专题卷(8)概率与统计-【鱼跃龙门卷】2026年高三数学二轮复习专题金卷

2025一2026学年度高三二轮复习专题卷（八） 数学·概率与统计 (考试时间120分钟，总分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.某工厂生产的产品质量指标服从正态分布N(105,σ2)，从该工厂生产的产品中随机抽取 1000件，质量指标在(100,110]内的产品有680件，则质量指标大于110的产品件数大约为 A.160 B.180 C.320 D.340 2.已知A,B是一个随机试验中的两个随机率件，若P(A)=P(B)号P(AB))则 A.A与B相互独立且P(A+B)三名 B,A与B不相互独立且P(A+B)一名 5 C.A与B相互独立且P(A+B)= D.A与B不相互独立且P(A十B)=5 9 3.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断 出一定没有出现点数6的是 A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2 C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，方差为2.8 4.学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为150,150,75.按社团进行分层抽样，从这些报 名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员.从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则 2名负责人中至少有一名来自绘画社的概率为 7 3 2 A.10 B.10 C. 3 D. 数学·专题卷（八）第1页（共8页） 鱼跃龙 5.如图，三个自动开关T1,T2,T。正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路 中，则电路不发生故障的概率是 A 8. 29 64 C.125 n器 6.随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物 平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台 2 第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为品，从第二次推送起，若前一次不购买此 商品，则此次购买的概率为4；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为？记第”次推 送时不购买此商品的概率为Pn,当≥2时，Pn≤M恒成立，则M的最小值为 A. 97 以器 c踢 0. 73 7.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比 赛，每项比赛至少一位同学参加，事件A=“甲参加跳高比赛”，事件B=“乙参加跳高比赛”， 事件C=“乙参加跳远比赛”，则 A.事件A与B相互独立 B.事件A与C为互斥事件 C.P(CIA)-12 .5 DP(BA=日 8.某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z(单位：克)分为4级：Z>20的为A级，18<Z≤20 的为B级，16<Z≤18的为C级，14<Z≤16的为D级，Z≤14的为废果.将A级与B级果 称为优等果.已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N(15,9).对该蓝莓基地的蓝莓进行随 机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为P(精确到0.1).若为优等果，则抽 查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数X的期望值 不超过3，则n的最大值为 附：P(-o<Z≤十o)=0.6827,P(4-2o<Z≤十2o)=0.9545,P(4-3o<Z≤十3o)= 0.9773 A.4 B.5 C.6 D.7 门卷 数学·专题卷（八）第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。带题目为能力提升题，分值不 计入总分。 9.已知一组样本数据x1,x2,…,x20(x1≤x2≤…≤x20),下列说法正确的是 A.该样本数据的第60百分位数为x12 B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C.剔除某个数据x:(i=1,2,…,20)后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D.若x1,x2,…,x10的平均数为2，方差为1，x11,x12,…,x20的平均数为6，方差为2，则x1, x2,…,x20的方差为5 10.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为0.8，甲和 乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是 A.两人都命中的概率为0.56 B.恰好有一人命中的概率为0.36 C.两人都没有命中的概率为0.6 D.至少有一人命中的概率为0.94 11.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有 可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发 送信号1时，接收为1和0的概率分别为p和(1一p).假设每次发送信号0和1是等可能的 且每次发送信号相互之间是独立的.当发送两次信号第一次“0”、第二次“1”时，接收到的信 号也是“0”“1”的概率为0.72.则下列结论正确的是 A.p=0.8 B.当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C.一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D,若已知一次发信后被接收为信号1”，则接收正确的概率为 ￥如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A,B,C, D,E,F,O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移 动，每次移动1个单位长度，则 A.移动两次后位于点A的概率为。 B.移动两次后位于点O的概率为3 C.移动三次后位于点F的概率为 D移动n次后位于点O的概率为力：子X(-) 数学·专题卷（八）第3页（共8页） 鱼跃龙 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X~B(10,p),YN(5,o2),且E(2X+1)=7,若P(Y≤9)=1一p2,则 P(1≤Y≤9)= 13.已知变量x,y满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为y=0.8x十a.现有 一对观测数据为(20，n),若该数据的残差为一0.6，则n= 21 23 25 27 15 18 19 20 14.参加数学竞赛的6位队员欲合影留念，分别将座位和队员以1,2,3,4,5,6编号，首先编号为 1的队员先从6个座位中任选一个就坐，接着由编号为2,3,4,5,6的队员依次选座，若与队 员编号相同的座位为空，则队员坐在该座位；否则，则从座位编号大于队员编号的空座位中 任选一个就坐（若大于队员编号的座位均不为空，则从剩余空座位中选择最大的编号就坐）， 则4号队员恰好在4号座位就坐的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某同学在研究性学习中，对某区2000名高三年级学生期末调研考试的数学成绩用简单随机 抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，分为6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计该区高三年级学生期末调研考试的数 ↑频率组距 0.0150 a 学成绩不低于90分的学生人数： 0.0100 (2)估计本次考试全区数学成绩的中位数和平均数（同一组0.0050 0.0025 中的数据用该区间的中点值作代表)； 30507090110130150分数 (3)现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在[70,90)和[90,110)内的学生中共抽 取5人，再从中选取3人，求这3人中至少有1人成绩在[70,90)内的概率. 门卷 数学·专题卷（八）第4页（共8页） 班级 16.(15分) 17 新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统 姓名 抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用已感染的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对 得分 使用该种抗生素后，小白鼠血液中的细菌值y(单位：个/)进行检验，并统计得到了下表： 第x天 1 2 3 4 5 细菌值y(个/l) 66 57 50 41 36 并计算得：2(y.-y2=582,2(x:-)(y.-)=-76. 选择题 答题栏 (1)计算变量x和变量y的样本相关系数r,并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位 1 小数)； 2 (2)若小白鼠血液中的细菌值在区间(0,18)内，则说明已治愈，用最小二乘法求y关于x的 3 经验回归方程y=x十a,并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈. 5 参考数据及公式：样本数据(x:,y:)（i=1,2,…,n)的相关系数r= 6 (x,-x)(y:-y) 8 =1 ,其回归直线y=x十a的斜率和截距的最小二乘估计值分别 9 ②x-)2y- :10 11 为：b== (x:-x)y:一) 2x,- a=y-62,10≈3.2，v582≈24.1 数学·专题卷（八）第5页（共8页） 鱼跃龙门卷 (15分) 某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该 选手胜加10分；平局不得分；负减10分.当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手 总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别 ,111 为24,4，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元.记n(n≥10)局后比赛终止且选手获奖1万元 的概率为P(n),求P(n). 数学·专题卷（八）第6页（共8页） 18.(17分) 19. 为了解学生身体素质的情况，学校随机抽取了100位同学组织了一次体测，结果有20%的同 学合格，经过调查，抽取的学生中只有10%的学生每日运动量能达标，每日运动量能达标的 学生体测合格率有50%. (1)完成列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为体测成绩与每日运动量 之间有关； 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 运动量未达标 合计 (2)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中合格人数的分布列和 期望； (3)为提升学生身体素质，学校决定给每个班级安排任务，规则如下：每天班主任从箱子里抽 球，里面有2个白球和2个红球（大小、材质相同），抽到红球放回，且学生需要跑步1km; 抽到白球则休息，抽完的球不放回，再往里放入一个红球，直至箱子里全部都是红球后结 束，记n天后任务结束的概率为Pn,求Pm. 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d):n=a+b+c+d. 0.100 0.050 0.010 0.001 X。 2.706 3.841 6.635 10.828 数学·专题卷（八）第7页（共8页） 鱼跃龙门卷 (17分) 某种比赛采用“2n+1局n十1胜”(n∈N*)制（即累计先赢n+1局者获得本场比赛胜利）.在 该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为1一p(每 局比赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局) (1)当n=1时，若力=？结束比赛时，比赛的局数为X,求X的分布列与数学期望； (2)如果选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为P(A). 方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为P(B). 比较P(A)和P(B)的大小； (3)记“2n一1局n胜”(n∈N*)制比赛中甲获得最终胜利的概率为p1,记“2n十1局n+1 胜”(n∈N*)制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为p2,证明：卫1一 p2=C2m-1p”(1一p)”. 数学·专题卷（八）第8页（共8页）·数学· 所以稀圆℃的方程为+，-1 -”=0, 2 由题意可得 解得/m=0, 4n-m2 n=-1. 4 =一1， 所以抛物线C2的方程为y=x2-1. (2)0证明：由y=,得x2-k红-1=0， y=x2-1, 设M(x1,y1),N(x2y2), 则x1十x2=k,x1x2=-1. 于是直线AM和AN的斜率之积为 kw·kw=+1.2十1 =(kx1+1)(kx2+1) Z1x2 x1x十k(x1十x)+1--是+是2+1=-1. IIT2 -1 所以AM⊥AN. ②解：设直线AM的斜率为p,则直线AM的方程为y= px-1, 由y二虹一1，解得点M的坐标为M(p,p2-1), y=x2-1, 因为直线AN的斜率为一合：所以点N的堡标为N(一分 为小 于是△AMN的面积S,-名1 AMIIANI--名VD+方· √+- 由仁.得点E的坐标为1n行，》 因为直线AP的斜率为一方所以点F的生标为（一， 》 于是△AEF的面积S:=号AEAP=平4p2 32(1+p2)1p1 25 解得p2=1. 所以-二头=，十=力方 1p2-1 =0, x1一x2 因此直线1的方程为y=0. 数学（七） 一、选择题 1.C2.A3.B4.A5.B6.C 7.D【解析】给挂件进行如图所示的编号， 根据题意1号有4种涂色方法，2,3,4号有 2 A=6种涂色方法，分情况讨论5,6,7号的 涂色方法：①若5号与1号同色，6号与2 4 号同色，则7号只有1种涂色方法，所以5， 6,7号有1×1×1=1种涂色方法；②若5 号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则 7号有2种涂色方法，所以5,6,7号有1×1×2=2种涂色方 法；③若5号与1号异色，与3号同色，5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，7号有2种涂色方法；当6号与4号异色 时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法，所以5,6,7号有 1×(1×2+2×1)=4种涂色方法；④若5号与1号、3号均异 色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有2种涂色方法， 以5,6,7号有1×2×2=4种涂色方法；综上，所有的涂色方汔 种数为4A(1+2+4十4)=4×6×11=264. 8.C【解析】2"，3”的个位上的数字具有周期性规律，如表所示 1 2 345678 2”的个位上的数字 2 4 8 6 486 3”的个位上的数字397 1 3971 由表可得2”，3的个位上的数字周期为4，因此，①当a取1,5 9,13,17,21时，b可取3,7,11,15,19，此时满足题意的有序 组(a,b)有6×5=30个；②当a取3,7,11,15,19时，b可取4 8,12,16,20,此时满足题意的有序数组(a,b)有5×5=25个 ③当a取4,8,12,16,20时，b可取1,5,9,13,17,21，此时满 题意的有序数组(a,b)有5×6=30个，综上，满足题意的有 数组(a,b)的个数为30+25十30=85. 二、选择题 9.AC 10.ABC 11.ABD 三、填空题 7 12.1813.5114.30 四、解答题 15.解：(1)当n=10时，f(x)=(x-2)1°=a。+a1x+a2x2+… a10x10 T,+1=Co(-2)10-x',则a,=Ci(-2)10-,r=0,1,2,…,10, 显然r为奇数时，a,<0;r为偶数时，a,>0; 则当a,取到最大值时，r为偶数， 设a。为最大项，其中k=0,2,4,6,8,10.当k≥2时 得/a≥a4-2>0 ak≥akt2>01 即10-勿a-218”a-丽←a>0, 10！ 10 10! 10! 10-2》-t≥+210+2-2)-+o>0, 解得0236十196132又因为k=2,46,810,经验证， (3k2+31k-82≥0， k=4. 又因为a。=20=1024<a4=13440,所以最大项为a4 13440. (2)因为f(x)=(x-2)=b。+b1(x+1)+b2(x+1)2+… bn(x+1)", f(x)=n(x-2)m-1=b1+2b2(x+1)+…+nbn(x+1)m-1, 令x=0,得n(-2)"-1=b1十2b2十…十nbn, 所以2rb,=n(-2)-1 16.解：(1)由题意，乙第一次恰好摸到白乒乓球的概率 CCZ 3 C+C+ 14 即x2-17x十30=0，解得x=2或x=15, 因为2≤x≤8，所以x=2. (2)整理乒乓球时，要使得至少2个黄乒乓球相邻，则有“ 黄一黄黄一黄黄”，“黄黄黄一黄黄黄”，“黄黄一黄黄黄黄”，“直 黄黄黄一黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况. 可以先排列白乒乓球，通过插空法，让黄乒乓球排列在白乒 球与白乒乓球之间的空位上 所以“黄黄一黄黄一黄黄”有C+1种排法； “黄黄黄一黄黄黄”，“黄黄一黄黄黄黄”，“黄黄黄黄一黄黄”士 有C+1种排法， 总共3C+1种， “黄黄黄黄黄黄”有C+1种排法。 高三二轮复习专题卷 二、选择题 9.BC 10.AD 11.ACD ￥BCD【解析】对A,移动两次后位于点A,需要第一次移动到B 1、11 或F,然后再移动到A,概率为2X6X39,A错；对B,移动 两次后位于点O,第一次移出去，第二次再移回来，概率为6× ×甘-日：B正确：对C,移动三次后位于点F,前两次移动到 1 0或A或E,因比概率为2x号×号+日×日-品，C正确：对 D,设移动n次后位于点O的概率为p.,n≥2，则前一次一定在 非0点，概率为1一p1,所以p,=31-1),从而p. }=}(1-),又1=0，所以(.-}是首项为 子，公比为-子的等比数列，则p.-=（-子)× (-号)，所以.=}-是×(-）)，D正确 三、填空题 12.0.8213.14.2 14.是【解折】事件A,为1号队员在G=1,2…,6号座位就坐， 易知P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=P(A)=P(A6) 日设事件B为4号队员恰好在4号座位就坐”，所以P(B A1)=P(B|A)=P(B|A)=1,P(B|A4)=0,(1)当A2发 生时，则2号队员可选择3,4,5,6号中的任意一个座位就坐， ①若2号队员选择5,6号中的任意一个座位就坐，则4号队员 必定在4号座位就坐，此时，4号队员恰好在4号座位就坐的 概率为P,=子×1=子：②若2号队员选择4号座位就坐，则 4号队员不可能在4号座位就坐，此时，4号队员恰好在4号座 位就坐的概率为P,=×0=0:③若2号队员选择3号座位 就坐，则3号队员可选择4,5,6号中的任意一个座位就坐，若 3号队员选择5,6号中的任意一个座位就坐，则4号队员必定 在4号座位就坐，若3号队员选择4号座位就坐，则4号队员 不可能在4号座位就坐，此时，4号队员恰好在4号座位就坐 的概率为P,=×(号×1+号×0)=名；所以PBlA,) 号十0叶日-号：2当A,发生时，则2号队员必定选择2号座 1 位就坐，3号队员可选择4,5,6号中的任意一个座位就坐，此时，4号 队员恰好在4号座位就坐的概率为P,=1×(号×1+号×0）- 号，所以P(BA,)=号，所以由全概率公式可知，4号队员恰 好在4号座位就坐的概率为P(B)=2P(A:)P(B|A:)= ×1+日×0+×号+日×号- 3 四、解答题 15.解：(1)由频率分布直方图可得， (0.0025+0.005+0.010+0.015+a十0.005)×20=1， 所以a=0.0125, (0.015+0.0125+0.005)×20×2000=1300, 故估计该区高三年级学生期末调研考试的数学成绩不低于90 分的学生人数为1300 (2)前三个小矩形的面积之和为(0.0025+0.005十0.010)× 20=0.35, 前四个小矩形的面积之和为(0.0025十0.005十0.010+ 0.015)×20=0.65,所以中位数位于(90,110)之间， 所以中位数的估计值为90+0.50.35×20=10， 0.3 平均数的估计值为0.05×40十0.1×60+0.2×80+0.3 100+0.25×120+0.1×140=98. (3)因为原始成绩在[70,90)和[90,110)的频率之比为2：3， 所以在[70,90)内抽取2人，记为a,b, 在[90,110)内抽取3人，记为A,B,C, 从中选取3人，所有的基本事件为：abA,abB,abC,aAB,aAC aBC,bAB,bAC,bBC,ABC,共10个， 记事件M=“这3人中至少有1人成绩在[70,90)内”， 则其对立事件M包含的基本事件为ABC,共1个， 所以P(M0=1-P()=1-10=10, 19 所以这3人中至少有1人成绩在[70,90)内的概率为0： .9 6. 解：1)因为x=号1+2+3+4+5)=3， 所以2(x,-x)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2 (5-3)2=10, 又2(y:-y)2=582,2(x,-x(,-y)=-76. 1 (x,-x)y:-） 所以r= -1 -76 √②x,-x√2，- √/10X/582 -0.99, 因为r|非常接近1，所以两变量线性的相关程度很强 《2)由题，x=51+2+3+4+5)=3, =5(66+57+50+41+36)=50 2(x:-z)2=10, 2(x4-x)(y:-) 所以石= i= -76=-7.6, 2(x:-x)2 10 :- a=y-bx=50-(-7.6)×3=72.8, 所以y关于x的经验回归方程为y=一7.6x十72.8， 令-7.6x+72.8<18,解得x>1 19≈7.21， 所以该小白鼠至少需要服药8天才能痊愈 7.解：(1)设该选手第i局比赛胜为事件A:,第i局比赛平为事《 B:,第i局比赛负为事件C:(i∈N*),设“两局后比赛终止” 事件M, 则比赛2局该选手得0分或30分比赛终止. (1)当选手得分为0分，则2局均负，即C1C2; (i)当选手得分为30分，则2局先平后胜，即B1A2. 因为C1C2,BA2互斥，所以P(M)=P(C1C2+BA2) P(C1C2)+P(B1A2)=P(C1)P(C2)+P(B:)P(A2) ()°+(4)×g=品 所以两局后比赛终止的概率为6 3 (2)设“3局后比赛终止”为事件D,“3局后选手挑战成功”为 件E. 因为P(D)=P(B1B2A3+B1C2C3+C1A2Ag+C1B2C3)