=5,得 a+b=-2;当x=1时，y=a+b 答：每辆A型汽车的售价为18万元， 十c=-2+3=1.答：当x=1时， 每辆B型汽车的售价为26万元. y的值是1. 知能检测 知能检测 1.设严重缺水城市有x座，依题 1.S=(a+b)h 意得：(3x+52)+x+2x=664. 2 解得：x=102. 2S=(a+6)h,.h=2S 答：严重缺水城市有102座。 a+b 2.设原来有x斗米，则后加入(10 2.根据等式性质1，等式两边都减去 一x)斗谷子，根据题意，得x十 式子3a-2b+1,得5b-5a=1. 根据等式性质2，等式两边都除 号(10-)=7，解得1 21 以5，得6-a=号>0，b>a. 答：原来有号斗米。 专练19解方程之易错点 专练21 列方程的基本方法（二）】 知能检测 不同的式子表示同一个量 (1)4-3(2-x)=7x, 典例导练 4-6+3x=7x, (x+8)×54%=40%x+6 3x一7x=6-4, 知能检测 -4x=2, 1.设长木长x尺，则绳子长为(x +4.5)尺，根据题意，得： (2)x十1=1-一2 x+4.5+1=x,解得x=6.5. 2 3 6 答：木长为6.5尺 2(x+1)=6-(x-2), 2.设租45座的客车x辆，则60 2x+2=6-x十2， 座的客车为(x-3)辆，45x+25 2x+x=6+2-2, =60(x-3)-20,解得x=15, 3x=6, 45x+25=45×15+25=700. x=2. 答：共有700人秋游. (3)x=17 (4)x=2. 72 专练22一元一次方程的实际 乒乓球赛场的有2人 计的长边不符合实际情况. 应用（一）行程与工程问题 2.设裁剪侧面的学生有x人，则 知能检测 典例导练 裁剪底面的学生有(45一x)人， ()号xcm 5 6 -x cm 3 设听到回响的时候，汽车离山谷 根据题意列方程得，2×60x=3 的距离是xm,由题意得2x十6× ×50×(45-x),解得x=25, 100cm 30=6×340,解得x=930. 45-x=45-25=20. (2)由题意可得：3x+100=4× 答：这时汽车离山谷为930m. 答：裁剪侧面的学生有25人， 知能检测 裁剪底面的学生有20人. (2×日x+27）,解得x=24. 1.280 专练24一元一次方程的实际 答：天头长为24cm. 2.(1)设甲、乙两车合作还需要x 应用（三）打折销售问题 专练26一元一次方程的实际 天运完垃圾，依题意，得： 典例导练 应用（五）分段计费问题 吉3+0=1，解得=8 设这批服装每件的标价为x元， 典例导练 由题意，得进价为(0.6x十60)元， (1)48 答：甲、乙两车合作还需要8天 则0.8x一(0.6x十60)=20，解得x (2)设三月份用水xm3,则四月份 运完垃圾， =400,0.6×400+60=300(元) 用水(15-x)m3.①四月份用水超 (2)设乙车每天的租金为y元， 答：这批服装每件的标价为400 过6m3不超出10m3.2x+6×2+ 则甲车每天的租金为(y+100) 元，进价为300元 4(15-x-6)=44.解得：x=2. 元，依题意，得：(8+3)(y十 知能检测 15-x=13(不符合题意，舍去)； 100)+8y=3950, (1)设3D钥匙扣、毛绒公仔两种 ②四月份用水超过10m3.2x十6 解得：y=150,.y+100=250. 商品的每个进价分别是x元和 ×2+4×4+(15-x-10)×8= 答：甲车每天的租金为250元， (30+x)元，4(30+x)+5.x=570, 44.獬得：x=4..15-x=11 乙车每天的租金为150元. 解得x=50, 综上，三月份用水4m3,则四月份 专练23一元一次方程的实际 答：毛绒公仔、3D钥匙扣两种商品 用水11m3. 应用（二）调配与配套问题 的每个进价分别是80和50元. 答：三月份用水4m3,则四月份用 典例导练 (2)设毛绒公仔买了x个，80x十 水11m3. 设安排x人编织花心，则(30一x)50(60一x)=4200,解得x=40,设 知能检测 人编织花瓣，根据题意得，5x×83D钥匙扣的每个售价为y元，由 (1)224(2)440 =20(30-x),解得x=10,则30题意得：(100-80)×40+20(y-50) (3)设稿费为x元，由题意得：14% -x=30-10=20(人). =4200×25%,解得y=62.5. ×(x一800)=420，解得：x=3800. 答：安排10人编织花心，20人编答：每个3D钥匙扣的售价为62.5元 答：这笔稿费为3800元 织花瓣，才能使一节课编织出来 专练25一元一次方程的实际 专练27一元一次方程的实际 的花心和花瓣刚好配套. 应用（四）几何图形问题 应用（六）方案选择问题 知能检测 典例导练 (1)设每个篮球的定价是x元，则 1.设调往羽毛球赛场的有x人， 设计的长边不符合实际情况，理 每套队服是(x十80)元，根据题意 则：2[10+(10-x)]=16十x, 由如下：设篱笆的长为xm,宽为 得2(x十80)=6x,解得x=40,x 解得：x=8,.10-x=2. (x-5)m,由题意得，x+2(x-5) +80=120 答：调往羽毛球赛场的有8人， =35,解得x=15,.15>14,.设 答：每套队服120元，每个篮球40元. 73 (2)在乙商场购买比较合算，理由 AB,∴.BC=10,DA=30,AC=30, 合×36=18(cm),所以PC= 如下：甲方案：100×120+(120 ,M是DA的中点， PN-CN=18-16=2(cm). 10)×40=16400(元)，乙方案：0. N是AC的中点， 8×40×120+12000=15840 知能检测 (元)，因为16400>15840，所以在 ∴MA=号DA=15,NA=2AC 1.C 乙商场购买比较合算. =15,.MN=MA+NA,.'MN 2.(1)DB=1. 知能检测 =30. (2)设BD=x,则AB=4x,CD (1)设他们一共去了x名老师， 知能检测 =3x,所以BC=DC-DB=3x (16-x)名学生，根据题意，得40x -x=2x,所以AC=AB+BC +20(16一x)=400,解得x=4,则 1.AD=吉AC,DC= =4x十2x=6x,因为点E为线 16-4=12(名).答：他们一共去 而C是线段AB的中点，.AC 段AB的中点，所以BE=2AB 了4名老师，12名学生， -AB,DC=号×号AB= (2)方案一：分别购买，费用为400 =2×4红=2，所以EC=BE+ 元；方案二：按团体票购买，费用 号AB,又CE=DE-DC,CE BC=4x=12,解得x=3,所以AC 为16×40×0.6=384（元）；方案 =6x=6×3=18. 三：4名学生分别买，剩余的老师 =号AB-AB=AB=号 专练31线段计算中的数学 和学生按团体买，费用为4×20十 24=8,故线段CE的长为8cm 思想（二）分类讨论思想 12×40×0.6=368(元).368< 2..'AC:BC=3:2,AC+BC= 典例导练 384<400,.方案三最省钱，即4 ,'AM=6cm,点M是线段AC的 名学生分别买，剩余的老师和学 AB,AC-号AB, 中点，∴.AC=12cm,设BC=xcm, 生按团体买，费用为368元， E为AC的中点，.AE=CE 则AB=5.xcm. 专练28一元一次方程的实际 -2AC=品AB,:点D为AB ①当C在线段AB上时，AC=AB 应用（七）其他类型 典例导练 BC=5x-x=4x,∴.4x=12,∴.x 的中点，.AD= AB,:ED (1)52(2)D 3,∴.AB=5.x=15; 知能检测 =5,..ED=AD-AE= 2AB ②当C在线段AB的延长线上 1.83 时，AC=AB+BC=5x+x=6x, -品AB=号ABAB=25. 2.(1)x+21 5(x+21-1) .6x=12,∴.x=2,.AB=5x=10. (2)5(x+21-1)=5.5(x-1), 专练30线段计算中的数学 综上，AB=10cm或15cm. 解得：x=211. 思想（一）方程思想 知能检测 答：x的值为211 典例导练 (1)6 (3)5×(211+21-1)=1155(m), 设每一份为x,则MB=2x,BC= (2)分两种情况：当点P在线段 答：这段路的长度1155m. 3x,CN=4x,因为MN=36cm,所AB上时，'PA=2cm,AB= 专练29与线段有关的计算 以2x+3x+4x=36,解得x=4,30cm,∴.BP=AB-AP=30-2 典例导练 所以CN=4×4=16(cm),因为P=28(cm),.点Q为BP的中点， .AB=20,BC= -AB,DA= 是MN的中点，所以PN=号MN∴QB=号BP=14cm,:BN= 7521 专练21 列方程的基本方法(二)不同的式子表示同一个量 【方法规律】当问题情境中没有明显的语句或关键词反映相等关系，又不能用部分量 之和等于总量来列方程时，经常用两个不同的式子表示同一个量来列方程. )典例导练 示范题 河南男篮为了冲击决赛，正努力提高自己的胜率(胜率一胜利场数÷已参 与场数).现在他们的胜率为40%，在接下来的8场客场比赛中，若能取得6场胜利，则可 以将队伍的胜率提升到54%.设河南男篮本赛季已进行了x场比赛，则 x应满足的关系 式是 . 【思路点拨】用代数式 40%x+6 和(x+8)×54%这两个不同的式子表示胜利的场 数，列出一元一次方程即可. 知能检测 1.【数学文化】 孙子算经》是一本十分著名的中国古代数学典籍，其中有这样一道题，原 文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，间：木长几 何?大意为：用一根绳子去量根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木 还剩余1尺，问：木长多少尺?请用方程(组)解答上述问题. 2.秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好的接触自然、增强身体素质，某 校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车.小明 发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少 租3辆，且有一辆空了20个座位.求此次秋游的人数. 22 专练22 一元一次方程的实际应用（一） 行程与工程问题 【方法规律】 1.基本关系式：工作量=工作效率×工作时间 2.当题目工作量没有具体给出来时，可以把工作量看作整体1. 心典例导练 示范题汽车以30m/s的速度在高速公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下 喇叭，6s后听到回响，已知空气中声音的传播速度为340/s.这时汽车离山谷多远？（列 一元一次方程解应用题) 【思路点拨】设听到回响时，汽车离山谷x米，首先理解题意找出题中存在的等量关 系：汽车离山谷距离的2倍十汽车前进的距离=声音传播的距离，根据等量关系列方程， 求解即可. 【自主解答】 知能检测 1.某校七年级学生远足活动期间，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走 4.5km.一列火车以每小时120km的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到 车尾与队末学生相遇，共经过12s,如果队伍长135m,那么火车长 m 2.某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车 单独运完需要30天.甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾. (1)甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950 元.则甲、乙车每天的租金分别为多少元？