专题卷(4)数列-【鱼跃龙门卷】2026年高三数学二轮复习专题金卷

高三二轮复习专题卷 17.解：1f)=in音-c0sar血君 一c0Sx= 2 sin wx c0s cos in 3 将（行0）代A得5sin(答-）=0， 故管-背-kx,∈乙，解得u=6+2,&∈Z 又0<w<3,故当k=0时，w=2满足要求. (2由1)知，jx)=5sin(2x-）, 当eo.可时2-晋∈[-吾]， 故当2x-音c[-]或2-∈[ 即x∈[0司或[晋时，)单调递瑞， 「11π1 放)的单调道增区间为[0，哥[出， 8+）-sm2a=m2a 5 又[子，所以2a[受2]， 因为n2a-停>0，所以2a∈[受可： 放ae[行]asa=--m五= 2W5 10 5 又9[]，做[臣 又sng-)->0所以-e[小， 所以os(g-a)=-V-sin(g-a)=-3V0 10 cos(a+B)=cos [(B-a)+2a]=cos(B-a)cos 2a-sin(B- 其中e+c[经，2可]，故a+8-程 18.(1)解：由a=bcos A和正弦定理知sinA=sin Bcos A, 又B=日，则sinA=2cosA, 又simA+cogA=1,且A∈(0，)，解得sinA=5 51 (2)解：由tanC= -sinA得inC=1-sinA, cos A cos C cos A sin Ccos A+cos Csin A=cos C, 即sin(A+C)=cosC, 由A+B十C=π，得sin(π-B)=cosC,即sinB=cosC, 则B=C+受或B+C=受， 当B十C-受时，A-受，与题目中的A≠受矛盾，合去，故 B=C+受， 又A+B+C=,放A+B+B-登=，即A+2B-受 (3)证明：因为sinA=sin Bcos A, 则sin(经-2B）=sin Beos(经-2B）, 则cos2B=sin Bsin2B,即cos2B=2sin2 Bcos B, 2 cos2 B-1=2(1-cos2 B)cos B, E2 cos3 B+2 cos2 B-2cos B-1=0, 因为B=C+受放B为纯角， 令t=cosB,-1<t<0, 则f(t)=2t3+2t2-2t-1(-1<t<0), 由f'(t)=6t2+4t-2=2(3t-1)(t+1)<0, 放f在(-1.0)上单调递减，有f(-2)>0,(-号）<0， 所以-sB<-号 因为B∈（受，则<B<, 51 由{smA=si血Bcos A,可得amA=sinB=cosC, sin B=cos C <aC<石，从雨号<血C<名则C<音 又5<anA<√则A>所以A>C,即a> 2 sin C5 又5=sinB√215，则5c>2b, 5 综上，5a>5c>2b. 解：(1)由向量m=(W3 sin wx,cos wx),n=(cosz,一cosz),得 f(x)=m·n-21 1 1_5 3sin ocos ucosu2 sin 2 分os2ar-1=sin(2r-若）-1， 1 因为f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2， 可得T=,所以2w--2,即w=1, 所以f(x=sin(2x-君）-1. (2)解法-：由1)知f)=sim(2x-）-1, 因为x∈a,2a),所以2x-吾∈(2a-吾4a-若）， 又因为2a-a≤号，可得ae(0,], T 所以2a吾∈（云]a音∈（音g], 则(2a-百a-晋)=[-8，]或(2a-吾a-)9 「π3π 22: 解得aE(o,】政e∈[号引， 所以。的取值范围为(o,]U[行，阅， 解法二：由(1)知f(x)=sin(2z-音）-1， 所以数f)的单调区间为[-吾+经+€Z 。4 因为函数f(x)在区间(a,2a)上单调， 1 则满足a,2✉)[-晋+经晋+k∈z an· -5=0，进-步可转化为a1-4=-号(a.-4,由此 ≥+ 可知，数列2，一4)是以21-4=4为首项，一子为公比的等比 可得 k∈Z, 数列，所以a,-4=4·() ,当n=4时，a4-4=4· 2a≤3+2' (-）,即a=4-6-路 163 41 7.C【解析】因为正方体棱长为2，所以内切球O1的半径R1=1 因为-晋十告音+经eZ所以=0度=1， (内切球直径等于正方体棱长)，对于球On(n≥2)：球O.与正 方体的三个面相切，故其球心坐标为(R,,R,R,);球O与球 当=0时a∈(o,]当k=1时a∈[晋， O.-1相切，两球心距离为3(Rm-1一R),该距离等于R-1十 所以a的取值范国为(o,]U[管，哥。 R.,由此得到递推关系：√3(R.-1一R.)=R.-1十R,整理得 (3)[f(x)]2-(2m+1)f(x)+m2+m=0等价于[f(x) R,=R1·店-(2-3)R,,所以{R,是首项R,=1, W3+1 (m+1)][f(x)-m]=0, 公比q=2一3的等比数列，B正确；对于A:R2=R1·(2-√3)= 解得f(x)=m十1或f(x)=m. 因为[后，所以2x-晋≤[后， g一A正确，对于℃等比数列优，的前：项和8号 当2红-∈[后引时f)是增函数，f[-0小， 得周为=2<1浙以8有2所 √3-1 当2-音[登]时1)是减西数，)[-2,0， 以Sn<1,C错误；对于D:球的体积V,=专R:,V:+ 2 当2x- ∈[1时]时，f)是塔函数，fa)e[-2 4 V2+V++V.=3π(R+R+R+…+R),因为{R:}是 引 首项为1，公比为q3=(2-√5)3的等比数列，所以R十R+ 方程[f(x)]一(2m十1)f(x)十m2+m=0有三个不同的实数 1-21-2t8所以 R+…+R:=1-(2-3)” 1 根等价于f(x)=m十1有一个实数解且f(x)=m有两个不同 的实数解或f(x)=m+1有两个不同的实数解且f(x)=m有 4,5+35_10十65)r,D正确. 一个实数解. V,+V2+V,+…+V.<3 10 15 ①当m<-2或m>-1时，不符合题意； 8.B【解析】将数列分组，使每组第一项均为1，即： ②当m=一2时，则m+1=一1，f(x)=m有一个实数解， 第一组：2°， f(x)=m十1有一个实数解，不符合题意； 第二组：2°，22， ③当-2<m<-2时，则-1<m+1<-2,f)=m有两个 1 第三组：2°，2,22， 不同的实数解，f(x)=m十1有一个实数解，符合题意； 第k组：2°，21,22，…，2-1， ④当m-2时，则m十1--名，fx)-m有两个不同的实 1 根据等比数列前n项和公式，得每组的和分别为2一1,2一1， …,2一1，前组含有的项数为N=1+2+3+…+k 数解，f(x)=m十1有两个不同的实数解，不符合题意； 6,+1D.所以5、=2-1十2-1十十2*-1=21-2）-= 回当-号<m<-1时，-号<m+1<0,f)=m有-个实 1-2 2+1-2-k=2+1-(k+2).若S。=2(t∈N*),即2+1-(k十 数解，f(x)=m十1有两个不同的实数解，符合题意； 2)=2(t∈N),将选项A代入，若n=16,则k=5,即S16为前5 ⑥当m=一1时，m十1=0，f(x)=m有一个实数解，f(x) 组的所有数与第6组的第1个数的和，此时S16=2一(5+2)十1 m十1有一个实数解，不符合题意. 2,t∈N*无解；同理若n=95,则=13，此时Ss=24-(13+ 综上，m的取值范围为(-2-号)U(-名，-1小， 2)+1十2十4十8=214，即t=14∈N“,符合题意；同理若n= 189,则k=18,此时S189=S1-218=220-(19十2)-28=3× 数学（四） 218-21=2,t∈N无解；同理若n=330,则k=25,此时S30= 、选择题 226-(25+2)+1+2十4+8+16=226+4=2，t∈N*无解，综 C2.D3.A4.D5.C 上可知，n=95. B【解析】函数f(x)=an+1·sin(πx)-anx2+amx-5,其中 *A【解析】对于①：因为数列{an},{b.)均为等差数列，设an=kn十 m,bn=cm十d,则an-bn=(k-c)n十m-d,若k-c>0,可知当 y=sin(x)与y=一a,x2十ax一5的图象均关于直线x=2 1 >公时0，一6，>0恒浪立，不清足交错数列，若女一-6= 对称，故f(x)的图象关于直线x=合对称，因为z∈(0,1D时 0,可知am一bn的符号不变，不满足交错数列；若k-c<0,可知 f(x)恰有一个零点，所以该零点为x=分，即f(号）=0，将 当>一公时，a,一6，<0恒成立，不清足交错数列，综上所 =号代入f,结合s血=1，可得a11-a,·()°+ 述：对任意等差数列{an},{bn),{bn}均不是{an}的交错数列，故 ①为真命题；对于②：因为数列{an}为等比数列，设an=aq”, ·数学· aq≠0，等比数列{am}的公比为q,不妨假设a>0,q>0,bn=16 a(-2q)”,此时等比数列{bn}的公比为一2g<0,当n为奇数时， 则bn=一ag”·2<aq”=am;当n为偶数时，则bn=aq”·2"> ag”=am,满足{bn}是{an}的交错数列，若等比数列{a.}的公比为 q<0,根据对称结构，上述结论依然成立，同理若a<0,9>0,bn= a(一2g)”,此时等比数列{bn}的公比为一2g<0,当n为奇数时， 则bn=-ag”·2>aq”=am;当n为偶数时，则bn=ag”·2"< ag”=am,满足{bn}是{a.}的交错数列，若等比数列{am}的公比 为q<0,根据对称结构，上述结论依然成立，综上所述：对任意给 定的等比数列{an},都存在等比数列{bn},使得{bn}是{an}的交 错数列，故②为真命题，故A选项正确. 二、选择题 9.BC 10.AB 11.ABD 三、填空题 12.-713.609 14.2022【解析】因为数列{an〉满足a1=1,且am+1= √a:+则a=a+是，当n≥2且∈N时，a=a+ (ai-a)+(a-a)+…+(a-a1)=1+g 3 2-1大 1-2） 3 1 =4 2,0-1也满足a:=4 ，故对任意的aNa=42马故6，=a-[a]=0。 3 6=a-]=4--[4-]=号-2=当m≥3时， 2≥4则0<23<1，所以3<4-23<4，此时6，=a: [a]=42-[4-2]=4-2-3=1- 7,所以 S2025=b1+b2+(b3+b4+…十b2025)=0+ 1 2 +2023 (1-） 17 (层++…+是)-2a+日- =2023+ 1- 13 -+2a=2022+。 3 22024∈2022,2023)，故[S22s] 2022. 四、解答题 15.1)证明：由已知可得=0+1，即-0=1. n+1-n n+1 n 所以}是以=1为首项，1为公差的等差数列。 1 (2)解：由(1)得2”=1十(n-1)·1=m,所以an=n2, 所以f)=号2+号x 1 t3x3+…+m +7x1, 故f'(x)=x十2x2+…十mxm, 可得f'(3)=3+2·32+…十m·3"①， 所以3f'(3)=1×32+2×33+3×3+…+(m-1)·3m+ m·3m+1②， 由①-②有-2f'(3)=3+32+33+…+3m-m·3m+1 =3(1-3m) -m·3m+1=(1-2m)·3m+1-3 1-3 2 所以f(3)=(2m-1)·3m+1+3 解：(1)数列{an}中，a2=l,Sn为{an}的前n项和， 当n=1时，2S1=a1→2a1=a1,所以a1=0, 当n≥2时，2Sn=nan①，2S.+1=(n+1)ae+1②， 由②-①得，2S4+1-2Sn=(n十1)aa+1一nam, 2(S+1-S,)=(n+1)an+-na, 即nan=(n-1)am+1, ,2-n”递推可得。- 当n≥2时， a,n-2…a =2 由累果法可得…台·× X…X an an-1 × 则21=1，又因为a2=1,所以a+1=n(m≥2， az 即am=n-1(n≥3)，经检验，当n=1,n=2时，也符合上式， 所以an=n-1. (2)由(1)可知am=n-1,am+1=n, sin 1 所以b.= cos(an+1)cos(a+1+1) sin 1 cos ncos(n+1) =sin[(n+1)-n] cos ncos(n++1) sin(n+1)cos n-cos(n+1)sin n cos ncos(n+1) sin(n+1)cos n cos(n+1)sin n cos ncos(n+1)cos ncos(n+1) =tan(n+1)-tan n, 所以Tm=b1十b2十bg+…bn =(tan 2-tan 1)+(tan 3-tan 2)+.+[tan n-tan(n-1)]+ [tan(n+1)-tan n] =tan(n+1)-tan 1, 所以数列{bn}的前n项和Tm=tan(n+1)一tan1. 解：(1)因为a1=b1=c1,所以在b.十2c.=1中，令n=1,得 3a1=1,所以a1=3 1 当n≥2时，由b.=及b。+2c.=1, C-1 得二+2c.=1,所以1 1=2. Cn-1 Cn Cn-1 又1=1 =3,所以 }是首项为3，公差为2的等差数列， c1 a1 所以上=3+2(m-1)=2m十1，所以c.=2m十1 1 C a 1 (2)由(1)知6.==c1 2n-1 cw-112n+1 (n≥2). Cn 当n=1时，b1=- 满是上式所以6，红 1 _2n-1_2n-3_4 则a.=b。-b.-1-2n+i2n-i4n2-（n≥2》. 当m=1时，a1=弓，不清足上式， 3n=1, 所以an=了 4 (4n2-1n≥2， 。 参考答案及解析 当m=1时，1=3≤2025，显然成立： 所以f(x)≤f(1)=-1<0,所以lnx<x, a 当m≥2时，令4n-1≤2025，所以m2<8101 所以2n1+h2+…lnn)<21+2+…十m）=2xnn+1D- 2 4 4 n2+n, 又n∈N*,所以n的最大值为45. 所以Qn<e2+n得证. 1 19.(1)证明：f(x)=x+2sinx, a (3)设d.=2n+3 15n=1, f(2π-x)=(2r-x)+2sin(2x-x)=2π-x-2sinx, 4 (2m-1)(2m+1)(2m+3)n≥2， f(x)+f(2x-x)=x+2sin x+2x-x-2sin x=2x, 故函数y=f(x)的图象关于点（π，π）中心对称， 当m=1时，S1=5 (2)解：因为{am}为等差数列，所以a1十a2十a3=3a2, 又a1,a2,ag是某三角形的三个内角度数， 4 当n≥2时，d.=(2m-1D(2n+1)(2n+3)=(2m-1D2n+D 所以a,十a:十a,=x得a,=号a1+a,=行， (2n+1)(2n+3) T3=a+2sin a+a2 +2sin a:+a;+2sin as=x+2sin a+ 所以Sn=d,十d2+…+dn 2sin子+2sin(暂-a）, -后+(）+（文-）+…+ 化简得工-xh5+3na,5casa-xh5+2sm(a,+）, 1 L(2n-1)(2n+1)(2n+1)(2n+3)」 因为aa:a是某三角形的三个内角度数，且a:=了，所以 2 1 =15-(2n+1)(2m+3) a(,） 当n=1时，也符合上式， 2 1 所以S。=15(2m+1)(2m+3) 即a1+若∈(g）,m(a+）(分，1]， 8.(1)解：因为数列{an}满足am+1=Sn十2， 可得T3∈（π+2√5，π+3V3]. 所以n≥2时，得am=Sa-1十2， (3)证明：若S1=100π，根据等差数列性质可得50(a,十 两式相减，得a+1=2a4,即2中=2，m≥2， a1o1-m)=100π(1≤n≤50，n∈N*), an 由此可得an十a1o1-n=2元，a1o1-n=2r-am,sina101-m=sin(2r一 因为a1=2,a2=S1十2=a1十2=4， a)=-sin a,sin a,+sin a1o-=0, 100 则22=2，所以2+=2，n∈N, To=览fa,)=号(a,+2sina,)=号a,+22sina,=Sm十 = 1 i=1 i=1 a 所以数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以 2X50(sin a.+sin aio1-), 解得T1=S10=100元，证毕. an=2". (2)解：由(1)得bn= 2m-1 反之，若Tw=10x,即Tm-2fa,)=Sw+22sna,=10x 2 因为{an}为等差数列，所以50(an十ao1-n)=S1o→am十a1o1-n T2+2+…+203+2 13， 2-1 2 S0(1≤n<50,n∈N), 工.=+2+…+23+ 13 2” 2和+1， 即Tw-2fa,)=Sw+2[如a+sa(S-a,)]=10x, 12 两式相减得2T。一2十2十…十 2_2n-1 2”2+ 当且仅当sn(0-a,）-sna,时，5w=10x, =(分++ 1）2m-11 2” 2+一2 者m(0-a)-na则Sm10x ×(11) 1 故反之不成立，证毕， 2 2 =2× 2n-1_1 2 数学（五） 12 2+1 一、选择题 32n+3 = 1.D2.C3.A4.D5.D6.C 2 2m+, 7.B【解析】如图，在长方体A1B2C2D1-ABC3D2中，A1B2= 则T,=3-2m+3 AB=B,C1=4,AA1=2,BC=A1B1=AA1=2.根据题意可 知，六面体ABCD-A1B1C1D1可以看成长方体A1B2C2D1 《3)证明：由(1)得cn=2·a,=n2,则Q,=(1×2×…×n)2 ABC3D2的一部分. 所以lnQ,=2ln(1×2×…×n)=2(ln1+ln2+…lnn). 要证Qn<e2+",只需证lnQn<n2+n,即证2(1n1+lh2+… In n)<n2+n, 令fx)=1nx-x(x≥1D,则f'(x)=1二工≤0， B B 所以f(x)在[1，十∞)上单调递减， 因为长方体A,B,C2D1-ABC,D2的体积V=S四边形A1B2cP1×2025一2026学年度高三二轮复习专题卷（四） 数学·数列 (考试时间120分钟，总分150分)》 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。带题目为能力提升题，分值不计入总分。 1.记Sn为等差数列{am}的前n项和，若2a?一ag=4,则Sg= A.12 B.24 C.36 D.48 2.等比数列{am}满足2022十log2a3=log2a2o2s,a1=2,记{am}的前n项和为Sm,则Sg= A.510 B.-150 C.-150或264 D.510或-170 3.已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn,则“Hn∈N*,Sn≥Sg”是“ag≤0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4。数列(a}中，an表示与h最接近的整数，则1十1+…十 1 2025 A.8843 B.8814 44 5 C.88 45 D.89 15 5.已知数列{am}的前n项和为Sm,a1=1,a3=5,2am+1=am+2十am.若n∈N*,有Sm十am十8≥ t·√Sn恒成立，则实数t的最大值为 A.3 B.2√7+2 C.3 6.已知数列{am}满足a1=8,且函数f(x)=am+1·sin(πx)一amx2十amx-5.当x∈(0，l)时，函 数f(x)恰有一个零点，则a4= A.16 63 1 C.一16 D.- 63 B. 16 16 数学·专题卷（四）第1页（共8页） 鱼跃龙 7.一个棱长为2的正方体内有一个内切球O1,若球O2与正方体的三个面和球O1相切，球O3与 正方体的三个面和球O2相切，依次类推，球Om+1与正方体的三个面和球O,相切(n∈N*), 设球O,的半径为Rm,体积为Vn,则下列结论不正确的是 A.R2=2-3 B.数列{R}为等比数列 C.R,+R,+R++R>1+3 2 D.V,+V2+V,+…+V,<10+63)π 15 8.已知数列A:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2°，接下来的两项是2°， 2,再接下来的三项是2°，2,22，依此类推.Sn是数列A的前n项和，若Sn=2(t∈N*),则n 的值可以为 A.16 B.95 C.189 D.330 *已知数列{an},若存在数列{bn}满足对任意正整数n,都有(an一bn)(am+1一bn+1)<0,则称数 列{bn}是{an}的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{a,},不存在等差数列 {bn},使得{bn}是{am}的交错数列；②对任意给定的等比数列{an},都存在等比数列{bn},使得 {bn}是{an}的交错数列.则下列结论正确的是 A.①与②都是真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①与②都是假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若S35>0,S36<0,则下列结论正确的是 A.数列{am}是递增数列 B.a18>0 C.当Sn取得最大值时，n=18 D.la18>a19l 门卷 数学·专题卷（四）第2页（共8页） 10.设正项等比数列{am}的公比为q,前n项和为Sm,前n项积为Tm,则下列选项正确的是 四 A.S-S4+g'S5 15, B.若T2025=T2020,则a2023=1 C.若a1ag=4,则当a十a6取得最小值时，a1=√2 D.若(am+1)”>T,则a1<1 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=a(am>0),则 A.数列{a,}是递增数列 B.数列{Sn一am}是递增数列 C.la- D.S,>In an+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且数列{nSn}为等差数列，若S4十a3十a4=1,则 S6 a3 13.某大型景区有16处打卡景观.若这16处景观分别用A1,A2,A3,…, A16表示.某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路 110 径走向其他景观，并且每个景观至多经过一次.若该游客按上述规则 A13 从人口出发到达景观A:的不同路线有a:条，其中1≤i≤16，i∈N,则 2a- 14.记[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}满足a1=1,且am+1= a:+。,数列6.》满 2n 足bn=a品一[a],记Sm为数列{bn}的前n项和，则[S2o25]= 数学·专题卷（四）第3页（共8页） 鱼跃龙门卷 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (13分) 已知数列{am}中，a1=1,nam+1=(n十1)am十n(n+1),n∈N*. (1)证明：数列{2是等差数列； 2砂给定整数m,设函数f今2之+…十求了③D 数学·专题卷（四）第4页（共8页） 班级 16.(15分) 已知数列{an}中，a2=1,设Sm为{an}的前n项和，2Sn=nam. 姓名 (1)求{am}的通项公式； (2)若bn= os(a,+1)cos(a,+1十1)，求数列{b.}的前n项和T. sin 1 得分 选择题 答题栏 1 2 3 5 6 8 9 10 11 数学·专题卷（四）第5页（共8页） 17.(15分) 已知数列{an}的前n项和为bn,数列{bn}的前n项积为cm,且bn十2cm=1. (1)求数列{cn}的通项公式； (2)求使得1≤2025成立的n的最大值； a. (3)求数列2千的前n项和S… 鱼跃龙门卷 数学·专题卷（四）第6页（共8页） 18.(17分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,a1=2,且amt1=Sm十2(n∈N"). (1)求数列{am}的通项公式； (2)设6。=2m-,求数列6)的前n项和T。； an 3)设c2一·a,数列c的前n项的积为Q,求证：Q,<e+ 数学·专题卷（四）第7页（共8页） 19.(17分) 已知f(x)=x十2sinx,等差数列(a,的前n项和为S.,记T,=之f(a:). (1)求证：函数y=f(x)的图象关于点（π，π）中心对称； (2)若a1,a2,a3是某三角形的三个内角度数，求T3的取值范围； (3)若S10=100π，求证：T10=100元.反之是否成立？并请说明理由. 鱼跃龙门卷 数学·专题卷（四）第8页（共8页）